（全国通用）2019届高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 正弦定理和余弦定理学案

§4.6 正弦定理和余弦定理

最新考纲 考情考向分析 以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 222余弦定理 (2)a＝b＋c－2bccos_A； 内容 (1)＝＝＝2R sin Asin Bsin C(3)a＝2Rsin A， abcb2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C b＝2Rsin_B， c＝2Rsin_C； abc变形 b2＋c2－a2(7)cos A＝； 2bc(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； c2＋a2－b22R2R2Rcos B＝； 2ac(5)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； a2＋b2－c2cos C＝ (6)asin B＝bsin A， 2abbsin C＝csin B， asin C＝csin A 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况

图形 A为锐角 A为钝角或直角 关系式 解的个数 a＝bsin A 一解 bsin Ab 一解 3.三角形常用面积公式

1

(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；

2111

(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；

2221

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．

2知识拓展

1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π； 变形：

A＋Bπ

＝－. 222

C2．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C； (3)sin

A＋BCA＋BC＝cos ；(4)cos ＝sin . 2222

3．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；

b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B.

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.( √ ) (3)当b＋c－a>0时，三角形ABC为锐角三角形．( × )

2

2

2

aa＋b－c(4)在△ABC中，＝.( √ )

sin Asin A＋sin B－sin C(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ ) 题组二 教材改编

2．[P10B组T2]在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．

答案 等腰三角形或直角三角形

解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， π

即A＝B或A＋B＝，

2

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．

3．[P18T1]在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________． 答案 23

234

解析 ∵＝，∴sin B＝1，∴B＝90°，

sin 60°sin B1

∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×23＝23.

2

题组三 易错自纠

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c

解析 由已知得sin C

∴sin A·cos B＋cos A·sin B0，∴cos B<0，∴B为钝角， 故△ABC为钝角三角形．

5．(2018·桂林质检)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解 C．无解 答案 C

解析 由正弦定理得＝，

sin Bsin C340×2bsin C∴sin B＝＝＝3>1.

c20

∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．

6．(2018·包头模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin

B．有两解

D．有解但解的个数不确定 B．直角三角形 D．等边三角形

bcA＝5sin B，则角C＝________.

答案

2π 3

解析 由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a， 57

所以a＝b，c＝b，

33

所以cos C＝a＋b－c＝2ab222

?5b?2＋b2－?7b?2?3??3?????

5

2×b×b32π. 3

1＝－. 2

因为C∈(0，π)，所以C＝

题型一 利用正、余弦定理解三角形

2

2

1．(2016·山东)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a＝2b(1－sin A)，则A等于( ) A.

3ππππ

B. C. D. 4346

答案 C

解析 在△ABC中，由余弦定理得a＝b＋c－2bccos A， ∵b＝c，∴a＝2b(1－cos A)，又∵a＝2b(1－sin A)， ∴cos A＝sin A，∴tan A＝1， π

∵A∈(0，π)，∴A＝，故选C.

4

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于( ) 7A. 257C．± 25答案 A

解析 ∵8b＝5c，∴由正弦定理，得8sin B＝5sin C. 又∵C＝2B，∴8sin B＝5sin 2B， ∴8sin B＝10sin Bcos B. 4

∵sin B≠0，∴cos B＝，

5

7B．－ 2524D. 25

2

2

2

2

2

2

2

72

∴cos C＝cos 2B＝2cosB－1＝.

25

1π

3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝，C＝，则b＝________.

26答案 1

1

解析 因为sin B＝且B∈(0，π)，

2π5π

所以B＝或B＝.

66

ππ2π

又C＝，B＋C<π，所以B＝，A＝π－B－C＝.

663

ab3b又a＝3，由正弦定理得＝，即＝，

sin Asin B2ππ

sin sin

36

解得b＝1.

思维升华 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．

题型二 和三角形面积有关的问题

典例 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B；

(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．

4

(1)证明 由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 于是sin B＝sin(A－B)．

又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π， 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B， 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B. 1a(2)解 由S＝，得absin C＝，

424

11

故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，

22由sin B≠0，得sin C＝cos B.

a2

a2

2

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