数学建模与数学实验 非线性迭代

目录

一、 实验解读 ........................................................................................................................... 1 二、 实验计划 ........................................................................................................................... 1

1. 迭代序列与不动点 ........................................................................................................... 1

1.1 程序 ....................................................................................................................... 1 1.2 实验思路 ............................................................................................................... 2 2. Logistic映射与混沌 ......................................................................................................... 2

2.1 程序 ....................................................................................................................... 2 2.2 实验思路 ............................................................................................................... 2 3. 方程求根 ........................................................................................................................... 3

3.1 程序 ....................................................................................................................... 3 3.2 实验思路 ............................................................................................................... 4 4. 分形 ................................................................................................................................... 4

4.1 程序 ....................................................................................................................... 4 4.2 实验思路 ............................................................................................................... 4

三、 实验过程与结果 ............................................................................................................... 5

1. 迭代序列与不动点 ....................................................................................................... 5 2. Logistic映射与混沌 ................................................................................................ 14 3. 方程求根 ..................................................................................................................... 25 4. 分形 ............................................................................................................................. 30 四、 实验总结 ......................................................................................................................... 34

非线性迭代

一、 实验解读

迭代是数学研究中的一个非常重要的工具，通过函数或向量函数由初始结点生成迭代结点列，也可通过函数或向量函数由初值（向量）生成迭代数列或向量列。 蛛网图也是一个有用的数学工具，可以帮助理解通过一元函数由初值生成的迭代数列的敛散性，也帮助理解平衡点（两平面曲线交点）的稳定性。

本实验在Mathematica平台上首先利用蛛网图和迭代数列研究不动点的类型；其次通过蛛网图和迭代数列研究Logistic映射，探索周期点的性质、认识混沌现象；第三通过迭代数列或向量列求解方程（组）而寻求有效的求解方法；最后，利用结点迭代探索分形的性质。

二、 实验计划

1.

迭代序列与不动点 程序

给定实数域上光滑的实值函数f(x)以及初值x0，定义数列

xn?1?f(xn)，n?0,1,2,? （2.2.1）

1.1

{xn}称为f(x)的一个迭代序列。

对函数的迭代过程，我们可以用几何图象来直观地显示它——“蜘蛛网”。运行下列Mathematica程序：

Clear[f]

f[x_] := (25*x - 85)/(x + 3); （实验时需改变函数） Solve[f[x]==x , x] （求出函数的不动点）

g1=Plot[f[x], {x, -10, 20}, PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction -> Identity];

g2=Plot[x, {x, -10, 10}, PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0], DisplayFunction -> Identity]; x0=5.5; r = {};

r0=Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], Line[{{x0, 0}, {x0, x0}}]}]; For[i = 1, i <= 100, i++,

r=Append[r, Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], Line[{{x0, x0},

{x0, f[x0]}, {f[x0], f[x0]}}] }]]; x0=f[x0] ];

Show[g1, g2, r, r0, PlotRange -> {-1, 20}, （PlotRange控制图形上下范围） DisplayFunction -> $DisplayFunction] x[0]=x0;

x[i_]:=f[x[i-1]]; （定义序列）

1

t=Table[x[i],{i,1,10}]//N ListPlot[t] （散点图）

1.2

实验思路

首先对函数y?25x?85研究不动点，需要 x?3 （1）对Plot中{x,-10,20}可改为{x,-50,50}；对PlotRange中{ -1,20}可改为{-50,50}；

（2）x0=5.5中5.5分别改为-30，-20，-5，-3.001，-2.999，-1，0，1，1.5，2.5，4，4.5， 4.9，4.999，5，5.1，5.001，6，10，16，17，18，20，30；

（3）对t=Table[x[i],{i,1,20}]//N中20分别改为100，200； （4）对i<=100中100分别改为200，500，1000。 运行程序后观察蛛网图与散点图！一看数列是否收敛？如收敛，极限是多少？收敛速度是快是慢？二看蛛网图中的轨道是否趋于平衡点？与平衡点处曲线的斜率有没有关系？三看初值对结果有没有影响？

其次，分别就f(x)?sinx，f(x)??x?1等函数利用（2.2.1）做迭代序列{xn}，观察蛛网图中的轨道是否趋于平衡点和序列的收敛性。 2.

Logistic映射与混沌 程序

从形如f?x??ax?1?x?的二次函数开始做迭代

2.1

xk?1?f?xk? k?0,1,?

（2.2.2）

这里，a??0,4?是一个参数。对不同的a系统地观察迭代（2.2.2）的行为。Mathematica程序：

IterGeo[a_, x0_] :=

Module[

{p1, p2, i, pointlist = {}, v= x0, fv= a*x0*(1 - x0)},

p1=Plot[ {a*x*(1 - x), x}, {x, 0, 1}, DisplayFunction -> Identity]; AppendTo[pointlist, {x0, 0}];

For[i = 1, i < 20, i++, AppendTo[pointlist, {v, fv}]; AppendTo[pointlist, {fv, fv}]; v= fv; fv= 4*v*(1 - v)];

p2=ListPlot[pointlist, PlotJoined -> True, DisplayFunction -> Identity];

Show[{p1, p2}, DisplayFunction -> $DisplayFunction] ]

IterGeo[2.6, 0.3]

2.2

实验思路

就Logistic映射，对a=0.5，1，1.2，2，2.1，2.9，2.999，3，3.001，3.2，3.235，3.236，3.237，3.44等，分别取x0= 0，0.2，0.5，0.8，1.0运行程序，观察结果。

观察结果就是看数列是否收敛，蛛网图中的轨道是否趋于平衡点，与a的关系！对a的定义范围[0，4]分成若干个区间，就初值（属于（0，1）时）看数列是否收敛，蛛网图中

2

的轨道是否趋于平衡点？可用散点图认识。 对Logistic映射讨论下列问题：

1）找出一个a值，它对应的迭代具有2周期点。这种性质依赖于初值吗？你能找到多个a值具有这种性质吗？

2）你能对任意的k找到一个a值，使得它对应的迭代具有k周期点吗？哪些k值能给出k周期点？在每种情况下，结果是否依赖于初值的选取？

3）如果某个a值能给出周期点，它是否一定是吸引的周期点？你能否找到排斥的周期点？ 4）试着从理论上分析：f?x?的不动点是什么？对哪些a值迭代收敛到每个不动点？哪些初值收敛到不动点？哪些初值导致发散？对周期点做类似的分析。 3.

方程求根 3.1

程序

求方程的根的Mathematica程序如下： NSolve[x^3 - 2x + 1 == 0, x]

函数取不同初值迭代的Mathematica程序如下：

Iterate[f_, x0_, n_Integer] : = Module[{ t = {}, temp = x0}, AppendTo[t, temp];

For[i = 1, i <= n, i++, temp = N[f[temp]]; AppendTo[t, temp]]; t ]

f[x_] := (x^3+1)/2; Iterate[f, -2, 10]

Newton切线法迭代数列的Mathematica程序如下：

Iterate[f_,x0_,n_Integer]:=

Module[{ t={},temp= x0}, AppendTo[t,temp];

For[i=1,i <= n, i++,temp=N[x0-f[x0]/h[x0]]; AppendTo[t,temp]]; t ]

f[x_]:=x^3-2*x+1; h[x_]=Dt[f[x],x]; Iterate[f,4,10]

而要通过几何直观观察，可由如下Mathematica程序实现：

Clear[f]

f[x_] := x^3-2*x+1;

g1 = Plot[f[x], {x,2, 5}, PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0], DisplayFunction -> Identity]; x0 = 4; r = {}; h[x_]=Dt[f[x],x];

For[i = 1, i <= 100, i++,

If[h[x0]≠0,x1=N[x0-f[x0]/h[x0],20]];

r = Append[r, Graphics[{RGBColor[0, 0, 1], Line[{{x0, 0},

{x0, f[x0]}, {x1, 0}}] }]];

3

x0 =x1 ];

Show[g1, r, PlotRange -> {-20, 20},

DisplayFunction -> $DisplayFunction]

3.2

实验思路

2x?1x3?1对于方程x?2x?1?0，首先分别考虑函数，2，32x?1，取不同的初值x0

2x3（例如-9,-5,-2,-1,-0.5,0,0.5,1, 2 ,8,10 等），生成相应的数列。若数列有极限，则极限即为所

求根。

其次用牛顿切线法求根，取不同的初值x0（例如-9,-5,-2,-1,-0.5,0,0.5,1, 2,8,10等），由此数列的极限即为所求根。

思考：为何数列收敛？分析原因！此外，初值x0决定数列的极限吗？ 4.

分形 程序

4.1

计算机绘出Koch曲线的Mathematica程序：

redokoch[ptlist_List] :=

Block[{tmp = {}, i, pnum = Length[ptlist]},

For[i = 1, i < pnum, i = i + 1, tmp = Join[tmp, {ptlist[[i]], ptlist[[i]]*2/3 + ptlist [[i + 1]]/3,

(ptlist[[i]] + ptlist [[i + 1]])/2 + {ptlist[[i]] [[2]] - ptlist[[i + 1]] [[2]], ptlist[[i + 1]][[1]] - ptlist[[i]][[1]]}*Sqrt[3]/6,

ptlist[[i]]/3 + ptlist[[i + 1]]*2/3,ptlist[[i + 1]]}]]; tmp] lnko01 = {{0, 0}, {1, 0 }};

Show[Graphics[Line[Nest[redokoch, lnko01, 5]], AspectRatio -> Sprt[3]/6]]

Julia集图形的Mathematica程序：

julia[x_,y_,lim_,cx_,cy_] :=Block[{z, ct = 0}, z = x + I*y;

While[(Abs[z] <2.0) && (ct < lim), ++ct; z = z*z + (cx +I*cy);];Return[ct];] julia1=DensityPlot[julia[x, y,50, 0.27334, 0.00742],{x,-1.5,1.5}, {y,-1.5,1.5}, PlotPoints -> 120, Mesh -> False]

julia2 = Show[julia1,Graphics[Line[{{-0.7, -0.1},

{-0.3,-0.1},{-0.3,0.3},{-0.7,0.3},{-0.7,-0.1}}]]]

julia3 = DensityPlot[julia[x,y,50,0.27334,0.00742],{x,-0.7,-0.4},{y,-0.1,0.3}, PlotPoints -> 120,Mesh -> False]

iter[x_,y_,lim_] := Block[{c,z,ct},c = x +I*y;z = c;ct = 0;

While[(Abs[z] < 2.0) && (ct < lim),++ct;z = z*z + c;];Return[ct];] Mandelbrot1=DensityPlot[iter[x,y,50], {x,-2.0, 1.0}，{y,-1.5,1.5}, PlotPoints -> 120,Mesh -> False]

Mandelbrot2 = Show[Mandelbrot1, Graphics[Line[{{-0.9, -0.25}, {-0.7,-0.25}, {-0.7,-0.05},{-0.9,-0.05}, {-0.9，-0.25}}]]]

Mandelbrot3 = DensityPlot[iter[x,y,50],{x,-0.9,-0.7},{y,-0.25,-0.05}, PlotPoints -> 120,Mesh -> False]

Mandelbrot集以及它的局部放大的Mathematica程序如下：

4.2

实验思路

1、用Koch曲线的生成元做迭代得到的极限图形称为Koch雪花曲线。 （1）试用计算机画出Koch雪花曲线；

（2）试计算雪花曲线的边长及面积，它们是否有限？你如何解释所得出的结论？

4

4.999 20151053020105-1010 201015-40-30-20-10 10865 2015104525-10-520 1651015 5.1 151051412108510-10-520 151651015 5.001 151051412108510-10-52015105 1517161514131251015 6 -10-5510 1551015 10

10 20151051716.816.616.416.2510-10-5 1516.9916.9816.9716.9616.9516.9451015 16 205101515105-10-520510 1516.93 17 3015105252015105-10-52015105510 1517.0617.0517.0417.0317.0217.0151015 18 -10-52015105510 1517.1517.12517.117.07517.0517.02551015 20 -10-5510 1551015 11

30 201510520 17.417.317.217.1-1010510 15

实验观察：数列收敛，极限为17，蛛网图中的轨道趋于平衡点。

初值越接近17，平衡点处曲线的斜率越接近，越多散点在一条直线上。

（3）对t=Table[x[i],{i,1,20}]//N中20分别改为100，200，500，1000 把t= Table[x[i],{i,1,20}]//N 中20改为 100 蛛网图 散点图 2015105-10-52015105-10-5510510171717172017171717171750100154060200 实验观察：数列收敛,收敛速度很快,蛛网图中的轨道趋于平衡点,,初值对结果没有影响

（4）对i<=100中100分别改为200，500，1000 i<= 200 蛛网图 20散点图 1615105141210816.2516.516.751717.51015 12

500 201510516141210851051015 1000 -10-5201510516141210851051015 实验观察：数列收敛,收敛速度很快,蛛网图中的轨道趋于平衡点。

-10-5

实验1.2

分别就f(x)?sinx，f(x)??x?1函数利用（2.2.1）做迭代序列{xn}，观察蛛网图中的轨道是否趋于平衡点和序列的收敛性。 函数 f(x)?sinx蛛网图 20散点图 -0.3515105 -0.4-0.45-0.5-0.55-0.6-0.65510-10-52015105510f(x)??x?1 425-2510-41015

实验观察：函数f(x)?sinx，数列不收敛，蛛网图中的轨道不趋于平衡点。

13

-10-5

函数f(x)??x?1，数列收敛，收敛速度很快，蛛网图中的轨道趋于两个平衡点。

2.

Logistic映射与混沌

实验2.1

就Logistic映射，对a=0.5，1，1.2，2，2.1，2.9，2.999，3，3.001，3.2，3.235，3.44

等，分别取x0= 0，0.2，0.5，0.8，1.0运行程序，观察结果如下： a X0 蛛网图 0..5 0 0.40.30.20.10.20.40.60.8 0.5 0.2 0.40.30.20.10.20.40.60.8 0.5 0.5 0.40.30.20.10.20.40.60.8 0.5 0.8 0.40.30.20.10.20.40.60.8 0.5 1.0 0.40.30.20.10.20.40.60.8 14

1 0 0.60.50.40.30.20.10.20.40.60.8 1 0.2 0.50.40.30.20.10.20.40.60.8 1 0.5 0.50.40.30.20.10.20.40.60.8 1 0.8 0.50.40.30.20.10.20.40.60.8 1 1.0 0.60.50.40.30.20.10.20.40.60.8 1.2 0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 15

1.2 0.2 0.50.40.30.20.10.20.40.60.8 1.2 0.5 0.50.40.30.20.10.20.40.60.8 1.2 0.8 0.50.40.30.20.10.20.40.60.8 1.2 1.0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 2 0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 2 0.2 0.60.40.20.20.40.60.8 16

2 0.5 0.70.60.50.40.30.20.10.20.40.60.8 2 0.8 0.60.40.20.20.40.60.8 2 1.0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 2.1 0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 2.1 0.2 0.80.60.40.20.20.40.60.8 2.1 0.5 0.80.60.40.20.20.40.60.8 17

2.1 0.8 0.80.60.40.20.20.40.60.8 2.1 1.0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 2.9 0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 2.9 0.2 10.80.60.40.20.20.40.60.8 2.9 0.5 10.80.60.40.20.20.40.60.8 2.9 0.8 10.80.60.40.20.20.40.60.8 18

2.9 1.0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 2.999 0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 2.999 0.2 10.80.60.40.20.20.40.60.8 2.999 0.5 10.80.60.40.20.20.40.60.8 2.999 0.8 10.80.60.40.20.20.40.60.8 2.999 1.0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 19

3 0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 3 0.2 10.80.60.40.20.20.40.60.8 3 0.5 10.80.60.40.20.20.40.60.8 3 0.8 10.80.60.40.20.20.40.60.8 3 1.0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 20

3.001 0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 3.001 0.2 10.80.60.40.20.20.40.60.8 3.001 0.5 10.80.60.40.20.20.40.60.8 3.001 0.8 10.80.60.40.20.20.40.60.8 21

3.001 1.0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 3.235 0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 3.235 0.2 10.80.60.40.20.20.40.60.8 3.235 0.5 10.80.60.40.20.20.40.60.8 22

3.235 0.8 10.80.60.40.20.20.40.60.8 3.235 1.0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 3.44 0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 3.44 0.2 10.80.60.40.20.20.40.60.8 23

3.44 0.5 10.80.60.40.20.20.40.60.8 3.44 0.8 10.80.60.40.20.20.40.60.8 3.44 1.0 10.80.60.40.20.20.40.60.8 实验观察： 当a取2.9,2.999,3,3.001等时，它对应的迭代具有2周期点。初值对实验结果结果没有影响。

实验2.2

混沌现象 迭代初图形 次数 值 100 0.5 24

100 0.9 1000 0.5 1000 0.9 实验观察：在迭代过程中它们逐渐分开。

有序中包含了无序，无序中包含着有序。 3.

方程求根

实验3.1

方程x3?2x?1?0的根为：

{{x?-1.61803},{x?0.618034},{x?1.}}

x3?12x?13首先分别考虑函数，2，2x?1，取不同的初值x0（例如-9,-5,-2,-1,-0.5,0,0.5,1,

x22 ,8,10 等），生成相应的数列。

函数 初值 迭代序列 25

x3?1 2-2 ?

2,3.5,20.9375,4588.78,4.83127?10,5.63838?10,8.96259?103.59973?10284103194,2.332276783776881?102559853,6.34322727025716?10 ?,1.27614734162579 2x?1 x2-1 -0.5 0 0.5 1 -2 -1 -0.5 {-1, 0., 0.5, 0.5625, 0.588989, 0.602163, 0.609172, 0.613029, 0.61519, 0.616412, 0.617107} {-0.5, 0.4375, 0.54187, 0.579553, 0.597331, 0.606565, 0.611584, 0.614377, \\ 0.615951, 0.616845, 0.617354} {0, 0.5, 0.5625, 0.588989, 0.602163, 0.609172, 0.613029, 0.61519, 0.616412, \\ 0.617107, 0.617504} {0.5, 0.5625, 0.588989, 0.602163, 0.609172, 0.613029, 0.61519, 0.616412, \\ 0.617107, 0.617504, 0.61773} {1, 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.} {-2, -1.25, -2.24, -1.09216, -2.6696, -0.889491, -3.51239, -0.650471, \\ -5.43813, -0.401588, -11.1809} {-1, -3., -0.777778, -4.22449, -0.529464, -7.3446, -0.290847, -18.6979, \\ -0.109824, -101.121, -0.0198761} ? ?0.5,8.,0.265625,21.7024,0.0942788,133.719,0.0150127,4 10.00043767,5.225?106,3.82775? 31 2x?1 {1, 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.} {1, 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.} ?1 实验观察：1为该方程的根。

实验3.2

用牛顿切线法求根，取不同的初值x0（例如-9,-5,-2,-1,-0.5,0,0.5,1, 2,8,10等） 初图形 迭代序列 值 -9 2015105-1.61803-5-10-15-20-1.61803-1.61{-9,-6.05394,-6.05394,-6.05394,-6.05394, -6.05394,-6.05394,-6.05394,-6.05394,-6.05394, -6.05394} 26

-5 2015105-1.61803-5-10-15-20-1.61803{-5, -3.43836, -3.43836, -3.43836, -3.43836, -3.43836,-3.43836,-3.43836,-3.43836,-3.43836, -3.43836} -1.61-2 2015105-1.61803-5-10-15-20-1.61803{-2, -1.7, -1.7, -1.7, -1.7, -1.7, -1.7, -1.7, -1.7, -1.7, -1.7} -1.61-1 2015105-1.61803-5-10-15-20-1.61803{-1, -3., -3., -3., -3., -3., -3., -3., -3., -3., -3.} -1.61 27

-0.5 20151051-5-10-15-2023{-0.5, 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.} 0 20151050.618034-5-10-15-200.618034{0, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5} 0.60.5 20151052-5-10-15-203{0.5, 0.6, 0.6, 0.6, 0.6, 0.6, 0.6, 0.6, 0.6, 0.6, 0.6} 28

1 20151052-5-10-15-203{1, 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.} 2 20151052-5-10-15-203{2, 1.5, 1.5, 1.5, 1.5, 1.5, 1.5, 1.5, 1.5, 1.5, 1.5} 8 20151051-5-10-15-20111{8,5.38421,5.38421,5.38421,5.38421, 5.38421, 5.38421, 5.38421, 5.38421, 5.38421, 5.38421} 29

10 20151051-5-10-15-2011{10,6.70805,6.70805,6.70805,6.70805,6.70805, 6.70805, 6.70805, 6.70805, 6.70805, 6.70805} 实验观察：对每一个初值，相对应的都有一个极限值。因此初值xo决定数列的极限。 4.

分形

实验4.1

（1）用Koch曲线的生成元做迭代得到的极限图形称为Koch雪花曲线

（2）试计算雪花曲线的边长及面积，它们是否有限？你如何解释所得出的结论？

由Koch雪花曲线的定义，为了构造一条Koch雪花曲线，首先画出一个边长为1的等边三角形，而后在每条中央加上一个边长为1/3的等边三角形，如此变换下去，其周长为：

4424n

第二步 3×（）… 第n步3×()，显然Koch雪花曲线的33323。 长度最终是无限大的。可计算出Koch雪花曲线的面积为5第0步 3 第一步 3×

（3）雪花曲线是否光滑(即每一点是否有切线存在)?

雪花曲线是一条边数有无穷多，到处是尖端，不光滑的、连续的封闭折线。

实验4.2

绘制Julia集。

30

1.510.50-0.5-1-1.5-1.5-1-0.500.51 1.510.50-0.5-1-1.5-1.5-1-0.500.51 31

0.30.20.10-0.1-0.7-0.65-0.6-0.55-0.5-0.45

绘制Mandelbrot集。

-0.05-0.1-0.15-0.2-0.25-0.9-0.85-0.8-0.75 实验4.3

Martin迭代。现观察其当a=45,b=2,c=-300时，取初值所得到的二维迭代散点图。迭代次数 散点图 32

5000 20000 50000 取参数为其它值时得到的图形如下： 参数取值 散点图 33

a=1 b=10 c=0

四、 实验总结

（1）通过对迭代序列与不动点的探究发现，平衡点可能是不稳定的，也可能是不稳定的。对于函数y?25x?85有两个平衡点5和17，其中17为吸引点，5为排斥点，即使x?3 34

在5附近的初值，迭代序列也收敛于17。

（2）就Logistic映射，形如f?x??ax?1?x?的二次函数，初值对实验结果结果没有影响。 （3）混沌有两个特征：一是对初值的敏感性。即使初值很接近，数次迭代后结果可能相差甚远。二是无序中存在有序。

（4）方程x3?2x?1?0的根为：-1.61803，0.618034，1。用牛顿切线法求根时，取不同的初值，数列的极限也不同。 （5）分形的基本特性由生成元决定，给定一个生成元，就可以生成各种各样的分形图形。

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在5附近的初值，迭代序列也收敛于17。

（2）就Logistic映射，形如f?x??ax?1?x?的二次函数，初值对实验结果结果没有影响。 （3）混沌有两个特征：一是对初值的敏感性。即使初值很接近，数次迭代后结果可能相差甚远。二是无序中存在有序。

（4）方程x3?2x?1?0的根为：-1.61803，0.618034，1。用牛顿切线法求根时，取不同的初值，数列的极限也不同。 （5）分形的基本特性由生成元决定，给定一个生成元，就可以生成各种各样的分形图形。

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