2018二次函数与直角三角形存在性问题（新）

二次函数中直角三角形存在性问题

1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么

以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点

2. 方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1

以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者 三条边分别表示之后，利用勾股定理求解

例一：如图，抛物线y?mx?2mx?3m?m?0?与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.

2（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标； （2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.

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例二、如图，抛物线y=-x+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大； （3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 练习： 1. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点M在第一象限，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交与点C，O为坐标原点，如果△ABM是直角三角形，AB=2，OM＝（1）求点M的坐标； （2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1） 5 2

2.如图，抛物线y=x2-2mx (m＞0)与x轴的另一个交点为A，过P(1，-m)作PM⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C． （1）若m=2，求点A和点C的坐标；

（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；

（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

3. 如图，抛物线y=ax+bx+2与x轴交于点A(1，0)和B(4，0)． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP 是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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4、在平面直角坐标系中，抛物线y=x+( k-1)x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，抛物线y=x+( k-1)x-k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？ 若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

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5、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6（a≠0）相交于A（2，2）和B(4，m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

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6、如图，抛物线y=ax+bx+c经过A(-3，0)、C(0，4)，点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO． （1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角 三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

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