D1_6极限存在准则

第六节 极限存在准则及 两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限

第一章

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一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系 定理1.x x0

lim f ( x) A

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn

x

为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.

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定理1. lim f ( x) Ax x0

xn x0 , f ( xn )有 lim f ( xn ) A.n

有定义, 且

证：“

” 设 lim f ( x) A , 即 0 , 0 , 当x x0

有 f ( x) A .

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且对上述 , N , 当 故 时, 有y

于是当 n N 时 f ( xn ) A .n

lim f ( xn ) A

A

“

” 可用反证法证明. (略)

O目录

x0 上页 下页

x返回 结束

定理1. lim f ( x) Ax x0 ( x )

xn x0 , f ( xn ) 有定义有 lim f ( xn ) A .n

且

( xn )

说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .

法1 找一个数列n

xn x0 ,

使 lim f ( xn ) 不存在 .法2 找两个趋于n

, 使 的不同数列 xn 及 xnn

) lim f ( xn ) lim f ( xn目录 上页 下页 返回 结束

例1. 证明

不存在 .

证: 取两个趋于 0 的数列 1 1 xn 及 xn 2n π 2n π π 2 有

(n 1, 2 , )

1 lim sin lim sin 2n π 0 n xn n 1 lim sin lim sin(2n π π ) 1 2 n n xn不存在 .目录 上页 下页 返回 结束

由定理 1 知

2. 函数极限存在的夹逼准则定理2. 当 x U ( x0 , ) 时, g ( x) f ( x) h( x) , 且

( x X 0)x x0 ( x )

lim g ( x) lim h( x) Ax x0 ( x )

x x0 ( x )

lim f ( x) A

( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )

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二、 两个重要极限证: 当 x ( 0 , π ) 时， 2

O C A△AOB 的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积 即 故有 亦即 显然有1 sin x 2

1 x

B D

1 tan x 2(0 x π ) 2 (0 x π ) 2

sin x x tan xsin x cos x 1 x注

注

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例2. 求

tan x sin x 1 解: lim lim x 0 x x 0 x cos x sin x 1 lim 1 lim x 0 x x 0 cos x例3. 求

解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此

t 原式 lim t 0 sin t

sin t t

1

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例4. 求解: 原式 = limx 2 sin 2 2 2

x 0

x

1 lim 2 x 0

x sin 2

x 2

1 12 2

2

例5. 已知圆内接正 n 边形面积为π An n R 2 sin π cos n n

π nR

证明: 证: lim An lim π R 2 π n

n n

sin π n

cos π n

说明: 计算中注意利用目录 上页 下页 返回 结束

2. 证 : 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则n 1 (1 n 1)

x n 1 1 1 (1 x ) (1 n )n 1 (1 n1 ) 1

n n

n lim lim (1 n1 ) 1

n

1 n1 1

e (P53~54)

n 1 1)n 1) lim (1 1 ) lim [( 1 ( 1 ] e n n n n

x

x lim (1 1 ) e x

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当

时, 令 x (t 1) , 则1 ) (t 1) lim (1 t 1 t

从而有

t ) (t 1) 1) t 1 lim ( t lim ( 1 1 t t t t 1)] e lim [(1 1 ) ( 1 t t t

故

x

x lim (1 1 ) e x1 z

说明: 此极限也可写为 lim (1 z ) ez 0目录 上页 下页 返回 结束

例6. 求解: 令 t x , 则t t lim (1 1 ) t

lim

1

t

( x) 1 lim ( 1 ) e, 则 说明 ：若利用 ( x) ( x ) 1 ) x lim ( 1 原式 x x

1 e 1目录 上页 下页 返回 结束

例7. 求

解: 原式 =

1 ) 2 ]2 lim [(sin 1 cos x x x x 2

x

lim (1 sin 2 ) xx

(1 sin 2 ) x

1 sin 2 x

e

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内容小结1. 函数极限与数列极限关系的应用

(1) 利用数列极限判别函数极限不存在 法1 找一个数列 xn : xn x0 , 且 xn x0 ( n )使 lim f ( xn ) 不存在 .

, 使 法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn 及 xn ) lim f ( xn ) lim f ( xnn n

n

(2) 数列极限存在的夹逼准则 函数极限存在的夹逼准则目录 上页 下页 返回 结束

2. 两个重要极限

或注: 代表相同的表达式

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思考与练习填空题 ( 1~4 ) sin x 0 ; 1. lim _____ x x 1 0 ; 3. lim x sin ____ x 0 x

1 1 2. lim x sin ____ ; x x 1 n e 1 4. lim (1 ) ____ ; n n

作业P56 1 (4),(5),(6) ; 2 (2),(3),(4) ; 4 (4) , (5)第七节 目录 上页 下页 返回 结束

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