1.2.1常见函数导数公式

1.2.1几个常见函数 的导数公式常数函数与幂函数的导数

复习回顾：1.导数的概念

f ( x) lim'

x 0

y f ( x x) f ( x) lim x x 0 x

2.导数的几何意义

切线的斜率3.导数的物理意义

瞬时速度

4.求函数的导数的方法是: (三步法)

步骤:

(1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );

y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y f ( x x) f ( x) (3) 求极限 y lim lim x 0 x x 0 x

例题一：

函数y f ( x) c的导数例题二：

函数y f ( x) x的导数

例题一： 函数y f ( x) c的导数 y f x x f x 解： 因为 x x c c 0, x y 所以 y` lim lim 0 0. x 0 x x 0

y

y c

O

x

图1.2 1

几何意义：

f ( x) c在任一点处的切线的斜 率为0在任一时刻的瞬时速度 为0

物理意义：y c表示物体没有运动

例题二： 函数y f ( x) x的导数

y

y f x x f x 解： 因为 x x x x x 1, x y 所以 y` lim lim 1 1. x 0 x x 0

y xO

x

图1.2 2

几何意义： f ( x) x在任一点处的切线的斜 率为 1 物理意义：匀速运动在任一时刻的 瞬时速度都不变

探究一：

探究 在同一平面直角坐标系中, 画出函数 y 2 x, y 3 x, y 4 x的图象, 并根据导数定 义, 求它们的导数. 1 从图象上看, 它们的导数分别表示什么? 个增加得最慢 ?

2 这三个函数中, 哪一个增加得最快 ? 哪一

探究二：

探究 在同一平面直角坐标系中, 画出函数 y -2x, y -3x, y -4x的图解, 并根据导数定义, 求它们的导数. 1 从图象上看, 它们的导数分别表示什么? 个减小得最慢 ? 3 函数 y kx k 0 增 减 的快慢与什么 有关 ?

2 这三个函数中, 哪一个减小得最快 ? 哪一

例题三：

函数y f ( x) x 的导数2

1 例题四：函数 y f ( x) 的导数 x

y

函数y f ( x) x 的导数2

y x2

f ( x) 2 x'

O

x

几何意义：2

图1.2 3

f ( x) x 在点( x, f ( x))处的切线的斜率为 2x

物理意义：f ( x) x 2 在时刻x的瞬时速度为2 x是一种匀加速运动

1 函数 y f ( x) 的导数 x1 f ( x) 2 x'

例题五：函数y f ( x) x的导数f ( x) '

1 2 x

小结：

1.常见函数导数公式f ' ( x) 0 f ' ( x) 1 f ' ( x) 2 x 1 f ( x) 2 x 1 ' f ( x) 2 x'

(1)若函数f ( x) c,则 (2)若函数f ( x) x,则 (3)若函数f ( x) x ,则2

1 (4)若函数f ( x) ,则 x (5)若函数f ( x) x,则

结论：常数函数f ( x) c,则f ( x) (c) 0n 1 若幂函数f ( x) x , 则f ( x)

nx n

练习1:1 求函数y f ( x) 在点( 1 , 1 )处的切线方程 x

x y 2 0

练习2:求下列函数的导数 ( 1 )y (2) y 2 x3

1 x4

(3) y

15

x

3

1 练习3:求证曲线y 上任意一点处的切线 x 与两坐标轴围成的三角形的面积为常数

练习4:已知直线x 2 y 4 0与抛物线y 2 4 x 相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物 线 的弧AOB上求一点P,使 ABP的面积最大

基本初等函数的导数公式公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x

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