高考圆锥曲线中及定点与定值问题（题型总结超全）

..

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题

一、解答题

1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆离心率为

；圆

的左右焦点分别为

两点.

，

过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得【答案】（1）

（2）

为定值；并求出该定点的坐标.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得

。设x轴上的定点为，可得

，由定值可得需满足

，解得可得定点坐标。

解得。

.

∴椭圆的标准方程为（Ⅱ）证明：

由题意设直线的方程为由设

，

消去y整理得

，

，

，

..

要使其为定值，需满足解得

.

.

，

故定点的坐标为

点睛：解析几何中定点问题的常见解法

(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．

2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点??1,0?与抛物线C:y?2px（p?0,p为常数）交于不同的两点M,N，当k?（1）求抛物线C的标准方程；

（2）过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ经过点B?1,?1?，判断直线NQ是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）y?4x;（2）直线NQ过定点?1,?4?

221时，弦MN的长为415. 2【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设Mt2,2t,Nt12,2t1,Qt22,2t2，则kMN?则MN:2x??t?t1?y?2tt1?0； 同理： MQ:2x??t?t2?y?2tt2?0

??????2， t?t1NQ:2x??t1?t2?y?2t1t2?0.

由??1,0?在直线MN上?t?1（1）； t1由?1,?1?在直线MQ上?2?t?t2?2tt2?0将（1）代入?t1t2??2?t1?t2??1 （2） 将（2）代入NQ方程?2x??t1?t2?y?4?t1?t2??2?0，即可得出直线NQ过定点．

..

（2）设Mt2,2t,Nt12,2t1,Qt22,2t2，则kMN=则MN:y?2t???????2t?2t12?， 22t?t1t?t1

2x?t2即2x??t?t1?y?2tt1?0； t?t1??同理： MQ:2x??t?t2?y?2tt2?0；

NQ:2x??t1?t2?y?2t1t2?0.

由??1,0?在直线MN上?tt1?1，即t?1（1）； t1由?1,?1?在直线MQ上?2?t?t2?2tt2?0将（1）代入?t1t2??2?t1?t2??1 （2） 将（2）代入NQ方程?2x??t1?t2?y?4?t1?t2??2?0，易得直线NQ过定点?1,?4?

3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线C:y?mx?m?0?过点

2，且?PAB的重心的纵坐?1,?2?， P是C上一点，斜率为?1的直线l交C于不同两点A,B（l不过P点）标为?2. 3（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标；

（2）记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2，求k1?k2的值.

2【答案】（1）方程为y?4x;其焦点坐标为?1,0?（2）k1?k2?0

【解析】试题分析;（1）将?1,?2?代入y?mx，得m?4，可得抛物线C的方程及其焦点坐标；

22b?2）x?b2?0，利用韦达定理，结合斜（2）设直线l的方程为y??x?b，将它代入y?4x得x2?（率公式以及?PAB的重心的纵坐标?22，化简可k1?k2 的值； 3

..

2， 3所以y1?y2?yp??2，所以yp?2，所以xp?1，

因为?PAB的重心的纵坐标为?所以k1?k2?y1?2y2?2?y1?2??x2?1??y2?2??x1?1?， ??x1?1x2?1?x1?1??x2?1?又?y1?2??x2?1???y2?2??x1?1?

????x1??b?2????x2?1?????x2??b?2????x1?1?

??2x1x2??b?1??x1?x2??2?b?2?

??2b2?2?b?1??b?2??2?b?2??0.

所以k1?k2?0.

x2y24．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的短轴端点到右焦点F?1，0?的距离为2．

ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于A，B两点，交直线l：x?4于点P，若PA??1AF，

PB??2BF，求证： ?1??2为定值．

x2y2??1;(2)详见解析. 【答案】(1) 43【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关

于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.

（Ⅱ）由题意直线AB过点F?1,0?，且斜率存在，设方程为y?k?x?1?, 将x?4代人得P点坐标为?4,3k?，

y?k?x?1? 由{x24?y?132 ，消元得?3?4k2?x2?8k2x?4k2?12?0，

8k2x1?x2?3?4k2 ， 设A?x1,y1?， B?x2,y2?，则??0且{24k?12x1?x2?3?4k2PAx?4?1 方法一：因为PA??1AF，所以?1?. AF1?x1 同理?2?PBBF?x2?4x?4x2?4，且1与异号，

1?x11?x21?x2 所以?1??2??3x1?4x2?43????2???? 1?x11?x21?x1?x12??..

??2?3?x1?x2?2?x1x2??x1?x2??1

??2?38k2?6?8k2??4k2?12?8k2?3?4k2

?0. 所以， ?1??2为定值0.

当x1?1?x2时，同理可得?1??2?0. 所以， ?1??2为定值0.

..

同理?2?PBBF?my2?3my1?3my2?3，且与异号，

my2my1my23?y1?y2?my1?3my2?3??2? 所以?1??2? my1my2my1y2 ?2?3???6m?m???9??0.

又当直线AB与x轴重合时， ?1??2?0， 所以， ?1??2为定值0.

【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB过点F?1,0?，在设方程时，往往设为x?my?1

?m?0?，可减少讨论该直线是否存在斜率.

5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C： y?4x， F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A,B两点. （1）设l的斜率为1，求AB； （2）求证： OA?OB是一个定值. 【答案】(1) AB?8（2）见解析

【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长

公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；

2..

（2）证明：设直线l的方程为x?ky?1，

x?ky?1 得y2?4ky?4?0 2y?4x∴y1?y2?4k， y1y2??4

由{OA??x1,y1?,OB??x2,y2?，

∵OA?OB?x1x2?y1y2??kx1?1??ky2?1??y1y2，

?k2y1y2?k?y1?y2??1?y1y2， 22??4k?4k?1?4??3∴OA?OB是一个定值.

点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成x?ky?1也给解题带来了方便.

x2y26．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C: 2?2?1(a?0,b?0)的

ab6离心率为,右焦点为(2,0).(1)求椭圆C的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆

3交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.

x23?y2?1 ,(2) O到直线AB 的距离为定值【答案】(1) . 23【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；

（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；

..

有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m=3 k+3原点到直线AB的距离d?到直线

22

2

m1?k2?33?d 依然成立.所以点O ， 当AB的斜率不存在时, x1?y1 ,可得, x1?223 . 2的距离为定值

点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．

x2y27．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线2?2?1?b?a?0?渐近线方

ab程为y??3x， O为坐标原点，点M?3,3在双曲线上．

??（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）已知P,Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求

1OP2?1OQ2的值．

x2y2111??1；【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） . ??22263OPOQ【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）

由条件可得OP?OQ，可设出直线OP,OQ的方程，代入双曲线方程求得点P,Q的坐标可求得

1OP2?1OQ2?1。 3..

（Ⅱ）由题意知OP?OQ。 设OP直线方程为y?kx，

6xy??13?k2 ，解得{ ， 由{2626ky?kxy2?3?k222x2?2261?k66k∴|OP|2?x2?y2?。 ??3?k23?k23?k211由OQ直线方程为y??x.以?代替上式中的k，可得

kk??1?2?6?1?????26k?1k??????2。 |OQ|??223k?1?1?3?????k?????23?k23k2?12k?11∴??+=?。 22222361?k61?k61?kOPOQ11????????8．【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E:

x2y23??1(a?b?0)经过点P(2,1)，且离心率为． 222ab（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足OM?NO，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探

求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．

x2y2??1；【答案】（1）（2）直线AB过定点Q（0，﹣2）. 82【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情

况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。

..

4t?88kt，x， 1x2=224k?14k?1y?1kx?t?1又直线PA的方程为y﹣1=1（x﹣2），即y﹣1=1（x﹣2），

x1?2x1?2x1+x2=?因此M点坐标为（0，

2?1?2k?x1?2t）?1?2k?x2?2t）

，同理可知：N（0， ，

x1?2x2?2

当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）.

x2y29．【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考】已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左，右

ab1焦点分别为F1,F2.过原点O的直线与椭圆交于M,N两点，点P是椭圆C上的点，若kPMkPN??，

4F1N?F1M?0，且?F1MN的周长为4?23. （1）求椭圆C的方程； （2） 设椭圆在点P处的切线记为直线?，点F1,F2,O在?上的射影分别为A,B,D，过P作?的垂线交x轴于点Q，试问

F1AF2B是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. ?ODPQx2?y2?1;(2)1. 【答案】(1) 4m2n2【解析】试题分析; （1）设M?m,n?，则N??m,?n?，∴ 2?2?1，设P?x0,y0?，

aby?ny?n122，以及kAM?kBM??， a?4b????..?1?，由FkAP?,kBP?1N?F1M?0,由椭圆的

x?mx?m4222定义可得2a?2c?4?23???..?2?，结合a?b?c??..3，综合?1??23可得： ?????

..

a2?4,b2?1，可得椭圆C的方程；

（2）由（1）知F1?3,0,F2x0x?y0y?1，由此可得 44y?3x?F1A?F2B?1.，又∵PQ??，∴ PQ的方程为y?y0?0?x?x0?，可得Q?0,0?

x0?4????3,0，直线的方程为：

?则可得PQ?x02?16y024，又OD?4?1x02?16y02F1AF2B，∴ PQ?OD?1.，故??1.

ODPQ当直线?平行于x轴时，易知F1A?PQ?OD?F2B?1，结论显然成立. 综上，可知

F1AF2B为定值1. ?ODPQ有F1N?F2M，则F1N?F1M?MN?F1N?F2M?2c?2a?2c?4?23???..?2?

222∵a?b?c??..?3?，综合?1??2??3?可得： a?4,b?1

22

x2?y2?1. ∴椭圆C的方程为： 4（2）由（1）知F1?3,0,F2???3,0，直线的方程为：

?3x0?4x0?16y022?x0x?y0y?1 42即： x0x?4y0y?4?0，所以F1A??3x0?4x0?16y02

F2B??3x0+4x0?16y022?3x0?4x0?16y0222 ∴F1A?F2B?3x0?4x0?16y02?3x0?4x02?16y0216?3x02??1. 216?3x0∵PQ??，∴ PQ的方程为y?y0?4y03x0?3x?x?x0?，令y?0，可得x?0，∴ Q??4,0? x04??3x??2则PQ??x0?0??y0?4??2x02?y02?16x02?16y024 ..

又点O到直线?的距离为OD?4?1x0?16y022，∴PQ?OD?x02?16y024?4x0?16y022?1.

∴

F1AF2B??1. ODPQF1AF2B??1. ODPQ当直线?平行于x轴时，易知F1A?PQ?OD?F2B?1，结论显然成立. 综上，

【点睛】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是解析几何的综合应用，难度较大．

2

10．【云南省玉溪第一中学2018届高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y＝4x相交于不同的A，B两点,O为坐标原点．

(1) 如果直线l过抛物线的焦点且斜率为1，求AB的值；

（2）如果OA?OB??4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点. 【答案】（1）8；（2）证明见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，求出弦长；

（Ⅱ）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于﹣4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．

令b－4b＝－4，∴b－4b＋4＝0，∴b＝2， ∴直线l过定点(2,0)．∴若·＝－4，则直线l必过一定点．

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

22

x2y211．【黑龙江省佳木斯市第一中学2017-2018学年高二上学期期中】已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，

ab且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为2?1，最小距离为2?1.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点S?0,??的动直线l交椭圆C于A,B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q?若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由.

??1?3?..

x2?y2?1;(2) 以线段AB为直径的圆恒过点Q?0,1?. 【答案】(1) 椭圆方程为2

当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x?y?1. 故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q?0,1?. 下面证明Q?0,1?为所求：

若直线l的斜率不存在，上述己经证明. 若直线l的斜率存在，设直线l:y?kx?221， A?x1,y1?,B?x2,y2?， 3∴QA?QB，即以线段AB为直径的圆恒过点Q?0,1?.

点睛：这个题是圆锥曲线中的典型题目，证明定值定点问题。第一问考查几何意义，第二问是常见的将图的垂直关系，转化为数量关系，将垂直转化为向量点积为0 ，再者就是向量坐标化的意识。还有就是这种证明直线过定点问题，可以先通过特殊位置猜出结果，再证明。

x2y2212．【四川省成都市新津中学2018届高三11月月考】已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，

2ab且过点2,1.

??（1）求椭圆C的方程；

（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为

2的直线1交椭圆C于A,B两点，求证： 2PA?PB为定值.

22..

x2y2??1；【答案】（1）（2）证明见解析. 42c2【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率e??，求得a2?2c2，由a2?b2?c2，得b2?c2，将点2,1a2x2y2代入2?2?1，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设P?m,0???2?m?2?， ?直线l的方程

2bb222是y??x?m?与椭圆的方程联立，利用韦达，根据两点间的距离公式将PA?PB用m 表示，化简

2后消去m即可得结果.

??

?x1?x2?m,x1x2?m?422222,?PA?PB??x1?m??y12?x2?m??y22115222222??x1?m???x1?m???x2?m???x2?m????x1?m???x2?m???444?525222?????x?x?2mx?x?2m?x?x2?2mx?x?2xx?2m??????1212121212?4?? 4?522222?（定值），为定值. ??m?2m?m?4?5?PA?PB??42

【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属

于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

x2y213．【北京朝阳日坛中学2016-2017学年高二上学期期中】已知椭圆?:2?2?1(a?b?0)的离心率为

ab2，半焦距为c(c?0)，且a?c?1，经过椭圆的左焦点F，斜率为k1?k1?0?的直线与椭圆交于A， B3两点， O为坐标原点． （I）求椭圆?的标准方程．

k（II）设R?1,0?，延长AR， BR分别与椭圆交于C， D两点，直线CD的斜率为k2，求证： 1为定

k2值．

x2y2??1；【答案】（I）（II）见解析. 95..

c2?【解析】试题分析：（I）依题意,得{a3 ,再由b2?a2?c2求得b2,从而可得椭圆的标准方程;

a?c?1y1（II）设C?x3,y3?， D?x4,y4?，可求得直线的方程为y??x?1?,与椭圆方程联立,由韦达定理可求

x1?1?5x?94y1??5x2?94y2?4y12,D,得y1y3??,进一步可求C?1, 同理???,从而可得k2,化简运算即x?5x?5x?5x?55?x112?1??2?可.

试题解析：

c2?a?3（I）由题意，得{a3 解得{ ，

c?2a?c?1∴b2?a2?c2?5，

x2y2??1． 故椭圆?的方程为95

..

点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立a,b,c的方程，求出a,b即可，注意a2?b2?c2,e?22c的应用；涉及直线与a圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出x1?x2,x1?x2，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用． 14．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知平面内的动点P到定直线l：x＝22的距离与点P到定点F(2，0)之比为2. (1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)若点N为轨迹C上任意一点(不在x轴上)，过原点O作直线AB，交(1)中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1·k2是否为定值？

x2y21??1 (2) k1·k2＝－ 【答案】(1) 422【解析】试题分析：（1）设出点P，利用两点间的距离公式分别表示出P到定直线的距离和到点F的距离的

比，建立方程求得x和y的关系式，即P的轨迹方程．（2）设出N，A，则B的坐标可知，代入圆锥曲线的方程相减后，可求得k1·k2＝－试题解析：

(1)设点P(x，y)，依题意，有

＝

.整理，得＋＝1.所以动点P的轨迹C的方程为＋

1证明原式． 2＝1.

(2)由题意，设N(x1，y1)，A(x2，y2)，则B(－x2，－y2)， ＋＝1，＋＝1.k1·k2＝

·

＝

＝

＝－，为定值．

x2y215．【河北省鸡泽县第一中学2017-2018学年高二10月月考】如图，已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的

ab左焦点为F??1,0?，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且AB?3．

(1)求椭圆C的标准方程：

..

(2)若M，N为椭圆上异于点A的两点，且直线AM,AN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

x2y21??1;(2) ?. 【答案】(1) 432

试题解析:

（1）由题意可知c?1，

b22b2?3，又a2?b2?1， 令x??c，代入椭圆可得y??，所以

aa22两式联立解得： a?4,b?3， x2y2???1 . 43又直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，在上式中以?k代替k，可得

..

4k2?12k?33xN??， , y??kx?k?NN3?4k22y?yNk?xM?xN??2k1所以直线MN的斜率kMN?M???，

xM?xNxM?xN21即直线MN的斜率为定值，其值为?.

2点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．

16．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】过点M?0,1?且与直线l:y??1相切，设圆心

C的轨迹为曲线E， A， B（A在y轴的右侧）为曲线E上的两点，点P?0,t?(t?0)，且满足

AB??PB(??1)． （Ⅰ）求曲线E的方程．

（Ⅱ）若t?6，直线AB的斜率为方程．

（Ⅲ）分别过A， B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l上，求证： t与QA?QB均为定值．

1，过A， B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的23??23?125?2【答案】(1) x?4y (2) ?x????y? (3)见解析 ??222????【解析】试题分析：（1）由抛物线定义得曲线E为抛物线，根据基本量可得其标准方程（2）先根据直线AB方程与抛物线方程解出A,B两点坐标，再利用导数求出在点A处的切线的斜率，则得圆心与A连线的直线

2?x12???x2方程，设圆一般式方程，利用三个条件解方程组得圆N的方程．（3）设A?x1, B?x2, Q?a,?1?，?，?，

44????2则利用导数求出在点A处的切线的斜率，利用点斜式写出切线方程x1?2ax1?4?0，同理可得2x2?2ax2?4?0，即得x2?2ax?4?0两根为x1,x2，利用韦达定理化简直线AB斜率得

22a，即得AB方2程为y?ax?1，因此t?1，再根据向量数量积可计算得QA?QB=0 2

由{x?4y ，得A?6,9?， B??4,4?．

x?2y?12?02..

∵x?4y，即y?212x， 41x． 22∴抛物线x?4y在点A处切线的斜率

1y???6?3．

2y??

3??23??3??23??∴圆C的方程为?x????y???4??4??????，

2??2??2??2??22223??23?125?整理得?x????y?． ??2??2?2?2?x12???x2（Ⅲ）设A?x1,?， B?x2,?， Q?a,?1?，

44????x12x1??x?x1?， 过点A的切线方程为y?422即x1?2ax1?4?0，

2同理得x2?2ax2?4?0，

22∴x1?x2?2a， x1x2??4， 又∵kAB2x12x2?4?x1?x2， ?4x1?x24..

整理得??4?2a?a?1?224a?8?1?0， 42∴t与QA?QB均为定值．

点睛：1.求定值问题常见的方法有两种

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题

(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y?kx?b，然后利用条件建立k,b等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．

(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关． 17．【南宁市2018届高三毕业班摸底联考】已知抛物线（l）求抛物线的方程；

（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点设直线的斜率分别为，求证：

的直线与抛物线交于

为定值.

上一点

到焦点的距离为.

两个不同的点（均与点不重合），

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程，两个未知数，可求得抛物线方程。（2）由（1）知抛物线的方程，及，，设过点的直线的方程为,代入得

,由韦达定理可求得

为定值上。

（2）∵点在抛物线上，且∴∴代入

，设过点得

.

，即

，

的直线的方程为

，

..

设所以

，，则，，

.

18．如图，椭圆经过点，且离心率为．

（）求椭圆的方程． （）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），判断直线是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由．

与的斜率之和

【答案】（1）．（）斜率之和为定值．

，

，结合

，解得：

【解析】（1）根据题意知：

，

，

，

．

∴椭圆的方程为：

从而直线，的斜率之和：

．

故直线、斜率之和为定值．

..

点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立

的方程，求出

即可，注意

的应用；涉及直线与圆锥曲线

相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用． 19．【广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考】已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P?4,m?到焦点的距离为5. （1）求该抛物线C的方程；

（2）已知抛物线上一点M?t,4?，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD?ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由.

【答案】（1）y?4x.（2）?8,?4?

2【解析】试题分析：(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于p的等式求p,则抛物线方程可求;

(2)由(1)求出M的坐标,设出直线DE的方程x?my?t ,联立直线方程和抛物线方程,化为关于y的一元二次方程后D,E两点纵坐标的和与积,利用MD?ME?0 得到t与m的关系,进一步得到DE方程,由直线系方程可得直线DE所过定点.

（2）由（1）可得点M?4,4?，可得直线DE的斜率不为0， 设直线DE的方程为： x?my?t， 联立{x?my?t2y?4my?4t?0， ，得2y?4x则??16m2?16t?0①.

设D?x1,y1?,E?x2,y2?，则y1?y2?4m,y1y2??4t.

..

∴t?6??2?2m?1?，即t?4m?8或t??4m?4， 代人①式检验均满足??0，

∴直线DE的方程为： x?my?4m?8?m?y?4??8或x?m?y?4??4. ∴直线过定点?8,?4?（定点?4,4?不满足题意，故舍去）.

点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．

20．【云南省昆明一中2018届高三第一次摸底测试】已知动点M?x,?y满足：

?x?1?2?y2??x?1?2?y2?22. （1）求动点M的轨迹E的方程；

（2）设过点N??1,0?的直线l与曲线E交于A,B两点，点A关于x轴的对称点为C（点C与点B不重合），证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标.

x2?y2?1；【答案】（1）（2）直线过定点??2,0? ，证明见解析. 2【解析】试题分析：（1）动点M到点P??1,0?， Q?1,0?的距离之和为22，且PQ?22，所以动点M的轨迹为椭圆，从而可求动点M的轨迹E的方程；（2）直线l的方程为： y?k?x?1?，由 得?1?2k2?x2?4k2x?2k2?2?0，，根据韦达定理可得 {x2 2?y?12y?y1x1y2?x2y1x?2，即可证明其过定点. ?2，直线BC的方程为y?2x2?x1x2?x1y?k?x?1?..

4k2k?2xx?， ， 12221?2k1?2ky?y1y?yxy?xy直线BC的方程为： y?y2?2?x?x2?，所以y?21x?1221，

x2?x1x2?x1x2?x1所以x1?x2??令y?0，则x?22x1y2?x2y12kx1x2?k?x1?x2?2x1x2??x1?x2?????2，

y2?y1k?x1?x2??2k?x1?x2??2所以直线BC与x轴交于定点D??2,0?.

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