概率论与数理统计习题解答

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第1页 (共79页)

第一章 随机事件及其概率

1. 写出下列随机试验的样本空间：

（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；

（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；

（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下

（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1}

（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0}

2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下

(1)ABC(2)ABC(3)ABC(4)ABC (5)ABC(6)A?B?C

(7)AB?BC?AC(8)AB?BC?CA3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年

级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB 表示什么？

（2）在什么条件下ABC=C成立？

（3）在什么条件下关系式C?B是正确的？ （4）在什么条件下A?B成立？ 解 所求的事件表示如下

（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员.

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第2页 (共79页)

（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立.

（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C?B是正确的.

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A?B成立. 4．设P(A)＝0.7，P(A－B)＝0.3，试求P(AB) 解 由于 A?B = A – AB, P(A)=0.7 所以

P(A?B) = P(A?AB) = P(A)??P(AB) = 0.3,

所以 P(AB)=0.4, 故

P(AB)

= 1?0.4 = 0.6.

485. 对事件A、B和C，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 求A、

B、C中至少有一个发生的概率. 解 由于ABC?AB,

?P(AB)?0,故P(ABC) = 0

则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC)

14?14?115?0?0??0?488

6. 设盒中有α只红球和b只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A＝{两球颜色相同}， B＝{两球颜色不同}.

解 由题意，基本事件总数为A，有利于A的事件数为A?A，有利于B的事件数为AA?AA?2AA,

2a?b2a2b1a1b1b1a1a1b则

P(A)?Aa?AbA2a?b22P(B)?2AaAbA2a?b1

1

7. 若10件产品中有件正品，3件次品,

（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）设A={取得三件次品} 则

P(A)?C333C10?1120或者P(A)?A333A10?6720.

（2）设B={取到三个次品}, 则

P(A)?33310?271000.

8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人

会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求： （1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率； （2）此人只会讲法语的概率.

解 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语} 根据题意, 可得 (1) (2)

P(ABC)?P(AB)?P(ABC)?32100?9100?23100

P(ABC)?P(AB)?P(ABC)

?P(A?B)?0?1?P(A?B)

?1?P(A)?P(B)?P(AB) ?1?43100?35100?32100?54100

9. 罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求：

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第3页 (共79页)

（1） 取到的都是白子的概率；

（2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率； （3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4） 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解

(1) 设A={取到的都是白子} 则

P(A)?C83C1223?1455?0.255.

(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}

P(B)?C8C4C1231?0.509.

(3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} P(C)?1?P(A)?0.745.

(4) 设D={取到三颗子颜色相同}

P(D)?C8?C4C12333?0.273.

10. （1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？

（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解

(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 则

P(A)?1?P(A)?1?364365500500?0.746

(2)设所求的概率为P(B)

P(B)?C6?C12?11126412?0.0073

11. 将C，C，E，E，I，N，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE的概率p. 解 由于两个C，两个E共有AA种排法，而基本事件总数为A，因此有

222277

p?A2A2A7722?0.000794

12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率. 解 要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有CA={4只手套都不配对}，则有

P(A)?C5?2C1044445?24中取法. 设

?80210

13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i只零件是不合格的概率为

pi?11?i ，i=1，2，3，若以x表示零件中合格品的个数，则P(x=2)为多少？

i解 设Ai = {第i个零件不合格}，i=1,2,3, 则P(A)?所以

P(Ai)?1?pi?i1?ipi?11?i

P(x?2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)由于零件制造相互独立，有：

P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)，P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3) P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第4页 (共79页)

所以,P(x?2)?12?13?14?12?23?14?12?13?34?1124

14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独

立射击至少有一次命中目标的概率p.

解 设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，Bi ={第i次击中目标}, i=1,2.

则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式

P(B)?P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B|A) ?P(A)P((B1?B2)|A)另外, 由于两次射击是独立的, 故

P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36 由加法公式

P((B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)－P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84

因此

P(B)= P(A)P((B1+B2)|A)=0.7×0.84 = 0.588

15. 设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件

次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.

解 设Ai ={一批产品中有i件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品}, C={产品中次品不超两件}, 由题意

P(B|A0)?0P(B|A1)?P(B|A2)?P(B|A3)?P(B|A1)?C1C49C50CCC112109481050919

?15164939989882303

?C3C47C501109?C4C46C5010?由于 A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式

4P(B)??i?0P(Ai)P(B|Ai)?0.196

由Bayes公式

P(A0|B)?P(A1|B)?P(A2|B)?P(A0)P(B|A0)P(B)P(A1)P(B|A1)P(B)P(A2)P(B|A2)P(B)?0?0.255?0.333

故

2P(C)??i?0P(Ai|B)?0.588

16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，

概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第5页 (共79页)

0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.

解 设B={三件都是好的}，A1={损坏2%}, A2={损坏10%}, A1={损坏90%}，则A1, A2, A3是两两互斥, 且A1+ A2 +A3=Ω, P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. 因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13, 由全概率公式

3P(B)??i?1P(Ai)P(B|Ai)333

?0.8624?0.8?0.98?0.15?0.90?0.05?0.10由Bayes公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为

P(A1|B)?P(Ai)P(B|Ai)P(B)P(Ai)P(B|Ai)P(B)P(Ai)P(B|Ai)P(B)?0.8?0.980.86240.15?0.900.86240.05?0.100.8624333?0.8731

P(A2|B)?P(A3|B)???0.1268

??0.0001由于P( A1|B) 远大于P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.

17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且

含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求： （1）一次通过验收的概率α；

（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β. 解 设Hi={箱中实际有的次品数},

i?0,1,2, A={通过验收}

则 P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有：

P(A|H0)?1,P(A|H1)?P(A|H2)?C23C24C22C244444?56,

?95138(1)由全概率公式

2??P(A)??i?0P(Hi)P(A|Hi)?0.96

(2)由Bayes公式 得

??P(Hi|A)?P(H0)P(A|H0)P(A)?0.8?10.96?0.83

18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的

概率为0.1，问在同一时刻

（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？ （2）至少有三台设备被使用的概率是多少？

解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1?p=0.9, 故

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lujf.html