初一复习计划

七年级数学人教版下学期期末总复习学案

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第五章 相交线与平行线

1、在同一平面内，两条直线的位置关系有 两 种： 相交 和 平行 ， 垂直 是相交的一种特殊情况。 2、在同一平面内，不相交的两条直线叫 平行线 。如果两条直线只有 一个 公共点，称这两条直线相交；如果两条直线 没有 公共点，称这两条直线平行。

3、两条直线相交所构成的四个角中，有 公共顶点 且有 一条公共边 的两个角是 邻补角。邻补角的性质： 邻补角互补

2 3 4 1

图1

4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线 ，这样的两

b 个角互为 对顶角 。对顶角的性质：对顶角相等

a

2 1 3 4 图2

5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是 直角或90°时，称这两条直线互相垂直， 其中一条叫做另一条的垂线。 垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。 6、同位角、内错角、同旁内角基本特征：

①在两条直线(被截线)的 同一方 ，都在第三条直线(截线)的同一侧，这的两个角叫同位角 。 ②在两条直线(被截线) 之间 ，并且在第三条直线(截线)的 两侧,这样的两个角叫内错角 。 ③在两条直线(被截线)的 之间 ，都在第三条直线(截线)的 同一旁 ，这样的两个角叫同旁内角 。 7、平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等。如图4所示，如果a∥b，

则 = ； = ； = ； = 。

c a 2 3 1 4 b 图4

6 7 5 8 性质2：两直线平行，内错角相等。如图4所示，如果a∥b，则 = ； = 。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。如图4所示，如果a∥b，则 + = 180°； + = 180°。 性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果a∥b，a∥c，则 ∥ 。 8、平行线的判定：

判定1：同位角相等，两直线平行。如图5所示，如果 =

1

c a 2 3 1 4 b 图5

6 7 5 8

或__________=__________或__________= __________或 __________= __________，则a∥b。 判定2：内错角相等，两直线平行。如图5所示，如果 = 或 = ，则a∥b 。 判定3：同旁内角互补，两直线平行。如图5所示，如果 + = 180°； + = 180°，则a∥b。

判定4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果a∥b，a∥c，则 ∥ 。

9、判断一件事情的语句叫命题。命题由题设和结论两部分组成，有真命题和假命题之分。如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题；如果题设成立，那么结论不一定成立，这样的命题叫假命题。真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。 10、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。平移后，新图形与原图形的 形状 和 大小 完全相同。平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

平移性质：平移前后两个图形中①对应点的连线平行且相等；②对应线段相等；③对应角相等。

例题与习题:

一、对顶角和邻补角：

1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )

12121221

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.如图1-2，若∠AOB与∠BOC是一对邻补角，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内部，并且∠BOE=

BDE1∠COE，2CO∠DOE=72°。求∠COE的度数。 A

（图1-2） 二、垂线：

已知：如图，在一条公路l的两侧有A、B两个村庄.

<1>现在乡政府为民服务，沿公路开通公交汽车，并在路边修建一个公共汽 车站P，同时修建车站P到A、B两个村庄的道路，并要求修建的道路之和最短，

请你设计出车站的位置，在图中画出点P的位置，(保留作图的痕迹)．并在后面的横线上用一句话说明道理． .

<2>为方便机动车出行，A村计划自己出资修建一条由本村直达公路l 的机动车专用道路，你能帮助A村节省资金，设计出最短的道路吗？， 请在图中画出你设计修建的最短道路，并在后面的

横线上用一句话说明道理． . 三、平行线的判定和性质：

2

A314B

21.如图4-1， 若∠3=∠4，则 ∥ ； DC图4-1若AB∥CD,则∠ =∠ 。

2.已知两个角的两边分别平行，其中一个角为52°，则另一个角为_______.

3．如图4-3，EF⊥GF，垂足为F，∠AEF=150°，∠DGF=60°。试判断AB和CD的位置关系，并说明理由。

AEFCG图4-3BD 4．如右图，AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠C的度数． ( 40° )

A5．如图4-5，CD∥BE，则∠2+∠3?∠１的度数等于多少？( )

1 2

CD3 图4-5 EB6．如图4-6：AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：BE∥CF．

B A E F DC

图4-6

7．如图5-2,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于

8．计算（图6-1）中的阴影部分面积。（单位：厘米）

图6-1

9.下列命题中，真命题的个数为（ ）个 ① 在同一平面内，过两点有且只有一条直线； ② 在同一平面内，两条不同的直线有且只有一个公共点； ③ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行； A.1 B.2 C.3 D.4

3

图5-2

A

3 E12BFDG10．已知：如图8-1，AD?BC，EF?BC，?1=?2。 求证：∠CDG=∠B.

C图8-1

11. 已知：如图8-2，AB∥CD，?1=?2，∠E=65°20′，求：∠F的度数。

DF12CEA图8-2B

12.已知：如图8-3, AE⊥BC, FG⊥BC, ∠1=∠2, ∠D =∠3+ 60?, ∠CBD=70? .

(1)求证：AB∥CD ； (2)求∠C的度数。

C 2 E F D

A 3 B G 图8-3

113.如图8-4，在长方形ABCD中，∠ADB＝20°，现将这一长方形纸片沿AF折叠，若使AB’ ∥BD，则折痕AF与AB的夹角∠BAF应为多少度？

B'AD

CBF14. 已知，如图，∠1＝∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，求证：FG∥BC。

证明：∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知）

∴∠BED＝900，∠BFC＝900（ ） ∴ ＝ （ ） ∴ED∥ （ ） ∴ ＝∠BCF（ ） 又∵∠1＝∠2（已知）

∴∠2＝ （ ）

∴FG∥BC（ ）

第六章 实数

一、算术平方根

1．算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作a。0的算术平方根为0；

2．平方根：如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根(或二次方

4

根)。

3．开平方：求一个数a的平方根的运算(与平方互为逆运算) 4．平方根性质：正数有2个平方根（一正一负），它们是互为相反数；负数没有平方根。 二、立方根

1．立方根：如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么数x就叫做a的立方根(或三次方根)。

2．开立方：求一个数a的立方根的运算(与立方互为逆运算)。

3．立方根性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数。0的立方根是0； 三、实数

1．无理数：无限不循环小数。如：π、√2、√3

2．实数：有理数和无理数统称实数。实数都可以用数轴上的点表示。

1． 有下列说法：

（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数包括正无理数、零、负无理数； （3）无理数是无限不循环小数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示。 其中正确的说法的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

2．如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ） A． 0 B． 正整数 C． 0和1 D． 1 3.能与数轴上的点一一对应的是（ ）

A 整数 B 有理数 C 无理数 D 实数 4. 下列各数中，不是无理数的是 （ ）

A.7 B. 0.5 C. 2? D. 0.151151115?(两个5之间依次多 1个1）5．??0.7?的平方根是（ ）

A．?0.7 B．?0.7 C．0.7 D．0.49 6. 下列说法正确的是（ ）

A． 0.25是0.5 的一个平方根 B．.正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0 C． 7 2 的平方根是7 D． 负数有一个平方根

7.一个数的平方根等于它的立方根，这个数是 （ ） A.0 B.－1 C.1 D.不存在

8.下列运算中，错误的是 （ ） 11119 ????1625452014412A． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2①125?15，②(?4)2??4，③3?1??31 ④

9. 若a?25，b?3，则a?b的值为 （ ）

A．?8 B．±8 C．±2 D．±8或±2 (二)、细心填一填 (每小题 分，共 分)

10．在数轴上表示?3的点离原点的距离是 。设面积为5的正方形的边长为x ,那么

2x= 。

11. 9的算术平方根是 ；是 .

5

14的平方根是 ,的立方根是 , －125的立方根927

12.

5?2的相反数是 ，2?3= ；

32313. (?4)? ； 3(?6)? ； (196)2= .

?8= .

14. 比较大小:3 2；

5?1 0.5； (填“>”或“<”) 215. 要使2x?6有意义，x 应满足的条件是 。 16.已知a?1?b?5?0，则(a?b)2的平方根是________； 17.若102.01?10.1，则1.0201= ； 18．（6分）将下列各数填入相应的集合内。 －7，0.32, ，0，8，131，3?125，?，0.1010010001? 2①有理数集合｛ ? ｝ ②无理数集合｛ ? ｝ ③负实数集合｛ ? ｝ 19．化简（每小题5分，共20分）

① 2+32—52 ② 7(

17-7)

2 ③ |3?2 | + |3?2|- |2?1 | ④ 38?(?2)?1 4

20．求下列各式中的x（10分,每小题5分）

3（1）4x?121 （2）(x?2)?125

2

21．比较下列各组数的大少（5分）

（1） 4 与 363 （2）23与32

22．一个正数a的平方根是3x―4与2―x，则a是多少？(6分)

223.求值（1）、已知a、b满足2a?8?b?3?0，解关于x的方程?a?2?x?b?a?1。

（2）、已知x、y都是实数，且y?x?3?3?x?4，求y的平方根。

6

x

28、实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为7，求代数式x2?(a?b?cd)x?a?b?3cd的值。

第七章 平面直角坐标系 知识要点

1、有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b） 。 2、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。

3、横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

4、坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标，记作P(a，b)。

5、象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。 6、点P(a，b)到x轴的距离是 |b| ，到y轴的距离是 |a| 。

7、对称点的坐标特点①关于x轴对称的两个点，横坐标 相等，纵坐标 互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；③关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数。点P(2，3) 到x轴的距离是 ； 到y轴的距离是 ； 点P(2，3) 关于x轴对称的点坐标为( ， )；点P(2，3) 关于y轴对称的点坐标为( ， )。

8、如果两个点的横坐标相同，则过这两点的直线与y轴平行、与x轴垂直 ；如果两点的纵坐标相同，则过这两点的直线与x轴平行、与y轴垂直 。如果点P(2，3)、Q(2，6)，这两点横坐标相同，则PQ∥y轴，PQ⊥x轴；如果点P(-1，2)、Q(4，2)，这两点纵坐标相同，则PQ∥x轴，PQ⊥y轴。 12、平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同；在一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同；在二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。如果点P(a，b) 在一、三象限角平分线上，则P点的横坐标与纵坐标相同，即 a = b ；如果点P(a，b) 在二、四象限角平分线上，则P点的横坐标与纵坐标互为相反数，即 a = －b 。

9、图形的平移可以转化为点的平移。坐标平移规律：①左右平移时，横坐标进行加减，纵坐标不变；②上下平移时，横坐标不变，纵坐标进行加减；③坐标进行加减时，按“左减右加、上加下减”的规律进行。如将点P(2，3)向左平移2个单位后得到的点的坐标为( ， )；将点P(2，3)向右平移2个单位后得到的点的坐标为( ， )；将点P(2，3)向上平移2个单位后得到的点的坐标为( ， )；将点P(2，3)向下平移2个单位后得到的点的坐标为( ， )；将点P(2，3)先向左平移3个单位后再向上平移5个单位后得到的点的坐标为( ， )

7

例题与习题

一、 选择题

1.在平面直角坐标系中，点P（2，-3）到x轴的距离为（ ） Ａ.-2

Ｂ.2

Ｃ.-3

Ｄ.3

2. 如图1，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用(－40，-30)表示，那么(10，20)表示的位置是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点D

3.若点A（a-2，a）在x轴上，则点B（a-1，3）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.在平面直角坐标系中，若点错误！未找到引用源。在第四象限，则m的取值范围为（ ）

A.-3＜m＜1 B.m＞1 C.m＜-3 D.m＞-3 5.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图2所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A的坐标是（ ）

图2

A．（-2，1） B．（2，1） C．（2，-1） D．（-2，-1）

6.如图3，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ） ．．．

A．(4，0) B．（0，2） C． （0，-2） D．（2，0）

图3 7．（2006年长春市）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，?若点A的坐标 为（a，b），则点A′的坐标为（ ） A．（a，-b） B．（b，a） C．（-b，a） D．（-a，b） 8．（2006年济宁市）已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B?′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为（ ） A．（-4，2） B．（-4，-2） C．（4，-2） D．（4，2） 二、填空题

7.如图4，已知棋子“车”的坐标为（-2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为 . 8．已知m为整数，且点（m-3，4m-5）在第二象限，则m2+2007的值为______． 9.已知点错误！未找到引用源。与点错误！未找到引用源。关于错误！未找到引用源。轴对称，则错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。 ．

10.第四象限内的点P(x,y)，满足︱x︱=2，错误！未找到引用源。，则点P的坐标为 ．

图1

8

三、解答题

13. 如图7是某市区地图的一角，请建立适当的平面直角坐标系，分别写出图中猴山、大门、孔雀园、虎山、车站所在位置.

15.在平面直角坐标系中，已知点A（-3，0），点B（2，0），且点C在y轴上，△ABC的面积为10，试确定点C的坐标.

16. 在右图9的平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段顺次连接起来， （1）（2，1），（2，5），（1，4），（1，2），（2， 2）； （2）（-6，1），（3，1），（3，0），

图7

（3）（3，0），（2，-2），（-4，-2），（-6，1）. 观察所得到的图形，你觉得它像什么？

图9

17.在平面直角坐标系中, △ABC的三个顶点的位置如图10所示，点A′的坐标是（－2,2）, 现将△ABC平移,使点A变换为点A′, 点B′、C′分别是B、C的对应点.

（1）请画出平移后的像△A′B′C′（不写画法) ，并直接写出点B′、C′的坐标: B′ 、C′ ；

（2）若△ABC 内部一点P的坐标为（a,b），则点P的对应点P ′的坐标是 ，此时△A′B′C′的面积为 .

参考答案： 一、选择题

1.D 2.C 3.B 4.A 5.B 6.C 7C 8D 二、填空题

图10

7.（3，2） 8.2010 9. 3，-3 10. （-2，3） 11. （5，4） 12.

错误！未找到引用源。三、解答题

13.解：本题答案不唯一，如图所示，猴山（0，2）；大门（0，-2）；孔雀园（3，0）；虎山（3，2）；车站（4，-2）。

9

15.解：设点C的坐标（0，b）， 因为AB=2-（-3）=5 所以

错误！未找到引用源。即 错误！未找到引用源。

所以b=±2，因此点C的坐标为（0，2）（0，-2） 16.像一艘正在航行的轮船.（如右图）

17.解：（1）如图，△A'B'C'就是所求的像(－4, 1) 、（－1，－1） (2) (a－5，b－2) ，3.5

第八章 二元一次方程组

知识要点

1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。

2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为

ax?by?ca、b、c(为常数，并且a?0，b?0)。使二元一次方程的

左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。

3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。

4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。 5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。

10

6、解三元一次方程组的一般步骤：①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。

1．（2012?德州）已知 A ． 3

B．

，则a+b等于（ ）

C． 2

D． 1

2．（2012菏泽）已知? A．±2

?mx?ny?8?x?2是二元一次方程组?的解，则2m?n的算术平方根为（ ）

?nx?my?1?y?1B．2

C．2

D． 4

3．（2012滨州）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x，y分钟，列出的方程是（ ）

1??x?y?15?x?y?A．? B．? 480x?250y?2900???250x?80y?29001?x?y??x?y?15?C．? D．4??250x?80y?2900 ??80x?250y?29008、（2012温州）楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元。小明买20张门票共花了1225元，设其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. ??x?y?20 B.

?35x?70y?1225?x?y?20 ??70x?35y?1225 C. ??x?y?1225?x?y?1225 D.?

70x?35y?2035x?70y?20??答案：B

二、填空题

1. （2012广东湛江） 请写出一个二元一次方程组 ，使它的解是

．

2．（2012安顺）以方程组的解为坐标的点（x，y）在第 一 象限．

11

3．(2012?连云港)方程组

的解为 ． 4．（2012江苏南通）甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，

恰好用去700元，则甲种电影票买了 ２０ 张． 三、解答题

1．（2012?广州）解方程组

．

分析： 根据y的系数互为相反数，利用加减消元法求解即可． 解答：

解：

，

①+②得，4x=20， 解得x=5，

把x=5代入①得，5﹣y=8， 解得y=﹣3， 所以方程组的解是

．

点评： 本题考查了解二元一次方程组，有加减法和代入法两种，根据y的系数互为相反数确

定选用加减法解二元一次方程组是解题的关键． 2．（2012广东）解方程组：

．（自己完成按照上面方法）

．

3．（2012?黔东南州）解方程组．

解析：

③+①得，3x+5y=11④， ③×2+②得，3x+3y=9⑤， ④﹣⑤得2y=2，y=1， 将y=1代入⑤得，3x=6，

12

x=2，

将x=2，y=1代入①得，z=6﹣2×2﹣3×1=﹣1，

∴方程组的解为．

?x?2?x?y?5① 4、（2012湖南常德）解方程组：? （答案）? y?32x-y?1??②

5、（2012娄底）体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如表，全部销售完后共获利润260元．

篮球 排球 50 60 进价（元/个） 80 售价（元/个） 95 （2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？

解答：解：（1）设购进篮球x个，购进排球y个，由题意得：

解得：，

答：购进篮球12个，购进排球8个；

（2）设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，由题意得： 6×（60﹣50）=（95﹣80）a， 解得：a=4，

答：销售6个排球的利润与销售4个篮球的利润相等．

7．（2012南昌）小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤． 妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”； 爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；

小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）． （答案）萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤；

8．（2012?聊城）儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元．已知书包标价比文具盒标价3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？

13

解答： 解：设书包和文具盒的标价分别为x元和y元，

根据题意，得

解得．

答：书包和文具盒的标价分别为48元和18元．

9、（2012云南）某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件，已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件，求该企业捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件？（自行完成） [答案] 捐给甲校1200件，捐给乙校800件.

第九章 不等式与不等式组 知识要点 1、用不等号表示不等关系的式子叫不等式，不等号主要包括：＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。 2、在含有未知数的不等式中，使不等式成立的未知数的值叫不等式的解，一个含有未知数的不等式的所有的解组成的集合，叫这个不等式的解集。不等式的解集可以在数轴上表示出来。求不等式的解集的过程叫解不等式。含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式叫一元一次不等式。 3、不等式的性质：

①性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变 。 用字母表示为： 如果a?b，那么a?c?b?c； 如果a?b，那么a?c?b?c ； ②性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。

abab??a?b,c?0a?b,c?0cccc)；ac?bcac?bc用字母表示为： 如果，那么(或)；如果，那么(或

③性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数 ，不等号的方向改变 。

abab??a?b,c?0a?b,c?0cccc)；用字母表示为： 如果，那么ac?bc(或)；如果，那么ac?bc(或

4、解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数

化为1。这与解一元一次方程类似，在解时要根据一元一次不等式具体情况灵活选择步骤。 5、不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式组叫一元一次不等式组。使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解(简称不等式组的解)。不等式组的解集可以在数轴上表示出来。求不等式组的解集的过程叫解不等式组。

6、解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解 ( 此时也称这个不等式组的解集为空集 )。

7、求出各个不等式的解集后，确定不等式组的解的口诀：同大取大，同小取小，相交取中间，相背取空。

1．(2012年广东广州)已知a＞b，c为任意实数，则下列不等式中总是成立的是( )

14

A．a＋c＜b＋c B．a－c＞b－c C．ac＜bc D．ac＞bc 2．(2012年四川攀枝花)下列说法中，错误的是( )

A．不等式x＜2的正整数解中有一个 B．－2是不等式2x－1＜1的一个解 C．不等式－3x＞9的解集是x＞－3 D．不等式x＜10的整数解有无数个

3．(2012年贵州六盘水)已知不等式x－1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为( )

4．(2012年湖北荆州)已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )

?2x－1≥x＋1，

5．(2012年山东滨州)不等式?

?x＋8≤4x－1A．x≥3 B．x≥2 C．2≤x≤3 D．空集 ?x－1≥0，

6．(2012年湖北咸宁)不等式组?

?4－2x＞0

的解集是( )

的解集在数轴上表示为( )

7．(2012年湖南益阳)如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集( )?x≥－5，A.?

?x＞－3

?x＞－5， B.?

?x≥－3

?x＜5， C.?

?x＜－3

?x＜5， D.?

?x＞－3

8．(2012年山东日照)某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有( ) A．29人 B．30人 C．31人 D．32人

9．(2012年四川南充)不等式x＋2>6的解集为______． 1

10．(2012年浙江衢州)不等式2x－1＞x的解是______．

21?x＋≤1，211．(2012年贵州毕节)不等式组?

?1－2x＜4

的整数解是______．

12．(2012年陕西)小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶．已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买______瓶甲饮料．

13．(2011年广东惠州)解不等式：4x－6＜x，并在数轴上表示出解集

14．(2012年湖北恩施)某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市想要至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上至少提高( )

A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%

15．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

15

?x－3x－2?1＋2x＞x－1. ?3

xx＋1??2＋3＞0，?5a＋44??x＋3＞3

4， ① ②

a

16．(2010年湖北荆门)试确定实数a的取值范围，使不等式组

x＋1

恰有两个整数解．

?2x－a<1，

17．若不等式组?

?x－2b>3

的解集为－1＜x＜1, 那么(a＋1)(b－1)＝__________.

18．(2011年广东茂名)某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2 000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元．

(1)若购买这批小鸡苗共用了4 500元，求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少只？ (2)若购买这批小鸡苗的钱不超过4 700元，问：应选购甲种小鸡苗至少多少只？

(3)相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡苗的总费用最小，问：应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只？总费用最小是多少元？

答案：

2

1．B 2.C 3.C 4.A 5．A 6．D 7.B 8.B 9．x＞4 10.x＞ 11．－1,0,1 12.3

313．解：4x－6

15．解：由①，得x≥1.由②，得x<4 . ∴原不等式组的解集是1≤x<4，如图D3.

图D3

14．C

16

xx＋1??2＋3>0，

16．解：不等式组?

5a＋44x＋>x＋1?33?

①

a. ②

22

解不等式①，得x>－.解不等式②，得x<2a.所以不等式组的解集为－

551

因为不等式组恰有两个整数解，则1<2a≤2，即

2?2x－a<1，

17．－6 解析：不等式组?

?x－2b>32b＋3＜x＜

的解集为

a＋1a＋1

，∴2b＋3＝－1, ＝1. 22

∴a＝1，b＝－2.∴(a＋1)(b－1)＝－6.

18．解：设购买甲种小鸡苗x只，那么乙种小鸡苗为(2 000－x)只． (1)根据题意列方程，

得2x＋3(2 000－x)＝4 500.解这个方程，得x＝1 500.

∴2 000－x＝2 000－1 500＝500，即购买甲种小鸡苗1 500只，乙种小鸡苗500只． (2)根据题意，得2x＋3(2 000－x)≤4 700，解得x≥1 300， 即选购甲种小鸡苗至少为1 300只． (3)设购买这批小鸡苗总费用为y元，

根据题意，得y＝2x＋3(2 000－x)＝－x＋6 000. 又由题意，得94%x＋99%(2 000－x)≥2 000×96%.

解得x≤1 200.因为购买这批小鸡苗的总费用y随x增大而减小，所以当x＝1 200时，总费用y最小．乙种小鸡为2 000－1 200＝800(只)，即购买甲种小鸡苗为1 200只，乙种

小鸡苗为800只时，总费用y最小，最小费用为4 800元．

第十章 数据的收集、整理与描述

知识要点

知识点一：总体、样本的概念

1．总体：要考察的全体对象称为总体.

2．个体：组成总体的每一个考察对象称为个体. 3．样本：被抽取的那些个体组成一个样本.

4．样本容量：样本中个体的数目叫样本容量（不带单位）. 知识点二：全面调查与抽样调查

调查的方式有两种：全面调查和抽样调查：

1．全面调查：考察全面对象的调查叫全面调查. 全面调查也称作普查。全面调查的步骤：（1）收集数据；（2）整理数据（划记法）；（3）描述数据（条形图或扇形图等）. 2．抽样调查：若调查时因考察对象牵扯面较广，调查范围大，不宜采用全面调查，因此，采用抽样调查. 抽样调查只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对

17

象的情况.抽样调查的意义：（1）减少统计的工作量；（2）抽样调查是实际工作中应用非常广泛的一种调查方式，它是总体中抽取样本进行调查，根据样本来估计总体的一种调查. 知识点三：扇形统计图和条形统计图

1．生活中，我们会遇到许多关于数据的统计的表示方法，它们多是利用圆和扇形来表示整体和部分的关系，即用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图. （1）扇形统计图的特点：

①用扇形面积表示部分占总体的百分比； ②易于显示每组数据相对于总体的百分比；

③扇形统计图的各部分占总体的百分比之和为100％或1. 在检查一张扇形统计图是否合格时，只要用各部分分量占总量的百分比之和是否为100％进行检查即可. （2）扇形统计图的画法：

把一个圆的面积看成是1，以圆心为顶点的周角是360°，则圆心角是36°的扇形占整个面积的

，即10％. 同理，圆心角是72°的扇形占整个圆面积的，即20％. 因此画扇

形统计图的关键是算出圆心角的大小.扇形的面积与圆心角的关系：扇形的面积越大，圆心角的度数越大；扇形的面积越小，圆心角的度数越小. 扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是：圆心角的度数＝百分比×360°. （3）扇形统计图的优缺点：

扇形统计图的优点是易于显示每组数据相对于总数的大小，缺点是在不知道总体数量的条件下，无法知道每组数据的具体数量.

2．用一个单位长度表示一定的数量关系，根据数量的多少画成长短不同的条形，条形的宽度必须保持一致，然后把这些条形排列起来，这样的统计图叫做条形统计图. （1）条形统计图的特点：

①能够显示每组中的具体数据；②易于比较数据之间的差别. 知识点四：频数、频率和频数分布表 1．一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比为频率. 频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量. 公式： .

注意：（1）所有频数之和一定等于总数；（2）所有频率之和一定等于1.

2．数据的频数分布表反映了一组数据中的每个数据出现的频数，从而反映了在一组数据中各数据的分布情况.要全面地掌握一组数据，必须分析这组数据中各个数据的分布情况. 知识点五：频数分布直方图与频数折线图

1．在描述和整理数据时，往往可以把数据按照数据的范围进行分组，整理数据后可以得到频数分布表，在平面直角坐标系中，用横轴表示数据范围，纵轴表示各小组的频数，以各组的频数为高画出与这一组对应的矩形，得到频数分布直方图.

2．频数折线图的制作一般都是在频数分布直方图的基础上得到的，具体步骤是：首先取直方图中每一个长方形上边的中点；然后再在横轴上取两个频数为0的点（直方图最左及最右两边各取一个，它们分别与直方图左右相距半个组距）；最后再将这些点用线段依次连接起来，就得到了频数折线图. 4．频数分布直方图的画法：

（1）找到这一组数据的最大值和最小值；

18

（2）求出最大值与最小值的差； （3）确定组距，分组； （4）列出频数分布表；

（5）由频数分布表画出频数分布直方图.

例题与习题：

要点一：数据的收集方式

1（2008·福州中考）下列调查中，适合用全面调查方式的是（ ） A．了解某班学生“50米跑”的成绩 C．了解一批炮弹的杀伤半径

B．了解一批灯泡的使用寿命

D．了解一批袋装食品是否含有防腐剂

2.（2008·黄冈中考）要了解一批电视机的使用寿命，从中任意抽取30台电视机进行试验，在这个问题中，30是（ ） A．个体

B．总体

C．样本容量

D．总体的一个样本

3.（2008·内江中考）下列调查方式中适合的是（ ）

A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式 B．调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式

C．环保部门调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式 D．调查全市中学生每天的就寝时间，采用普查方式

4.（2009·宜宾中考）妈妈做了一份美味可口的菜品，为了了解菜品的咸淡是否合适，于是妈妈取了一点品尝，这应该属于__________．(填：普查或抽样调查) 要点二：统计图的选择及其应用

1.（2008·长沙中考）要反映长沙市一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用（ ）

A、条形统计图

B、扇形统计图

C、折线统计图 D、频数分布直方图

2.（2009·温州中考）九年级(1)班共50名同学，右图是该班体育模拟测试成绩的频数分布直方图(满分为30分，成绩均为整数)．若将不低于29分的成绩评为优秀，则该班此次成绩优秀的同学人数占全班人数的百分比是( )

A．20％ B．44％ C．58％ D．72％

3.（2009·宜昌中考）由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V(万米

3

)与干旱的时间t(天)的关系如图所示，则下列说法正确的是( )．

19

12001000800600400200OV/万米31020304050t/天

A．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3；B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3 C．干旱开始时，蓄水量为200万米3； D．干旱第50天时，蓄水量为1 200万米3

4.（2009·肇庆中考）如图是1998年参加国际教育评估的15个国家学生的数学平均成绩的统计图，则平均成绩大于或等于60的国家个数是（ ）

A．4 B．8 C．10 D．12

频数（国家个数） 8 6 4 2 O 40 50 60 70 80

成绩

5.（2010·安徽中考）某企业1~5月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符是 （A）1~2月份利润的增长快于2~3月份利润的增长 （B）1~4月份利润的极差于1~5月份利润的极差不同 （C）1~5月份利润的的众数是130万元 （D）1~5月份利润的的中位数为120万元

6. （2008·义乌中考）大课间活动在我市各校蓬勃开展.某班大课间活动抽查了20名学生每分钟跳绳次数，获得如下数据（单位：次）：50，63，77，83，87，88，89，91，93，100，102，111，117，121， 130， 133，146， 158， 177，188.则跳绳次数在90～110这一组的频率是（ ） A．0.1

B．0.2

C．0.3 D．0.7

7.（2008·温州中考）体育老师对九年级（1）班学生“你最喜欢的体育项目是什么？（只写一项）”的问

20

题进行了调查，把所得数据绘制成频数分布直方图（如图）．由图可知，最喜欢篮球的频率是（ ）

A．0.16

B．0.24

C．0.3

D．0.4

8.（2008·厦门中考）一组数据：3，5，9，12，6的极差是 9 ．

9. (2008·徐州中考)徐州巿部分医保定点医院2008年第一季度的人均住院费用（单位：元）约为：12 320，11 880,10 370,8 570,10 640, 10240.这组数据的极差是___________元.（3750）

10.（2008·宁夏中考）学校为七年级学生订做校服，校服型号有小号、中号、大号、特大号四种．随机抽取了100名学生调查他们的身高，得到身高频数分布表如下：

已知该校七年级学生有800名，那么中号校服应订制 套．（360）

15.(2009·安顺中考) 下表为抄录北京奥运会官方票务网公布的三种球类比赛的部分门票价格，某公司购买的门票种类、数量绘制的统计图表如下：

型 号 小 号 中 号 大 号 特大号 身高（x/cm） 人 数（频数） 145≤x＜155 155≤x＜165 165≤x＜175 175≤x＜185 22 45 28 5

依据上列图表，回答下列问题：

（1）其中观看足球比赛的门票有_____张；观看乒乓球比赛的门票占全部门票的_____％； （2）公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给100名员工，在看不到门票的条件下，每人抽取一张（假设所有的门票形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），问员工小华抽到男篮门票的概率是_____；

21

（3）若购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的【解析】（1）50 20 （2）

1，求每张乒乓球门票的价格. 83 1020 x

1

（3）依题意，有1000 ? 50 ? 800 ? 30 ? 20 x = .

8

解得x ≈530 . 经检验，x =530是原方程的解. 答：每张乒乓球门票的价格约为530元.

17.（2009·泸州中考）某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，抽查了一部分学生的体育测试成绩，

甲、乙、丙三位同学将抽查出的学生的测试成绩按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图(如图)，其中测试成绩在90~100分为A级，75~89分为B级， 60～74分为C级，60分以下为D级。甲同学计算出成绩为C的频率是0.2，乙同学计算出成绩为A、B、C的频率之和为0.96，丙同学计算出成绩为A的频数与成绩为B的频数之比为7：12．结合统计图回答下列问题：

(1)这次抽查了多少人?

(2)所抽查学生体育测试成绩的中位数在哪个等级内？

(3)若该校九年级学生共有500人，请你估计这次体育测试成绩为A级和B级的学生共有多少人? 【解析】（1）由题意知，C级人数为10人 ∴

10 ?50(人）0.2 答：这次共抽查了50人 （2）D级的频率是1-0.96=0.04

各等级的人数分别是：D级人数为0.04×50=2 B级人数为

12×?50?10?2??24 7?12 A级人数为50-2-10-24=14

因此，所抽查学生体育测试成绩的中位数在B等级内 14?24 （3）500× =380（人）50

22

答：该年级体育测试成绩为A级和B级学生约为380人

18.（2010·威海中考）某校为了解学生“体育大课间”的锻炼效果，中考体育测试结束后，随机从学校720

名考生中抽取部分学生的体育测试成绩绘制了条形统计图．试根据统计图提供的信息，回答下列问题：

16人数 14 1412 12 1010 8 86 6 4 4 2 2男生人数女生人数 0

22 23 2x 325 426 527 628 729 830 9分数 （1）共抽取了 名学生的体育测试成绩进行统计．

（2）随机抽取的这部分学生中男生体育成绩的平均数是 ，众数是 ；女生体育成绩的中位数是 ．

（3）若将不低于27分的成绩评为优秀，估计这720名考生中，成绩为优秀的学生大约是多少？ 【解析】﹙1﹚80； ﹙2﹚26.4， 27， 27； ﹙3﹚720?27?12?3?244?720??396﹙人﹚

808019.(2009·汕头中考)某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、

乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？

（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？

23

人数 50 40 30 20 10 项目

篮球 40%

排球

乒乓球 20%

足球

图2

足球 乒乓球 篮球 排球 O 图1

（3）补全频数分布折线统计图． 【解析】（1）2?(30+20)=100（人）． （2）

30?100%?30%，1?20%?40%?30%?10%，360°?10%?36°． 100（3）喜欢篮球的人数：40%?100?40（人）， 喜欢排球的人数：10%?100?10（人）

20.（2010·义乌中考）“知识改变命运，科技繁荣祖国”．我市中小学每年都要举办一届科技运动会．下

图为我市某校2009年参加科技运动会航模比赛（包括空模、海模、车模、建模四个类别）的参赛人数统计图： 86 4 2 0 空模 海模 车模 建模 参赛类别

某校2009年航模比赛 参赛人数条形统计图 参赛人数（单位：人） 海模

25% 车模

空模

某校2009年航模比赛 参赛人数扇形统计图

6 4 6 建模 25%

（1）该校参加车模、建模比赛的人数分别是 人和 人；

（2）该校参加航模比赛的总人数是 人，空模所在扇形的圆心角的度数是 °， 并把条形统计图补充完整；（温馨：作图时别忘了用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑） （3）从全市中小学参加航模比赛选手中随机抽取80人，其中有32人获奖. 今年我市 中小学参加航模比赛人数共有2485人，请你估算今年参加航模比赛的获奖人数约是多少人? 【解析】（1） 4 ， 6 （2） 24 ， 120 (图略) （3）32÷80=0.4 0.4×2485=994

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