2017届北京市东城区高三上学期期末数学试卷（文科）Word版含解析

2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．集合 A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x（x﹣2）＞0}，那么 A∩B=（ ） A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0或x＞2} 2．在复平面内，复数z=i（1+i），那么|z|=（ ） A．1

B．

C．

D．2

那么z=2x+y的最小值为（ ）

D．5

3．已知实数x，y满足A．2

B．3

C．4

4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ），x∈R（其中ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象，如图所示．那么f（x）的解析式为（ ）

A．

D．

B．

C．

5．下列四个命题： ①?x0∈R，使

；

②命题“?x0∈R，lgx0＞0”的否定是“?x∈R，lgx＜0”； ③如果a，b∈R，且a＞b，那么a2＞b2； ④“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题． 其中正确的命题是（ ） A．① B．② C．③ D．④

6．过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于3，

则这样的直线（ ）

A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在

7．为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，

下面三个结论：

①估计样本的中位数为4800元；

②如果个税起征点调整至5000元，估计有50%的当地职工会被征税；

③根据此次调查，为使60%以上的职工不用缴纳个人所得税，起征点应调整至5200元． 其中正确结论的个数有（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

8．对于给定的正整数数列{an}，满足an+1=an+bn，其中bn是an的末位数字，下列关于数列{an}的说法正确的是（ ）

A．如果a1是5的倍数，那么数列{an}与数列{2n}必有相同的项 B．如果a1不是5的倍数，那么数列{an}与数列{2n}必没有相同的项 C．如果a1不是5的倍数，那么数列{an}与数列{2n}只有有限个相同的项 D．如果a1不是5的倍数，那么数列{an}与数列{2n}有无穷多个相同的项．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为 ．

10．一个四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），这个四棱锥的体积为 cm3．

11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5，b=7，c=8，则12．双曲线

等于 ．

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（a＞0）的右焦点为圆（x﹣4）+y=1的圆心，则此双曲线的离心率为 ．13．每个航班都有一个最早降落时间和最晚降落时间，在这个时间窗口内，飞机均有可能降落．甲航班降落的时间窗口为上午10点到11点，如果它准点降落时间为上午10点40分，那么甲航班晚点的概率是 ；若甲乙两个航班在上午10点到11点之间共用一条跑道降落，如果两架飞机降落时间间隔不超过15分钟，则需要人工调度，在不考虑其他飞机起降的影响下，这两架飞机需要人工调度的概率是 ．

14．已知函数f（x）=|x|（x﹣a）+1．当a=0时，函数f（x）的单调递增区间为 ；若函数g（x）=f（x）﹣a有3个不同的零点，则a的取值范围为 ．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）已知数列{an}是等差数列，其首项为2，且公差为2，若

（n∈N*）．

（1）求证：数列{bn}是等比数列；

（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和An． 16．（13分）已知函数（Ⅰ）如果点

是角α终边上一点，求f（α）的值；

（Ⅱ）设g（x）=f（x）+sinx，求g（x）的单调增区间．

17．（13分）2016年10月3日，诺贝尔生理学或医学奖揭晓，获奖者是日本生物学家大隅良典，他的获奖理由是“发

现了细胞自噬机制”．在上世纪90年代初期，他筛选了上千种不同的酵母细胞，找到了15种和自噬有关

的基因，他的研究令全世界的科研人员豁然开朗，在此之前，每年与自噬相关的论文非常少，之后呈现

了爆发式增长，下图是1994年到2016年所有关于细胞自噬具有国际影响力的540篇论文分布如下：

（Ⅰ）从这540篇论文中随机抽取一篇来研究，那么抽到2016年发表论文的概率是多少？ （Ⅱ）如果每年发表该领域有国际影响力的论文超过50篇，我们称这一年是该领域的论文“丰年”．若从1994年到2016年中随机抽取连续的两年来研究，那么连续的两年中至少有一年是“丰年”的概率是多少？

（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年论文数量方差最大？（结论不要求证明） 18．（13分）已知△ABD和△BCD是两个直角三角形，∠BAD=∠BDC=

，E、F分别是边AB、

AD的中点，现将△ABD沿BD边折起到A1BD的位置，如图所示，使平面A1BD⊥平面BCD． （Ⅰ）求证：EF∥平面BCD；

（Ⅱ）求证：平面A1BC⊥平QUOTE A1BC⊥面A1CD；

（Ⅲ）请你判断，A1C与BD是否有可能垂直，做出判断并写明理由．

19．（14分）已知椭圆E：在椭圆E上．

（Ⅰ） 求椭圆E的方程；

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率e=，点

（Ⅱ） 设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E于A，B两点，△DAF的面积为S△DAF，△DBF的面积为S△DBF，且S△DAF：S△DBF=2：1，求直线AB的方程． 20．（14分）设函数f（x）=x?lnx+ax，a∈R．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）求函数y=f（x）在（Ⅲ）若

增的充分不必要条件．

上的最小值；

，求证：a≥0是函数y=g（x）在x∈（1，2）时单调递

2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．集合 A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x（x﹣2）＞0}，那么 A∩B=（ ） A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0或x＞2} 【考点】交集及其运算．

【分析】化简集合B，运用结合交集的运算即可得到所求．

【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x（x﹣2）＞0}={x|x＞2或x＜0}， 则A∩B={x|﹣1＜x＜0}， 故选：A．

【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查二次不等式的解法，属于基础题．

2．在复平面内，复数z=i（1+i），那么|z|=（ ） A．1

B．

C．

D．2

【考点】复数求模．

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【解答】解：复数z=i（1+i）=﹣1+i， ∴|z|=故选：B

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．

．

3．已知实数x，y满足A．2

B．3

C．4

D．5

那么z=2x+y的最小值为（ ）

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=2x+y得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，

由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小， 此时z最小， 由

，解得

，

即A（1，2），此时z=1×2+2=4， 故选：C．

【点评】本题主要考查线性规划的计算，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ），x∈R（其中ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象，如图所示．那么f（x）的解析式为（ ）

A．

D．

B．

C．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】通过函数的图象，求出函数的周期，求出ω，利用函数经过的特殊点，求出φ，得到函数的解析式．

【解答】解：由图象可知T=2（所以可得：ω=1， 因为函数的图象经过（所以0=sin（所以解得：φ=

，0），

﹣）=2π，

+φ），由五点作图法可得：，

）．

+φ=2π，

所求函数的解析式为：y=sin（x+故选：A．

【点评】本题考查函数的图象与函数的解析式的求法，考查函数的图象的应用，考查计算能力，属于基础题．

5．下列四个命题： ①?x0∈R，使

；

②命题“?x0∈R，lgx0＞0”的否定是“?x∈R，lgx＜0”； ③如果a，b∈R，且a＞b，那么a2＞b2； ④“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题． 其中正确的命题是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】判断方程

的实根个数，可判断①；写出原命题的否定命题，可判断②；

举出反例a=1，b=﹣1，可判断③； 根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断④． 【解答】解：方程故①?x0∈R，使

的△=4﹣12＜0，故方程无实根， 为假命题；

②命题“?x0∈R，lgx0＞0”的否定是“?x∈R，lgx≤0”，故②为假命题； ③如果a=1，b=﹣1∈R，则a＞b，但a2=b2，故③为假命题；

④“若α=β，则sinα=sinβ”为真命题，故其逆否命题为真命题，故④为真命题． 故选：D

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了特称命题，方程根的存在性及个数判断，不等式与不等关系，三角函数的定义等知识点，难度中档．

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