数列总复习和测试题目

数列总复习和测试题目

一、基础知识复习

1.等差数列 （1）等差数列的判断：定义法an?1?an?d(d为常数）或an?1?an?an?an?1(n?2)。 （2）等差数列的通项：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。

n(a1?an)n(n?1)d。 （3）等差数列的前n和：Sn?，Sn?na1?221315如a.数列 {an}中，an?an?1?(n?2,n?N*)，an?，前n项和Sn??，

222则a1＝＿，n＝＿；

b.已知数列 {an}的前n项和Sn?12n?n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.

(4).等差数列的性质： （1）当公差d?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于

n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Sn?na1?222关于n的二次函数且常数项为0.

（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。

（3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap.

如a.等差数列{an}中，Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1，则n＝____；

b.设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若

aSn3n?1，那么n?___________ ?bnTn4n?3

1

c.等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

2.等比数列：

（1）等比数列的判断：定义法an?1?q(q为常数），其中q?0,an?0或

anan?1an?anan?1

(n?2)。

如:数列{an}中，Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若bn?an?1?2an ，求证：数列｛bn｝是等比数列。

（2）等比数列的通项：an?a1qn?1或an?amqn?m。

如设等比数列{an}中，a1?an?66，a2an?1?128，前n项和Sn＝126，求n和公比q.

（3）等比数列的前n和：当q?1时，Sn?na1；当q?1时，a1(1?qn)a1?anq。 ?Sn?1?q1?q如等比数列中，q＝2，S99=77，求a3?a6???a99

（4）等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。

如:有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。

2

(5).等比数列的性质： （1）当m?n?p?q时，则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?ap2.

如:各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6?9，则lo3ga1?loag???laog 1? 。 323

(2) 若{an}是等比数列，则{|an|}、{ap?nq}(p,q?N*)、{kan}成等比数列；若{an}、{bn}成等比数列，则{anbn}、{n}成等比数列； 若{an}是等比数列，且公比q??1，则数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也是等比数列。当q??1，且n为偶数时，数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?是常数数列0，它不是等比数列.

如: 在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S30?13S10,S10?S30?140，则S20的值为______

3.数列的通项的求法：

abn⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：

an??111S1,(n?1)a?a???an?2n?5，。如:数列满足{a}12nSn?Sn?1,(n?2)2222n求an?1?an?f(n)an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)

?a1(n?2)。

求an. (3)若

an用累加法：

如已知数列

an=________

{an}满足

a1?1，an?an?1?1n?1?n(n?2)，则

3

(4)已知

an?1aaa ?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1???2?a1(n?2)。

anan?1an?2a1

(5)已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。 如:a.已知a1?1,an?3an?1?2，求an；

b.已知a1?1,an?3an?1?2n，求an.

C．已知a1?1,an?an?1，求an； 3an?1?1

D．已知数列满足a1=1，an?1?an?anan?1，求an.

7.数列求和：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1?2?3???n?1n(n?1)，12?22???n2?1n(n?1)(2n?1)，

26n(n?1)213?23?33???n3?[].

2222如:等比数列{an}的前n项和Sｎ＝2ｎ－１，则a12?a2＝_____； ?a3???an

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

如求：Sn??1?3?5?7???(?1)n(2n?1)

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（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.

012n2n； 如:求证：Cn?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn?(n?1)?（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.

如:设{an}为等比数列，Tn?na1?(n?1)a2???2an?1?an，已知T1?1，T2?4，①求数列{an}的首项和公比；②求数列{Tn}的通项公式.

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

1?1?1； 1?1(1?1)； n(n?1)nn?1n(n?k)knn?kn111111； ???[?] ；

(n?1)!n!(n?1)!n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)222(n?1?n)??1??2(n?n?1). n?n?1nn?n?1如:求和：

111????? ； 1?44?7(3n?2)?(3n?1)8. 数列单调性最值问题

题型五：数列单调性最值问题

例1、数列?an?中，an?2n?49，当数列?an?的前n项和Sn取得最小值时，n? .

例2、已知Sn为等差数列?an?的前n项和，a1?25,a4?16.当n为何值时，Sn取得最大值；

5

例3、数列?an?中，an?3n2?28n?1，求an取最小值时n的值.

例5、设数列?an?的前n项和为Sn．已知a1?a，an?1?Sn?3n，n?N．

*（Ⅰ）设bn?Sn?3n，求数列?bn?的通项公式；（Ⅱ）若an?1≥an，n?N，求a的取值

*范围．

例6、已知Sn为数列?an?的前n项和，a1?3，SnSn?1?2an(n?2). ⑴求数列?an?的通项公式；

⑵数列?an?中是否存在正整数k，使得不等式ak?ak?1对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由.

9、数列在分期付款中的应用

采用分期付款方式贷款a元，m期将款全部付清，每期利率为r，那么每期付款款额是多少元？

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数列测试题

,34,55中，x等于（ ） 一、选择题 1．在数列1,1,2,3,5,8,x,21A．11 B．12 C．13 D．14

2．等差数列{an}中,a1?a4?a7?39,a3?a6?a9?27,则数列{an}前9项 的和S9等于（ ） A．66B．99 C．144 D．297 3．等比数列?an?中, a2?9,a5?243,则?an?的前4项和为（ ） A．81 B．120 C．168 D．192 4．2?1与2?1，两数的等比中项是（ ） A．1 B．?1 C．?1 D．

1 21是此数列的第（ ）项 25．已知一等比数列的前三项依次为x,2x?2,3x?3，那么?13 A．2 B．4 C．6 D．8

6．在公比为整数的等比数列?an?中，如果a1?a4?18,a2?a3?12,那么该数列的前8项之和为（ ）A．513 B．512 C．510 D．二、填空题

1．等差数列?an?中, a2?9,a5?33,则?an?的公差为______________。 2．数列{an}是等差数列，a4?7，则s7?_________ 3．两个等差数列?an??,bn?,225 8a1?a2?...?an7n?2a?,则5=___________.

b1?b2?...?bnn?3b54．在等比数列?an?中, 若a3?3,a9?75,则a10=___________.

5．在等比数列?an?中, 若a1,a10是方程3x?2x?6?0的两根，则a4?a7=___________.

26．计算log333...3?___________.

???????n三、解答题1.成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。

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2.在等差数列?an?中, a5?0.3,a12?3.1,求a18?a19?a20?a21?a22的值。

3.求和：(a?1)?(a2?2)?...?(an?n),(a?0)

4.设等比数列?an?前n项和为Sn，若S3?S6?2S9，求数列的公比q

5.银行设立教育助学贷款，如果贷款10000元，采取分期付款的方式，月利率为0.4575%，每月还款一次,两年还清，每个月应还多少元？ 解:设每月还x元,根据题意列得方程为:

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