电磁场与电磁波(第四版)课后答案谢处方

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第一章习题解答

1.1 给定三个矢量A、B和C如下: A?ex?ey2?ez3

B??ey4?ez

C?ex5?ez2

求:(1)a;(2)A?B;(3)AB;(4)?;(5)A在B上的分量;(6)A?C;

AAB(7)A(B?C)和(A?B)C;(8)(A?B)?C和A?(B?C)。

解 (1)aAA?ex?ey2?ez3A?12?22?(?3)2?e123x14?ey14?ez14 (2)A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?ex?ey6?ez4?53 (3)AB?(ex?ey2?ez3)(?ey4?ez)?-11 (

4

c?oAB?sABAB??111?4?17??o?s111AB?c(?238)?135. 5(5)A在B上的分量 AB?Aco?sBAB?AB??1117 exeyez(6)A?C?12?3??ex4?ey13?ez10 50?2exeyez(7)由于B?C?0?41?ex8?ey5?ez20 50?2exeyezA?B?12?3??ex10?ey1?ez4

0?41所以 A(B?C)?(ex?ey2?ez3)(ex8?ey5?ez20)??42 (A?B)C?(?ex10?ey1?ez4)(ex5?ez2)??42

exeyez(8)(A?B)?C??10?1?4?ex2?ey40?ez5

50?2exeyezA?(B?C)?12?3?ex55?ey44?ez11

8520 1.2 三角形的三个顶点为P1(0,1,?2)、P2(4,1,?3)和P3(6,2,5)。 (1)判断?PP12P3是否为一直角三角形; (2)求三角形的面积。

1得2 1

38解 (1)三个顶点P、P和P的位置矢量分别为 1(0,1,?2)2(4,1,?3)3(6,2,5) r1?ey?ez2,r2?ex4?ey?ez3,r3?ex6?ey2?ez5 则 R12?r2?r1?ex4?ez, R23?r3, ?r?2ex2?ey?ez8R31?r1?r3??ex6?ey?ez7

由此可见

R12R23?(ex4?ez)(ex2?ey?ez8)?0

故?PP为一直角三角形。 12P3 (2)三角形的面积 S?1R?R?1R12231?17?69?17. 1323222 1.3 求P?(?3,1,4)点到P(2,?2,3)点的距离矢量R及R的方向。

解 rP???ex3?ey?ez4,rP?ex2?ey2?ez3,

12?R则 RP?P?rP?rP??ex5?ey3?ez 且RP?P与x、y、z轴的夹角分别为

exRP?P5)?cos?1()?32.31 RP?P35eR??3?y?cos?1(yPP)?cos?1()?120.47

RP?P35eR1?z?cos?1(zP?P)?cos?1(?)?99.73

RP?P351.4 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B?ex4?ey5?ez6,求它们之间的夹角和

?x?cos?1(A在B上的分量。

解 A与B之间的夹角为

?AB?cos?1(AB?31)?cos?1()?131 AB29?77B?31???3.532 B771.5 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B??ex6?ey4?ez,求A?B在C?ex?ey?ez上的分量。

A在B上的分量为 AB?Aexeyez解 A?B?23?4??ex13?ey22?ez10

?6?41所以A?B在C上的分量为 (A?B)C?(A?B)C25???1?4.4 3C31.6 证明:如果AB?AC和A?B?A?C,则B?C;

解 由A?B?A?C,则有A?(A?B)?A?(A?C),即

(AB)A?(AA)B?(AC)A?(AA)C

由于AB?AC,于是得到 (AA)B?(AA) C故 B?C

1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积,那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量,p?AX而P?A?X,p和P已知,试求X。

解 由P?A?X,有

A?P?A?(A?X)?(AX)A?(AA)X?pA?(AA)X

pA?A?P

故得 X?标;(2)球坐标中的坐标。

解 (1)在直角坐标系中 x?4cos?(2故该点的直角坐标为(?2,23,3)。

2(2)在球坐标系中

AA2?1.8 在圆柱坐标中,一点的位置由(4,(1)直角坐标中的坐,3)定出,求该点在:3?3)?、2y?4sin(2?3)?23、z?3

?1r?4?32?5、??tan(43)?53.1、??2?3?120

故该点的球坐标为(5,53.1,120)

25, r2(1)求在直角坐标中点(?3,4,?5)处的E和Ex;

1.9 用球坐标表示的场E?er(2)求在直角坐标中点(?3,4,?5)处E与矢量B?ex2?ey2?ez构成的夹角。 解 (1)在直角坐标中点(?3,4,?5)处,r2?(?3)2?42?(?5)2?50,故

E?er251

?2r21?332

Ex?exE?Ecos?rx????25220(2)在直角坐标中点(?3,4,?5)处,r??ex3?ey4?ez5,所以

2525r?ex3?ey4?ez5 E?2?3?rr102故E与B构成的夹角为

?EB?cos?1(EB19(102))?cos?1(?)?153.6 EB321.10 球坐标中两个点(r1,?1,?1)和(r2,?2,?2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和

R2间夹角的余弦为

cos??cos?1cos?2?sin?1sin?2cos(?1??2)

解 由 R1?exr1sin?1cos?1?eyr1sin?1sin?1?ezr1cos?1R2?exr2sin?2cos?2?eyr2sin?2sin?2?ezr2cos?2

得到 cos??R1R2?

R1R2 sin?1cos?1sin?2cos?2?sin?1sin?1sin?2sin?2?cos?1cos?2?

sin?1sin?2(cos?1cos?2?1sin?1sin?2)?cos?1cos?2? sin?1sin?2cos(?1??2)?cos?1cos?2

1.11 一球面S的半径为5,球心在原点上,计算: 解 ?(er3sin?)dS??(er3sin?)erdS?SS?(e3sin?)dS的值。

rS2??2?d??3sin??500sin?d??75?2

1.12 在由r?5、z?0和z?4围成的圆柱形区域,对矢量A?er2?e2z验证散

rz度定理。

解 在圆柱坐标系中 ?A?42?1??(rr2)?(2z)?3r?2 r?r?z50所以 又

?Ad???dz?d??(3r?2)rdr?1200? ??002(er?ez2z)(erdSr?e?dS??ezdSz)? r?S?SAdS?42?52?2 故有

??500?5d?dz???2?4rdrd??1200?

00?Ad??1200???AdS ??S1.13 求(1)矢量A?exx2?eyx2y2?ez24x2y2z3的散度;(2)求?A对中心在原

点的一个单位立方体的积分;(3)求A对此立方体表面的积分,验证散度定理。

222223?(x)?(xy)?(24xyz)解 (1)?A????2x?2x2y?72x2y2z2 ?x?y?z(2)?A对中心在原点的一个单位立方体的积分为

12121212222 ?Ad??(2x?2xy?72xyz)dxdydz?????24??12?12?12 (3)A对此立方体表面的积分

?S11AdS???()2dydz???(?)2dydz?

22?12?12?12?121212121221212121212122 2x()dxdz?2x(?)dxdz? ????22?12?12?12?121313122 24xy()dxdy?24xy(?)dxdy?????2224?12?12?12?122212121212故有

1.14 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分,并求?r对球体积

的积分。

2????Ad??1?24?AdS

S?2解

?rdS??reSSrdS??d??aa00sin?d??4?a3

又在球坐标系中,?r?1?2(rr)?3,所以 2r?r2??a2?rd?????3r??000sin?drd?d??4?a3

1.15 求矢量A?exx?eyx2?ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分,此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求??A对此回路所包围的曲面积分,

验证斯托克斯定理。

22222解

C?Adl??xdx??xdx??2000dy??0dy?8

0ex?又 ??A??xxey??yx2ez??ex2yz?ez2x ?zy2z22所以 ??AdS?S???(e2yz?e2x)exz00Szdxdy?8

故有

C?Adl?8????AdS

2?1.16 求矢量A?exx?eyxy2沿圆周x2?y2?a2的线积分,再计算??A对此圆面积的积分。

C?Adl?C?xdx?xy2dy??a4

?(?acos?sin??acos?sin?)d??242204?Ax??AdS?e(?)ezdS?z???x?ySS?Ay?a4

?ydS???rsin?rd?dr?222S00a2?41.17 证明:(1)(2)(3)其中R?exx?eyy?ezz,?(AR)?A。?R?3;??R?0;A为一常矢量。

解 (1)?R??x?y?z???3 ?x?y?zex(2) ??R?eyez????0

?x?y?zxyy(3)设A?exAx?eyAy?ezAz,则AR?Axx?Ayy?Azz,故

??(Axx?Ayy?Azz)?ey(Axx?Ayy?Azz)? ?x?y?ez(Axx?Ayy?Azz)?exAx?eyAy?ezAz?A ?z1.18 一径向矢量场F?erf(r)表示,如果?F?0,那么函数f(r)会有什么特点

?(AR)?ex解 在圆柱坐标系中,由 ?F?可得到

呢?

1d[rf(r)]?0 rdrf(r)?Cr

C为任意常数。

在球坐标系中,由 ?F?1d2[rf(r)]?0 2rdrC

可得到 f(r)?2r1.19 给定矢量函数E?exy?eyx,试求从点P到点P的线积分1(2,1,?1)2(8,2,?1)(1)沿抛物线x?y2;(2)沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗? ?Edl:

解 (1)?Edl??Edx?Edy??ydx?xdy?

xyCCC

r?(p?)E?p?E。

解 如题2.16图所示,设p?qdl(dl??1),则电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为

T?r2?qE(r2)?r1?qE(r1)?

(r?dl2)?qE(r?dl2)?(r?dl2)?qE(r?dl2)?

qr?[E(r?dldlqdldl2)?E(r?2)]?2dl?[E(r?2)?E(r?2)]

当dl??1时,有

E(r?dl2)?E(r)?(dl2??)E(r)

E(r?dl2)?E(r)?(dl2??)E(r)

故得到

T?r?(qdl??)E(r)?qdl?E(r)? r?(p?)E?p?E

题2.16 图

第三章习题解答

3.1 真空中半径为a的一个球面,球的两极点处分别设置点电荷q和?q,试计算球赤道平面上电通密度的通量?(如题3.1图所示)。

解 由点电荷q和?q共同产生的电通密度为

q 赤道平面 D? a qR?R?[3?3]? 4?R?R?err?ez(z?a)qerr?ez(z?a){2?} 4?[r?(z?a)2]32[r2?(z?a)2]32z?0则球赤道平面上电通密度的通量

???DdS??DezSSdS?

?q aqa1?(?1)q??0.293q 2212(r?a)023.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra的球体原子模型,其球体内均匀分布有总电荷量为?Ze的电子云,在球心有一正电荷Ze(Z是原子序数,e是质子电荷量),通

Ze?1r?D?e过实验得到球体内的电通量密度表达式为0?2?3?,试证明之。 r4??rra?Ze 解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 D1?er4?r2Ze3Ze?? 原子内电子云的电荷体密度为 ???4?ra334?ra3 题3.1 图

q(?a)a[?]2?rdr? 22322232?4?0(r?a)(r?a)ab 电子云在原子内产生的电通量密度则为

c a ?0 Ze?1r??2?3? 4??rra?题3. 3图(a)

3 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中,体密度为?0Cm, 两

圆柱面半径分别为a和b,轴线相距为c(c?b?a),如题3.3图(a)所示。求空间各部分

故原子内总的电通量密度为 D?D1?D2?er ?4?r33ZerD2?er??e r234?r4?ra的电场。

解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布,不能直接用高斯定律求解。但可把半径为

a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为??0的两种电荷分布,这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为?0的均匀电荷分布,而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为??0的均匀电荷分布,如题3.3图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场

的叠加。

在r?b区域中,由高斯定律?EdS?Sq?0,可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P?b2?0?0b2r??a2?0?0a2r???er???? E1 产生的电场分别为 E1?er22??2??0r2?0r2??0r2?0rb b c a ?0 = ?0 c a +

b ?? 0a c 题3. 3图(b)

?b2ra2r???(2?2) 点P处总的电场为 E?E1?E12?0rr?在r?b且r??a区域中,同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为

?r2??r??a2??a2r???er?E2?er??? E2 2??2??0r2?02??0r2?0r?0a2r???(r?2) 点P处总的电场为 E?E2?E22?0r?在r??a的空腔区域中,大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为

?r2?0?0r??r?2?0?0r???E3?er?E?e?? 3 r2??0r2?02??0r?2?0?0?0??E?E?E?(r?r)?c 点P处总的电场为 332?02?03.4 半径为a的球中充满密度?(r)的体电荷,已知电位移分布为

?r3?Ar2?Dr??a5?Aa4??r2(r?a)(r?a) 其中A为常数,试求电荷密度?(r)。

解:由?D??,有 ?(r)??D?故在r?a区域 ?(r)??01d2(rDr) 2rdr1d23[r(r?Ar2)]??0(5r2?4Ar) 2rdr541d2(a?Aa)在r?a区域 ?(r)??02[r]?0 2rdrr3.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜,球内充满总电荷量为Q为的体电荷,球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E?er(ra),设球内介质为

真空。计算:(1) 球内的电荷分布;(2)球壳外表面的电荷面密度。

解 (1) 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为

41d21d2r4r3???0?E??0[2(rE)]??0[2(r4)]?6?04

rdrrdraar322(2)球体内的总电量Q为 Q???d???6?044?rdr?4??0a

a?0球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷?Q,而且在球壳外表面上还要感应电荷Q,

2Q?2?0 所以球壳外表面上的总电荷为2Q,故球壳外表面上的电荷面密度为 ??4?a2 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r?a和r?b(b?a),圆柱表面分别带有密

a度为?1和?2的面电荷。(1)计算各处的电位移D0;(2)欲使r?b区域内D0?0,则?1和

?2应具有什么关系?

解 (1)由高斯定理

?DS0dS?q,当r?a时,有 D?0

01a?1 ra?1?b?2 r当a?r?b时,有 2?rD02?2?a?1 ,则 D02?er当b?r??时,有 2?rD03?2?a?1?2?b?2 ,则 D03?er?1ba?1?b?2???0,则得到 (2)令 D03?er ?2ar3.7 计算在电场强度E?exy?eyx的电场中把带电量为?2?C的点电荷从点

P?1)移到点P(1)沿曲线x?2y2;(2)沿连接该两点1(2,1,2(8,2,?1)时电场所做的功:

的直线。

解 (1)W?Fdl?qEdl?qExdx?Eydy?

CCC???2q?ydx?xdy?q?yd(2y2)?2y2dy?C12q?6y2dy?14q??28?10?6(J)

1(2)连接点P1(2,1,?1)到点P2(8,2,?1)直线方程为

x?2x?8? 即 x?6y?4?0 y?1y?2故

2W?2q?ydx?xdy?q?yd(6y?4)?(6y?4)dy?C1q?(12y?4)dy?14q??28?10?6(J)

13.8 长度为L的细导线带有均匀电荷,其电荷线密度为?l0。(1)计算线电荷平分面上任意点的电位?;(2)利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E,并用E????核对。

解 (1)建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式,线电荷平分面上任意点P的电位为

z L2L2?(r,0)? P?L2??l0dz?4??0r?z?22?

L2?l0 o ? ?l0ln(z??r2?z?2)4??0r

?

?L22r2?(L2)?L2?l0ln?

224??0r?(L2)?L22r2?(L2)?L2?l0 ln2??0r?L2 题3.8图

(2)根据对称性,可得两个对称线电荷元?l0dz?在点P的电场为

dE?erdEr?er?l0dz?2??0r2?z?2cos??er?l0rdz?2??0(r2?z?2)32

故长为L的线电荷在点P的电场为

L2E??dE?erer?2??0?l0rdz?2232?(r?z)0??l0z?er()2??0rr2?z?2L2?0?l0L

4??0rr2?(L2)22?l0?L2?r2?(L2)??? E????????ln2??0?r?由E????求E,有

?????l0?r1?e?l0?er???r?4??0r2??0??L2?r2?(L2)2?r2?(L2)2r???????Lr2?(L2)2

rP?l3.9 已知无限长均匀线电荷?l的电场E?er,试用定义式?(r)??Edl求其

2??0rr电位函数。其中rP为电位参考点。

rPrP解

?(r)??Edl??rr?l??lrdr?llrn?r2??0r2??02??P0rP lnr由于是无限长的线电荷,不能将rP选为无穷远点。

3.10 一点电荷?q位于(?a,0,0),另一点电荷?2q位于(a,0,0),求空间的零电位面。

解 两个点电荷?q和?2q在空间产生的电位

?(x,y,z)?14??0令?(x,y,z)?0,则有

(x?a)?y?z(x?a)?y?z12??0

222222(x?a)?y?z(x?a)?y?z[q222?2q222]

即 4[(x?a)2?y2?z2]?(x?a)2?y2?z2

524a)?y2?z2?(a)2 3354由此可见,零电位面是一个以点(?a,0,0)为球心、a为半径的球面。

33Ze1r23(??) 3.11 证明习题3.2的电位表达式为 ?(r)?4??0r2ra2raZeD?e Ze解位于球心的正电荷在原子外产生的电通量密度为1r24?r?4?ra33Ze 电子云在原子外产生的电通量密度则为 D2?er??er224?r4?r故得 (x?

所以原子外的电场为零。故原子内电位为

Ze1r23Zea1r(??) ?(r)??Ddr?(?)dr?23?4??r2r2r?0r4??0rrra0aa3.12 电场中有一半径为a的圆柱体,已知柱内外的电位函数分别为

r?a??(r)?0? ?a2r?a??(r)?A(r?)cos??r1rar (1)求圆柱内、外的电场强度;

(2)这个圆柱是什么材料制成的?表面有电荷分布吗?试求之。

解 (1)由E????,可得到 r?a时, E?????0

?a2?a2r?a时, E??????er[A(r?)cos?]?e?[A(r?)cos?]?

?rrr??ra2a2?erA(1?2)cos??e?A(1?2)sin?

rr(2)该圆柱体为等位体,所以是由导体制成的,其表面有电荷分布,电荷面密度为

???0nEr?a??0erEr?a??2?0Acos?

3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足?2??0 (1)sin(kx)sin(ly)e?hz 其中h2?k2?l2; (2)rn[cos(n?)?Asin(n?)] 圆柱坐标; (3)r?ncos(n?) 圆柱坐标; (4)rcos? 球坐标; (5)r?2cos? 球坐标。

?2??2??2?解 (1)在直角坐标系中 ???2?2?2

?x?y?z?2??2?hz2?hz 而 ?[sin(kx)sin(ly)e]??ksin(kx)sin(ly)e22?x?x?2??2?hz2?hz ?[sin(kx)sin(ly)e]??lsin(kx)sin(ly)e22?y?y?2??2?hz2?hz ?[sin(kx)sin(ly)e]?hsin(kx)sin(ly)e22?z?z故 ?2??(?k2?l2?h2)sin(kx)sin(ly)e?hz?0

21????2??2?(r)?22?2 (2)在圆柱坐标系中 ???r?r?rr???z2而

1???1??(r)?{rrn[cos(n?)?Asin(n?)]}?n2rn?2[cos(n?)?Asin(n?)] r?r?rr?r?r1?2?2n?2??nr[cos(n?)?Asin(n?)]} 22r???2??2?n?2r[cos(n?)?Asin(n?)]?0 2?z?z故 ?2??0

(3)

1???1??(r)?{r[r?ncos(n?)]}?n2r?n?2cos(n?) r?r?rr?r?r1?2?2?n?2??nrcos(n?) 22r???2??2?n?2[rcos(n?)]?0 2?z?z故 ?2??0

(4)在球坐标系中

1?2??1???1?2? ???2(r)?2(sin?)?222r?r?rrsin?????rsin???1?2??1??2(r)?2[r2(rcos?)]?cos? 而 2r?r?rr?r?rr1???1??(sin?)?[sin?(rcos?)]? 22rsin?????rsin?????1?22(?rsin?)??cos? 2rsin???r221??1??(rcos?)?0 222222rsin???rsin???故 ?2??0

1?2??1??2(r)?2[r2(r?2cos?)]?2cos? (5) 2r?r?rr?r?rr1???1???2(sin?)?[sin?(rcos?)]? 22rsin?????rsin?????1?2?22(?rsin?)??cos? 24rsin???r221??1??2?(rcos?)?0 222222rsin???rsin???故 ?2??0

3.14 已知y?0的空间中没有电荷,下列几个函数中哪些是可能的电位的解?

2(1)e?ycoshx; (2)e?ycosx; (3)e?2ycosxsinx (4)sinxsinysinz。

?2?y?2?y?2?y解 (1)2(ecoshx)?2(ecoshx)?2(ecoshx)?2e?ycoshx?0

?x?y?z所以函数e?ycoshx不是y?0空间中的电位的解;

?2?y?2?y?2?y(ecosx)?2(ecosx)?2(ecosx)??e?ycosx?e?ycosx?0 (2) 2?x?y?z所以函数e?ycosx是y?0空间中可能的电位的解;

?2?2y?2?2y?2?2y(ecosxsinx)?2(ecosxsinx)?2(ecosxsinx)? (3) 2?x?y?z?4e?2ycosxsinx?2e?2ycosxsinx?0

所以函数e?2ycosxsinx不是y?0空间中的电位的解;

?2?2?2 sinsin)(sinxsiynszi?n)2(xsinysinz?si2n)x(syin?z(4) 2?x?y?z?3sinxsinysinz?0

所以函数sinxsinysinz不是y?0空间中的电位的解。

3.15 中心位于原点,边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为P?P(1)计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度;(2)证明总的束缚0(exx?eyy?ezz)。

电荷为零。

解 (1)

?P???P??3P0

?P(x?)?nPL2L2x?L2?exPx?L2?LP0 2?LP0 x??L2x??L22LLLLL同理 ?P(y?)??P(y??)??P(z?)??P(z??)?P0

22222L32q??d???dS??3PL?6L?P0?0 (2) P?PP0?2?S?P(x??)?nP??exP3.16 一半径为R0的介质球,介电常数为?r?0,其内均匀分布自由电荷?,证明中心

2?r?1?2()R0 点的电位为

2?r3?0解 由

?DdS?q,可得到

S4?r3r?R0时, 4?rD1??

3D1?r?rE??D? 即 1, 1?r?03?r?0334?R02r?R0时, 4?rD2??

33D1?R0?R03? , E2? 即 D2?2?03?0r23r2故中心点的电位为

??R03?r?R02?R022?r?1?2 ?(0)??E1dr??E2dr??dr??dr???()R03?r?03?0r26?r?03?02?r3?00R0R3.17 一个半径为R的介质球,介电常数为?,球内的极化强度P?erKr,其中K为

00R0?R0一常数。(1) 计算束缚电荷体密度和面密度;(2) 计算自由电荷密度;(3)计算球内、外的电场和电位分布。

解 (1) 介质球内的束缚电荷体密度为 ?p???P??在r?R的球面上,束缚电荷面密度为 ?p?nPr?R1d2KK(r)?? r2drrr2K?erPr?R?

R(2)由于D??0E?P,所以 ?D??0?E??P?即 (1??0?D??P ??0)?D??P ?由此可得到介质球内的自由电荷体密度为

???D?????0?P??????0?p??K2

(???)r0?KR14??RK2q??d??4?rdr? 总的自由电荷量 2?????r???000?(3)介质球内、外的电场强度分别为

PK?er (r?R) ???0(???0)rq?RKE2?er?e (r?R) r4??0r2?0(???0)r2E1?介质球内、外的电位分别为

?R??1??Edl??E1dr??E2dr?

K?RKdr?dr? 2??(???0)r?(???0)rrR0KR?Kln? (r?R)

(???0)r?0(???0)???RK?RK?2??E2dr??dr? (r?R) 2?(???)r?(???0)r00rr03.18 (1)证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度;(2)导出束缚电荷密度?P的表达式。

rRrR??P???P???D??0?E

在介质内没有自由电荷密度时,?D?0,则有 ?P??0?E 由于D??E,有 ?D??(?E)???E?E???0

E?? 所以 ?E???解 (1)由D??0E?P,得束缚电荷体密度为

由此可见,当电介质不均匀时,?E可能不为零,故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。

(2)束缚电荷密度?P的表达式为 ?P??0?E???0E?? ?3.19 两种电介质的相对介电常数分别为?r1=2和?r2=3,其分界面为z=0平面。如果已知介质1中的电场的

E1?ex2y?ey3x?ez(5?z)

那么对于介质2中的E2和D2,我们可得到什么结果?能否求出介质2中任意点的E2和

D2?

解 设在介质2中

E2(x,y,0)?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)?ezE2z(x,y,0)

D2??0?r2E2?3?0E2

在z?0处,由ez?(E1?E2)?0和ez(D1?D2)?0,可得

??ex2y?ey3x?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0) ?

2?5??3?E(x,y,0)?002z?于是得到 E2x(x,y,0?) 2yE2y(x,y,0)??3x

E2z(x,y,0)?103

故得到介质2中的E2和D2在z?0处的表达式分别为 E2(x,y,0)?ex2y?ey3x?ez(103)D2(x,y,0)??0(ex6y?ey9x?ez10)

不能求出介质2中任意点的E2和D2。由于是非均匀场,介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。

3.20 电场中一半径为a、介电常数为?的介质球,已知球内、外的电位函数分别为

?1??E0rcos???2?????03cos?aE02 r?a

??2?0r3?0Ercos? r?a

??2?00验证球表面的边界条件,并计算球表面的束缚电荷密度。

解 在球表面上

?1(a,?)??E0acos?????03?0aE0cos???Eacos?

??2?0??2?003?0E0acos?

??2?02(???0)??13???Ecos??Ecos???E0cos? r?a00?r??2?0??2?03?0??2??Ecos? r?a?r??2?00??1??2??故有 ?1(a,?)??2(a,?), ?0r?ar?a

?r?r?2(a,?)??可见?1和?2满足球表面上的边界条件。

球表面的束缚电荷密度为

3?0(???0)E0cos? r?ar?a??2?03.21 平行板电容器的长、宽分别为a和b,极板间距离为d。电容器的一半厚度d(0~)用介电常数为?的电介质填充,如题3.21图所示。

2(1) (1) 板上外加电压U0,求板上的自由电荷面密度、束缚电荷;

(2) (2) 若已知板上的自由电荷总量为Q,求此时极板间电压和束缚电荷;

?p?nP2?(???0)erE2??(???0)??2?r?(3) (3) 求电容器的电容量。

解 (1) 设介质中的电场为E?ezE,空气中的电场为E0?ezE0。由D?D0,有

z 又由于 Ed2 ?E??0E0

dd?E0??U0 22d2 ? 题 3.21图

U0

由以上两式解得 E??2?0U02?U0E?? ,0

(???0)d(???0)d故下极板的自由电荷面密度为

2?0?U0

(???0)d2?0?U0????E? 上极板的自由电荷面密度为 上00(???0)d2?0(???0U)0P?(???)E??e 电介质中的极化强度 0z(???0)d2?0(???0U)0???eP? 故下表面上的束缚电荷面密度为p下z(???0)d2?0(???0)U0 上表面上的束缚电荷面密度为 ?p上?ezP??(???0)d2?0?UQ? (2)由 ??ab(???0)dE0 (???0)dQU? 得到?1 2??ab0?2 (???0)QE ?? 故?p下?ab(???0)Q?0 ? E0

?p上??

?ab2?0?abQC?? 3 ()电容器的电容为题3.22图 U(???0)d

3.22 厚度为t、介电常数为??4?0的无限大介质板,放置于均匀电场E0中,板与E0成角?1,如题3.22图所示。求:(1)使?2??4的?1值;(2)介质板两表面的极化电荷密

?下??E??度。

tan?1?0? 解 (1)根据静电场的边界条件,在介质板的表面上有

tan?2??1?1?0tan?2?tan?10?tan?1?14 由此得到 ?1?tan??4 (2)设介质板中的电场为E,根据分界面上的边界条件,有?0E0n??En,即

?0E0cos?1??En

?01E?Ecos??E0cos14 所以n01?4介质板左表面的束缚电荷面密度

?p??(???0)En???0E0cos1?4?340.?7E28 00介质板右表面的束缚电荷面密度 ?p?(???0)En?3?0E0cos1?440.?7E28 00 3.23 在介电常数为?的无限大均匀介质中,开有如下的空腔,求各腔中的E0和D0:

(1)平行于E的针形空腔;

(2)底面垂直于E的薄盘形空腔; (3)小球形空腔(见第四章4.14题)。 解 (1)对于平行于E的针形空腔,根据边界条件,在空腔的侧面上,有E0?E。故在针形空腔中

E0?E,D0??0E0??0E

(2)对于底面垂直于E的薄盘形空腔,根据边界条件,在空腔的底面上,有D0?D。故在薄盘形空腔中

D0?D??E,E0?D0?0??E ?03.24 在面积为S的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质,从一极板(y?0)处的?1一直变化到另一极板(y?d)处的?2,试求电容量。

解 由题意可知,介质的介电常数为

???1?y(?2??)1d

设平行板电容器的极板上带电量分别为?q,由高斯定理可得

Dy???q SEy?dDy??q

[?1?y(?2??1)d]S所以,两极板的电位差 U?Eydy?0??2qqddy?ln ?[??y(???)d]SS(???)?1212110d故电容量为 C?S(?2??1)q? Udln(?2?1)3.25 一体密度为??2.32?10?7Cm3的质子束,束内的电荷均匀分布,束直径为2mm,束外没有电荷分布,试计算质子束内部和外部的径向电场强度。

解 在质子束内部,由高斯定理可得 2?rEr?1?02?r?

?r2.32?10?7r?3??1.31?104rVm (r?10 )故 Er?m?122?02?8.854?10在质子束外部,有 2?rEr?1?0?a2?

?a22.32?10?7?10?6?21?3??1.31?10Vm (r?10 )故 Er?m?122?0r2?8.854?10rr3.26 考虑一块电导率不为零的电介质(?,?),设其介质特性和导电特性都是不均匀的。证明当介质中有恒定电流J时,体积内将出现自由电荷,体密度为??J?(??)。试问有没有束缚体电荷?P?若有则进一步求出?P。

???解 ???D??(?E)??(J)?J?()??J

???对于恒定电流,有?J?0,故得到 ??J?(??) 介质中有束缚体电荷?P,且

?J?P???P???D??0?E??J?()??0?()???????0??J?()?J?(0)??J?()

???3.27 填充有两层介质的同轴电缆,内导体半径为a,外导体内半径为c,介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为?1和?2,电导率为?1和?2。设内导体的电压为U0,

外导体接地。求:(1)两导体之间的电流密度和电场强度分布;(2)介质分界面上的自由电荷面密度;(3)同轴线单位长度的电容及漏电阻。

解 (1)设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,则由JdS?I,可得电流密度

S?I

(a?r?c)

2?rJI (a?r?b) 介质中的电场 E1??er?12?r?1JI (b?r?c) E2??er?22?r?2J?erbc由于 U0?E1dr?E2dr?ab??I2??1lnbIc?ln a2??2b于是得到 I?故两种介质中的电流密度和电场强度分别为

2??1?2U0

?2ln(ba)??1ln(cb)J?er (2)由??nD可得,介质1内表面的电荷面密度为

?1?2U0 (a?r?c)

r[?2ln(ba)??1ln(cb)]?2U0 (a?r?b) E1?err[?2ln(ba)??1ln(cb)]?1U0 (b?r?c) E2?err[?2ln(ba)??1ln(cb)]r?a?1??1erE1介质2外表面的电荷面密度为

??1?2U0

a[?2ln(ba)??1ln(cb)]???2???2erE2两种介质分界面上的电荷面密度为

r?c?2?1U0

c[?2ln(ba)??1ln(cb)]??(?1?2??2?1)U0

r?bb[?2ln(ba)??1ln(cb)]U?ln(ba)??1ln(cb) (3)同轴线单位长度的漏电阻为 R?0?2

I2??1?22??1?2 由静电比拟,可得同轴线单位长度的电容为 C??2ln(ba)??1ln(cb)3.28 半径为R1和R2(R1?R2)的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为?、电导率为???0(1?Kr)的导电媒质(K为常数)。若内导体球面的电位为U0,外导体球面

?12??(?1erE1??2erE2)接地。试求:(1)媒质中的电荷分布;(2)两个理想导体球面间的电阻。

解 设由内导体流向外导体的电流为I,由于电流密度成球对称分布,所以

4?rJI电场强度 E??er?4??0(r?K)rR2J?erI2(R1?r?R2)

(R1?r?R2)

I?R(R?K)?I dr?ln?21?4??0(r?K)r4??0K?R1(R2?K)?R2由两导体间的电压 U0?R1?Edr?R1?4??0KU0可得到 ?R2(R1?K)?

ln??R(R?K)?12??0KU0J?er所以 ?R(R?K)?

r2ln?21?R(R?K)?12?I????J?()?媒质中的电荷体密度为 ?媒质内、外表面上的电荷面密度分别为

1?R2(R1?K)?(r?K)2r2 ln???R1(R2?K)??K2U0??1?erJ?r?R1???2??erJ?r?R2(2)两理想导体球面间的电阻

1?R2(R1?K)?(R1?K)R1 ln??R(R?K)?12??KU01???R(R?K)?(R2?K)R2 ln?21?R(R?K)?12??KU0U0R(R?K)1 ?ln21I4??0KR1(R2?K)3.29 电导率为?的无界均匀电介质内,有两个半径分别为R1和R2的理想导体小球,

R?两球之间的距离为d(d??R1,d??R2),试求两小导体球面间的电阻。

解 此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷q和?q,由于两球间的距离d??R1、d??R2,可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。由电荷q和?q的电位叠加求出两小球表面的电位差,即可求得两小导体球面间的电容,再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。

设两小球分别带电荷q和?q,由于d??R、d??R,可得到两小球表面的电位为

12q11(?) 4??R1d?R2q11?2??(?)

4??R2d?R1q4??C?? 所以两小导体球面间的电容为 ?1??21?1?1?1R1R2d?R1d?R2?1?I4??? 由静电比拟,得到两小导体球面间的电导为 ?1??21?1?1?1R1R2d?R1d?R2111111故两个小导体球面间的电阻为 R??(???)

G4??R1R2d?R1d?R23.30 在一块厚度d的导电板上, 由两个半径为r和r的圆弧和夹角为?的两半径割

21G?出的一块扇形体,如题3.30图所示。求:(1)沿厚度方向的电阻;(2)两圆弧面之间的电

阻;沿?方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为?。

解 (1)设沿厚度方向的两电极的电压为U,则有

1J E1?U1 dr2 ? ? r1 题3.30图

d 故得到沿厚度方向的电阻为 R1?d?U?I1?J1S1?1?(r22?r12)

d2J1??E1??U1

U12d ?22I1??(r2?r1)(2)设内外两圆弧面电极之间的电流为I2,则

IIJ2?2?2S2?rd

E2?J2I?2 ???rdr2U2??E2dr?r1I2rln2 ??dr1故得到两圆弧面之间的电阻为 R2?U2r1?ln2 I2??dr1?(3)设沿?方向的两电极的电压为U3,则有 U3?E3rd?

?0由于E3与?无关,所以得到

E3?e?U3 ?rJ3??E3?e??U3 ?rr?dU3?dU3r2I3??J3e?dS??dr?ln

?r?r1Sr231U3? ?I3?dln(r2r1)3.31 圆柱形电容器外导体内半径为b,内导体半径为a。当外加电压U固定时,在b一定的条件下,求使电容器中的最大电场强度取极小值Emin的内导体半径a的值和这个Emin的值。

故得到沿?方向的电阻为 R3?解 设内导体单位长度带电荷为?l,由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为

E(r)?b?l 2??0rb由内外导体间的电压 U??Edr??a?l?bdr?lln 2??0r2??0aa得到 ?l?2??0U

ln(ba)由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式 E(r)?在圆柱形电容器中,r?a处的电场强度最大 E(a)?令E(a)对a的导数为零,即 由此得到 ln(b/a)?1 故有 a?U

rln(ba)U

aln(ba)?E(a)1ln(ba)?1??2?0 2?aaln(ba)bb? e2.718eUEmin?U?2.718

bbql23.32 证明:同轴线单位长度的静电储能We等于。ql为单位长度上的电荷量,C为

2C单位长度上的电容。

解 由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为 E(r)?内外导体间的电压为

bbql2??r

U??Edr??a则同轴线单位长度的电容为 C?同

线

b?l?bdr?lln 2??r2??aaql2??U?ln(ba)度

22ql211qq112llWe???Ed????()2?rdr? ln(ba)?2?2a2??r22??2C3.33 如题3.33图所示,一半径为a、带电量q的导体球,其球心位于两种介质的分界

面上,此两种介质的电容率分别为?1和?2,分界面为无限大平面。求:(1)导体球的电容;(2) 总的静电能量。

解 (1)由于电场沿径向分布,根据边界条件,在两种介质的分界面上E1t?E2t,故有 E1?E2?E。由于D1??1E1、D2??2E2,所以D1?D2。由高斯定理,得到

D1S1?D2S2?q

即 2?r2?1E?2?r2?2E?q

q2?r2(?1??2)

?1 a q 所以 E?导体球的电位

?2 o 题 3.33图

?qq1?(a)??Edr?dr? 2?2?(???)a2?(???)r1212aa?故导体球的电容 C?q?2?(?1??2)a ?(a)1q2(2) 总的静电能量为 We?q?(a)?

24?(?1??2)a3.34 把一带电量q、半径为a的导体球切成两半,求两半球之间的电场力。

解 先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力f,然后在半球面上对f积分,求出两半球之间的电场力。

导体球的电容为 C?4??0a

q2q2? 故静电能量为 We?2C8??0a根据虚位移法,导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力

1?We1?q2q2f????()? 22244?a?a4?a?a8??0a32??0a方向沿导体球表面的外法向,即 f?erf?q232?2?0a4这里 er?exsin?cos??eysin?sin??ezcos? 在半球面上对f积分,即得到两半球之间的静电力为

er

2??2F??fdS???000erq232?2?0a4a2sin?d?d??

q2ez

3.35 如题3.35图所示,两平行的金属板,板间距离为d,竖直地插入在电容率为?的液体中,两板间加电压U,证明液面升高

2?a2q2ez32?2?0a4?2?cos?sin?d??32??a02h?其中?为液体的质量密度。

解 设金属板的宽度为a、高度为L。当金属板间的液面升高为h时,其电容为

U(???0)()2 2?gd1C??ah?0a(L?h)? ddU 金属板间的静电能量为

1aU22We?CU?[h??(L?h)?0]

22d液体受到竖直向上的静电力为

L h ?WeaU2Fe??(???0)

?h2d而液体所受重力

? d Fg?mg?ahd?g

2aUFe与Fg相平衡,即 (???0)?ahdg

2d 题3.35图

故得到液面上升的高度

(???0)U21U2h??(???)() 022d?g2?gd3.36 可变空气电容器,当动片由0至180电容量由25至350pF直线地变化,当动片为?角时,求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为U0?400V。

解 当动片为?角时,电容器的电容为

350?25C??25???25?1.81?PF?(25?1.81?)?10?12F

180112?122此时电容器中的静电能量为 We?C?U0?(25?1.81?)?10U0

22?We1??1.81?10?12U02?1.45?10?7Nm 作用于动片上的力矩为 T???23.37 平行板电容器的电容是?0Sd,其中S是板的面积,d为间距,忽略边缘效应。 (1)如果把一块厚度为?d的不带电金属插入两极板之间,但不与两极接触,如题3.37(a)图所示。则在原电容器电压U0一定的条件下,电容器的能量如何变化?电容量如何

S d ?d U0

变化?

(2)如果在电荷q一定的条件下,将一块横截面为?S、介电常数为?的电介质片插入电容器(与电容器极板面积基本上垂直地插入,如题3.37(b)图所示,则电容器的能量如何变化?电容量又如何变化?

解 (1)在电压U0一定的条件下,未插入金属板前,极板间的电场为

题3.37图(a)

电容为 C0?E0?U0 d?0Sd

?0SU0212 静电能量为 We0?C0U0?22d当插入金属板后,电容器中的电场为 E?U0

d??d2?0SU021?U0? 此时静电能量和电容分别为 We??0??S(d??d)?2?d??d?2(d??d)2We?0S C?2?

U0d??d故电容器的电容及能量的改变量分别为

?C?C?C0??0Sd??d??0Sd?

?0S?dd(d??d)

?We?We?We0??0SU02?d2d(d??d)(2)在电荷q一定的条件下,未插入电介质板前,极板间的电场为 E0??q? ?0?0Sq2dq2? 静电能量为 We0?2C02?0S当插入电介质板后,由介质分界面上的边界条件E1t?E2t,有 E1?E2?E

S 再由高斯定理可得 E??S?E?0(S??S)?q

q d ? ?0 ?S ?q 11q2d 此时的静电能量为 We?qU?22??S??0(S??S)

??S??0(S??S) 其电容为 C?d(???0)?S 故电容器的电容及能量的改变量分别为 ?C?d(???0)q2d1?We??

2?0S[??S??0(S??S)]3.38 如果不引入电位函数,静电问题也可以通过直接求解法求解E的微分方程而得解

题3.37图(b)

q

??S??0(S??S)qd 两极板间的电位差位 U?Ed???S??0(S??S)于是得到极板间的电场为 E?决。

(1)证明:有源区E的微分方程为?E?2??t?0,?t????P;

???td?? (2)证明:E的解是 E???4??0?R1解 (1)由??E?0,可得 ??(??E)?0,即?(?E)??2E?0

(???P) ?0?(???P)??t2?故得到 ?E?

?0?0??t2(2)在直角坐标系中?E?的三个分量方程为

?01??t1??t1??t22?2Ex? ,?Ey?,?Ez??0?x?0?y?0?z又 ?E?1?0?(D?P)?1其解分别为

1??td?? ?4??0?R?x?11??tEy??d?? ??4??0?R?y11??tEz??d?? ?4??0?R?z?Ex??1故 E?exEx?eyEy?ezEz? ???t??t1??t???t1??d?? [e?e?e]d??xyz?????4??0?R4??0?R?x?y?z13.39 证明:??(解 由于 ??(???tR???t)??t??()???t3? ,所以 RRRRR?t???t???tR?????()d???d??d??4??E?d?? t03????RR???R?R???td????4??0E 由题3.38(2)可知 ??R?t)d???0 R1???t故

???(?t)d????4??0E?4??0E?0 ?R

第四章习题解答

4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽,槽可视为无限长,其上有一块与槽相绝缘的盖板,槽的电位为零,上边盖板的电位为U0,求槽内的电位函数。

解 根据题意,电位?(x,y)满足的边界条件为

y?)?a(y,?) 0① ?(0,) 0 ② ?(x,0??(x,b)?U0

根据条件①和②,电位?(x,y)的通解应取为

?(x,y)??Ansinh(y ?n?1n?yn?x)sin() aab U0 由条件③,有

U0??Ansinh(n?1?n?bn?x)sin() aao a 题4.1图

ax 两边同乘以sin(

n?x),并从0到a对x积分,得到 aa2U0n?xAn?sin()dx?

asinh(n?ba)?a04U0?,n?1,3,5,?n?sinh(n?ba) ??0,n?2,4,6,?4U01n?yn?x?(x,y)?sinh()sin()故得到槽内的电位分布 ??n?1,3,5nn?(ba)aa,sinh4.2 两平行无限大导体平面,距离为b,其间有一极薄的导体片由y?d到y?b(???x??)。上板和薄片保持电位U0,下板保持零电位,求板间电位的解。设在薄片平面上,从y?0到y?d,电位线性变化,?(0,y)?U0yd。

2U0(1?cosn?)?n?sinh(n?ba)解 应用叠加

y 原理,设板间的电位为

U0 boxy dxy oxy 4.2图 题 x

?(x,y)??1(x,y)??2(x,y)

其中,?1(x,y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为U0)的电位,即

?1(x,y)?U0yb;?2(x,y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位,其边界

条件为:

?2(x,0)??2(x,b)?0

?2(x,y)?0(x?? )U0?U?y??0b③ ?2(0,y)??(0,y)??1(0,y)???U0y?U0y?b?d?(0?y?d)

(d?y?b)?xn?y?nb )e根据条件①和②,可设?2(x,y)的通解为 ?2(x,y)??Ansin(bn?1U0?U?y(0?y?d)?n?y??0b)?? 由条件③有 ?Ansin(UUbn?1?0y?0y(d?y?b)?b?dn?y),并从0到b对y积分,得到 两边同乘以sin(bdb2U02U011yn?yn?yAn?(1?)sin()dy?(?)ysin()dy?2U0bsin(n?d) ??b0bbbddbb(n?)2db?xU02bU0?1n?dn?y?nb?(x,y)?y?故得到 ?sin(b)sin(b)e

bd?2n?1n24.3 求在上题的解中,除开U0yb一项外,其他所有项对电场总储能的贡献。并按2WCf?2e定出边缘电容。

U0解 在导体板(y?0)上,相应于?2(x,y)的电荷面密度

???2???02?y??y?0?x2?0U0?1n?d?nb??sin()e ??dn?1nb则导体板上(沿z方向单位长)相应的总电荷

?x2?0U0n?d?nb4?0U0b?1n?dsin()edx??2?2sin() q2???2dx?2??2dx??2??n?db?dn?1nb0n?1??0??2?2?0bU011n?dsin() 相应的电场储能为 We?q2U0???222?dn?1nb2We4?0b?1n?d其边缘电容为 Cf?2?2?2sin()

U0?dn?1nb4.4 如题4.4图所示的导体槽,底面保持电位U0,其余两面电位为零,求槽内的电位

的解。

解 根据题意,电位?(x,y)满足的边界条件为

y?)?a(y,?) 0① ?(0,?(x,y)?0(y??) ② y ?(x,0?)U0 ③ 根据条件①和

②,电位?(x,y)的通解应取为

o 题4.4图 aU0

a x

?(x,y)??Ane?n?yasin(n?1?n?x) a由条件③,有 U0?两边同乘以sin(?Ansin(n?1?n?x) an?x),并从0到a对x积分,得到 a?4U0a,n?1,3,5,2U0n?x2U0?An?sin()dx?(1?cosn?)? n??a?an?0??0,n?2,4,6,4U1?n?yan?x?0?esin( )故得到槽内的电位分布为 ?(x,y)?n?1,3,5na,4.5 一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位,体积内填充密度为

?x?z??y(y?b)sin()sin()

ac的电荷。求体积内的电位?。

解 在体积内,电位?满足泊松方程

?2??2??2?1?x?z????y(y?b)sin()sin() (1) 222?x?y?z?0ac长方体表面S上,电位?满足边界条件?S?0。由此设电位?的通解为

?(x,y,z)?代入泊松方程(1),可得

???1?0???Amnpsin(m?1n?1p?1???m?xn?yp?z)sin()sin() abc???Amnp[(m?1n?1p?1m?2n?2p?)?()?()2]? abcm?xn?yp?z?x?zsin()sin()sin()?y(y?b)sin()sin()

abcac由此可得

Amnp?0 (m?1或p?1)

?2n?2?2n?yA[()?()?()]sin()?y(y?b) (2) ?1n1abcbp?1?由式(2),可得

n??2n?y4bA1n1[()2?()2?()2]??y(y?b)sin()dy?()3(cosn??1)?

abcb0bbn??8b2??3?(n?)?0?n?1,3,5,n?2,4,6,8b2??b

1?xn?y?zsin()sin()sin()?5故 1n1??0n?1,3,5nabc ,3[()2?()2?()]2abc4.6 如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板,板间有一与z轴平行的线电荷ql,其位置为(0,d)。求板间的电位函数。

?(x,y,z)??解 由于在(0,d)处有一与z轴平行的线电荷ql,以x?0为界将场空间分割为x?0和x?0两个区域,则这两个区域中的电位?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在

x?0的分界面上,可利用?函数将线电荷ql表示成电荷面密度?(y)?ql?(y?y0)。

电位的边界

ql 条件为

y ?1(x,0)=?1(x,a)?0

?2(x,0)=?2(x,a)?0 ?1(x,y)?0(x??)

(x???) ?2(x,y)?0③

da ?1(0,y)??2(0,y)

(??2?x???1?x)q题x ?4.60o?图?l ??(y?dx) 0由条件①和②, 可设电位函数的通解为 ??)??Aasin(n?y1(x,yne?n?x) (x?0)

n?1a??,y)??Bxasin(n?y2(xnen?) (x?0)

n?1a由条件③,有

??Ansin(n?y?)?Bsin(n?y) n?1a?nn?1a ???An?n?y?n?n?ynsin()?n?1aa?Bn?ql?(y?d) n?1asin(a)

?0由式(1),可得

An?Bn 将式(2)两边同乘以sin(m?ya),并从0到a对y积分,有 A2n?Bn?qlan???(y?d)sin(n?y)dy?2qlsin(n?d) 0?0an??0a由式(3)和(4)解得 Aql?dn?Bn?n??sin(n0a) 故

?q?ln?d?n?xan?1(x,y)?1???sin()esin(y) (x?0) 0n?1naa?)?q?l1n?dn?xa???sin(a)esin(n?y2(x,ya) (x?0) 0n?1n4.7 如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零,槽中有一与槽平行的线电荷

ql。求槽内的电位函数。

解 由于在(x0,y0)处有一与z轴平行的线电荷ql,以x?x0为界将场空间分割为0?x?x0和x0?x?a两个区域,则这两个区域中的电位?1(x,y)和

?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x?x0的分界面上,可利用?函数将线电荷ql表示成电荷面密度?(y)?ql?(y?y0),电位的边界条件为

① ?1(0y,=),0?2(a,y)?0 (1) (2) (3)

(4) y b ql (x0,y0) o a x题4.7图

?1(x,0)=?1(x,b)?0 ?2(x,0)=?2(x,b)?0

??2(x0,y )③ ?1(x0,y)②

(??2??1?)?x?x?x?x0??ql由条件①和②,可设电位函数的通解为

?0?(y?y0)

n?yn?x)sinh() (0?x?x0) bbn?1?n?yn?)sinh[(a?x)] (x0?x?a) ?2(x,y)??Bnsin(bbn?1?1(x,y)??Ansin(由条件③,有

?n?x0n?yn?yn?Asin()sinh()?Bsin()sinh[(a?x0)] (1) ??nnbbbbn?1n?1?n?x0n?n?yAsin()cosh()? ?nbbbn?1?qln?n?yn???(y?y0) (2) Bsin()cosh[(a?x)] ?n0?bbbn?10?由式(1),可得

n?x0n?)?Bnsinh[(a?x0)]?0 (3) bbm?y),并从0到b对y积分,有 将式(2)两边同乘以sin(b2qlbn?yn?x0n???(y?y)sin()dy? Ancosh()?Bncosh[(a?x0)]0?0n??0bbb2qln?y0sin() (4) n??0bAnsinh(由式(3)和(4)解得 An?2qln?y01n?sinh[(a?x0)]sin()

sinh(n?ab)n??0bb2qln?x0n?y01Bn?sinh()sin()

sinh(n?ab)n??0bb故

?1(x,y)?2ql??0?nsinh(n?ab)sinh[bn?1?1n?(a?x0)]

n?y0n?xn?y)sinh()sin() (0?x?x0) bbb2ql?n?x01?2(x,y)?sinh() ???0n?1nsinh(n?ab)bn?y0n?n?y?sin()sinh[(a?x)]sin() (x0?x?a)

bbb若以y?y0为界将场空间分割为0?y?y0和y0?y?b两个区域,则可类似地得到

?sin(?1(x,y)?2ql??0?nsinh(n?ba)sinh[an?1?1n?(b?y0)]

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/luv.html

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