2.2探索直线平行的条件2

2 两直线相交形成 4 个角， 从数量关系 1 上讲， ∠1与∠2形成 角， 3 互补的 4 从位置关系上讲， ∠2与∠4形成 对顶 角； 除了能找到互为补角的角、 在“三线八角”中， 对顶角外，你还能找出 什么 具有特殊位置关系的角吗？ E C 3 1 还能找出 同位 角。 7 D 5 “三线八角”中 4 2 B

回顾与思考

回顾 思考

有同位角

4 组。

A

8

6

动脑筋 动脑筋小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平 行，于是他在两个边缘之间画了一条线段(如图所示)。 小明身边只有一个量角器， 他通过测量某些角的大小就 能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做 的吗？ A 用∠1与∠3 的大小； 方案 用∠2与∠4 的大小； ∠2与∠4 相等 ① 用∠1与∠2 的大小；

② ∠3、∠4 ;③ ∠1、∠3 ;或∠2、∠4 ; ④ ∠1、∠4 ;或∠2、∠3 ; 最简单的是用

3 4 B

90

180

0

G R E A T 。PROTRACTOR

内A

错

角联想思考

∠2与∠4 相等4 B

同位角形如字母“F ” , 内错角象个什么呢？

分解出∠2与∠4,

它太象个字母 Z了！两直线的内部( “内”的涵义： 两直线之间);

啊哈！

第三直线 “错”的涵义： 的两侧. 我们称∠2和∠4为内错角。

同

旁

内

角

找一找: 如图“三线八角”中的 内错角. C 3 E 猜想 怎样称呼“∠2 与 ∠5 ” ?“∠ 7 与 ∠ 4 ” ? 7 5 A 7 5

1 D B

48 F

26

2“内”的涵义?二直线之内; 第三直线 “旁”的涵义: 的同旁

∠∠

与 7 ∠

是内错角 ; 2是内错角 ; 5

4与 ∠

∠2 与 ∠5 是 同旁内 角; ∠7 与 ∠4 是 同旁内 角;

“三线八角” 小结两直线被第三直线所截, 构成的八个角中， ①位于两直线同一方、 且在第三直线同一侧的 两个角，叫做 同位角 ;② 位于两直线的 内部 , 且在第三直线的 两侧 的两 个角, 叫做 内错角 ;③ 位于两直线的 内部 , 同旁的两 且在第三直线的 个角, 叫做 同旁内角 ; C 3 E 1 5 2 6 F 同位角是 内错角是 D

74

A

B

8

F 形状

Z 形状

同旁内角是

U 形状

二直线平行 的 判定

同位角相等，两直线平行. 内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.议一议㈠ 内错角满足什么关系时？两直线平行？ 为什么？ ㈡ 同旁内角满足什么关系时？两直线平行？为什么？

做一做

做一做 再找一组平行线，说明你的理由。B C D

如图2—8,三个相 同的三角尺拼成一个图 形，请找出图中的一组 平行线，并说明你的理由。

A

AC与DE是平行的。因为∠EDC与∠ACB 是同位角， 而且又相等。

图2—8 我是这样想的： ∠BCA=∠EAC, BD∥AE。

E

你看得懂她的意识吗？ 她选的第三线是谁？选BD作第三线， 用三角尺的60 角相等 说明“同位角相等

”, 用“同位角相等两直线平行” 来说明 BD∥AE。

他选谁为第三线？ AC 用的是什么角？ 内错角。 你知道这一步的理由吗？内错角相等， 两直线平行。

随堂练习m

1、观察右图并填空： (1) ∠1 与 ∠4 是同位角; ∠3 (2) ∠5 与 是同旁内角 ; (3) ∠1 与 ∠2 是内错角;2、当图中各角满足下列 条件时,你能指出哪两条直线 平行? n (1) ∠1 = ∠4; a∥b. (2) ∠2 = ∠4; l∥m. (3) ∠1 + ∠3 = 180 ; l∥n .

2 1

n3 5

ab

4

m

l4 2

a1

b

3

C∠1和∠2, 在三线八角中 ∠3和∠4, ① 同位角有4对： ∠5和∠6, ∠7和∠8.

3 7 4 2

E 1

5

D B

② 内错角有2对：∠7和∠2, ∠5和∠4. 8 ③ 同旁内角有2对：∠7和∠4, ∠5和∠2

A

6F

说明(证明)二直线平行, 要根据已知条件, 选定 同位角相等、内错角相等及同旁内角互补 之一，来进行。 练习中要注意书写格式的规范的训练。

为什么“内错角相等时,二直线平行”议一议已知: 如图 , 二直线a 、 b 被第三直线 c 所截, 内错角 ∠1 = ∠2 . 求证: 直线 a∥b. 1

c3 a b

2

证明思路

内错角相等 对顶角相等

证明: 设∠1 的对项角是∠3, 同位角相等 ∵∠3 = ∠1, ( 对项角相等 ) ∵ ∠1 = ∠2, ( ) 已知 二直线平行 ∴ ∠3 = ∠2; ( 等量代换 ) ∴ 直线 a∥b. ( 同位角相等,两直线平行. ).

为什么“同旁内角互补时,二直线平行”c已知: 如图 , 二直线a 、 b 3 3 1 2

被第三直线 c 所截,同旁内角 ∠1 与∠2互补 . 求证: 直线 a∥b. 补 证明: 设∠1 的 补 角是∠3, 已知

a b

证明思路同旁内角互补 同角的补角 同角的补角 相等 相等

∵ ∠1 、 ∠2 互补 , (

)

同位角相等 内错角相等二直线平行接做一做

= ∠2 ∠2 ; ( 同角的补角相等 同角的补角相等 ) ∴ ∠3 =

∴ 直线 a∥b. ( 内错角相等 同位角相等,两直线平行. ).

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