(同步辅导)2015高中数学《单位圆与诱导公式》导学案 北师大版必修4
更新时间:2024-01-14 16:04:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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第4课时 单位圆与诱导公式
1.借助单位圆,利用点的对称性推导出“-α,π+α,π-α,α+”的诱导公式,并会应用公式求任意角的三角函数值.
2.会应用公式进行简单的三角函数的化简与求值.
3.通过公式的运用,学会从未知到已知,复杂到简单的转化方法.
我们已经学习了任意角的正弦、余弦函数的定义,以及终边相同的角的正弦、余弦函数值也相等,即sin(2kπ+α)=sin α(k∈Z)与cos(2kπ+α)=cos α(k∈Z),公式体现了求任意角的正弦、余弦函数值转化为求0°~360°的角的正弦、余弦函数值,那么我们能否将0°~360°间的角的正弦、余弦函数值转化为锐角的正弦、余弦函数值呢?
问题1:将任意角转化成0°~360°间的角的几种情况
因为任意角都可以通过终边相同的角转化成0°~360°间的角,对于任意0°~360°的角β,只有四种可能(其中α为锐角),则有 β=
问题2:(1)角α与-α的正弦函数、余弦函数关系
如图,在单位圆中对任意角∠MOP=α,作∠MOP'=-α,这两个角的终边与单位圆的交点分别为P和P',可知OP与OP'关于 轴对称,设P点的坐标为(a,b),则点P'的坐标为(a,-b),所以sin(-α)=-b,cos α=a.即sin(-α)= ,cos(-α)= .
1
(2)角α与α±π的正弦函数、余弦函数关系
如图,在直角坐标系的单位圆中,对任意角∠MOP=α,其终边与单位圆的交点为P,当点P按逆(顺)时针方向旋转π至点P'时,点P'的坐标为:(cos(α+π),sin(α+π))或(cos(α-π),sin(α-π)),此时点P与点P'关于原点对称,横、纵坐标都互为 ,故
sin(α+π)= ,cos(α+π)= ;sin(α-π)= ,cos(α-π)= .
(3)角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系
如图,在单位圆中,当∠MOP=α是锐角时,作∠MOP'=π-α,不难看出,点P和点P'关于y轴对称,则有sin(π-α)= ,
cos(π-α)= .
(4)角α与+α的正弦函数、余弦函数关系
在
单
位
圆
中
,
仿
照
上
面
的
方
法
,
可
以
得
出,sin(α+)= ,cos(α+)= .
问题3:任意角的正弦函数与余弦函数的诱导公式
(1)sin(2kπ+α)= ;cos(2kπ+α)= ; (2)sin(-α)= ;cos(-α)= ;
(3)sin(2π-α)= ;cos(2π-α)= ; (4)sin(π-α)= ;cos(π-α)= ; (5)sin(π+α)= ;cos(π+α)= ; (6)sin(α+)= ;cos(α+)= ; (7)sin(-α)= ;cos(-α)= .
问题4:讨论几组诱导公式的共同点与规律
(1)2kπ±α,-α,π±α的三角函数值等于α的 三角函数值,前面加上一个把α看作 角时原三角函数值的符号;
(2)±α的正弦(余弦)函数值分别等于α的 ( )函数值,前面加上一个把α看作 角时原三角函数值的符号.
2
1.下列等式不正确的是( ).
A.sin(α+180°)=-sin α B.cos(-α+β)=-cos(α-β) C.sin(-α-360°)=-sin α D.cos(-α-β)=cos(α+β) 2.函数f(x)=cos(x∈Z)的值域为( ).
A.{-1,-,0,,1} B.{-1,-,,1}
C.{-1,-,0,,1} D.{-1,-,,1}
3.若sin(-θ)=,则sin(-θ)= .
4.已知sin(π+α)+sin(-α)=-m,求sin(3π+α)+2sin(2π-α)的值.
利用诱导公式化简
求特殊角的三角函数值. (1)sin 1320°; (2)cos(-π).
诱导公式在三角函数中的综合运用 已知f(θ)=.
(1)化简f(θ);
3
(2)若sin(-θ)=,求f(θ)的值.
利用诱导公式对三角函数式化简、求值或证明恒等式 化简:sin(π-α)+cos(
π-α)(n∈Z).
求sin(-π)cosπ+cos(-π)2sin(π)的值.
已知f(x)=2
,求f(-)的值.
4
已知cos(π+α)=-,且α是第四象限角,计算(n∈Z)的值.
1.sin(-π)的值等于( ).
A.- B.- C. D.
2.已知sin(α-)=,则cos(+α)的值为( ).
A. B.- C. D.-
3.5sin 90°+2cos 0°-3sin 270°+10cos 180°= . 4.化简.
(2009年2全国Ⅰ卷)sin 585°的值为( ). A.- B. C.- D.
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考题变式(我来改编):
第4课时 单位圆与诱导公式
知识体系梳理
问题1:一 二 三 四
问题2:(1)x -sin α cos α (2)相反数 -sin α -cos α -sin α -cos α (3)sin α -cos α (4)cos α -sin α
问题3:(1)sin α cos α (2)-sin α cos α (3)-sin α cos α (4)sin α -cos α (5)-sin α -cos α (6)cos α -sin α (7)cos α sin α
问题4:(1)同名 锐 (2)余弦 正弦 锐 基础学习交流
1.B 由诱导公式可知,A正确;对于B,cos(-α+β)=cos[-(α-β)]=cos(α-β),故B不正确;对于C,sin(-α-360°)=sin(-α)=-sin α,故C正确;对于D,cos(-α-β)=cos[-(α+β)]=cos(α+β),故D正确. 2.B 对x依次赋值0,1,2,3,4,?,很容易选出. 3.- sin(-θ)=sin[π+(-θ)]=-sin(-θ)=-.
4.解:∵sin(π+α)+sin(-α)=-sin α-sin α=-2sin α=-m,∴sin α=,而
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sin(3π+α)+2sin(2π-α)=sin[2π+(π+α)]-2sin α=sin(π+α)-2sin α=-sin
α-2sin α=-3sin α,故sin(3π+α)+2sin(2π-α)=-m. 重点难点探究
探究一:【解析】(1)sin 1320°=sin(33360°+240°) =sin 240°
=sin(180°+60°)=-sin 60°=-.
(2)cos(-π)=cos(-10π-)=cos(-)=cos=.
【小结】熟记正弦函数、余弦函数的诱导公式,将其转化为锐角的正弦或余弦值,是解答此类题型的关键,同时要牢记一些特殊角的三角函数值.
探究二:【解析】(1)f(θ)==-cos θ.
(2)∵sin(-θ)=-cos θ=,
∴f(θ)=-cos θ=.
【小结】熟记诱导公式,并注意总结规律,有助于理解和记忆,如涉及2kπ±α,-α,π±α的三角函数值,其三角函数的名不变,若涉及±α,则正弦变余弦、余弦变正弦,另外,要注意符号的变化.
探究三:【解析】原式=sin[nπ-(+α)]+cos[nπ+(-α)]
=sin(+α)-cos(-α) =sin[-(-α)]-cos(-α) =cos(-α)-cos(-α)=0.
[问题]以上化简过程正确吗?
[结论]不正确,在化简过程中未对n加以讨论而导致错误. 于是,正确解答如下:
原式=sin[nπ-(+α)]+cos[nπ+(-α)].
①当n=2k+1(k∈Z)时,
原式=sin[2kπ+π-(+α)]+cos[2kπ+π+(-α)]
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=sin(+α)-cos(-α) =cos(-α)-cos(-α)=0.
②当n=2k(k∈Z)时,
原式=sin[2kπ-(+α)]+cos[2kπ+(-α)]
=-sin(+α)+cos(-α)=0.
综上可得,原式=0. 【小结】在对sin(α+kπ),cos(α+kπ)进行化简时,一般要分两种情况讨论:当k为偶数时,sin(α+kπ)=sin α,cos(α+kπ)=cos α;当k为奇数时,sin(α+kπ)=-sin α,cos(α+kπ)=-cos α. 思维拓展应用
应用一:原式
=-sin(6π+)cos(6π+π)+cos(4π+π)2sin(4π+π)=-sin(π-)cos(π+)+cos(2
π-)sin(2π-)=sincos-cossin=2-2=.
应用二:∵f(x)=2=-sin x,
∴f(-)=-sin(-)=sin=sin(10π+)
=sin=.
应用三:∵cos(π+α)=-,∴-cos α=-,cos α=,
∴
=
=
=
=
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=-=-4.
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1.C ∵sin(-π)=sin(-4π+π)=sin π=sin(π-)=sin=,故选C.
2.D cos(+α)=sin[-(+α)]=-sin(α-)=-.
3.0 5sin 90°+2cos 0°-3sin 270°+10cos 180°=531+231-33(-1)+103(-1)=0.4.解:原式=
=-=-1.
全新视角拓展
A sin 585°=sin(360°+225°)=sin 225°=sin(180°+45°)=-. 思维导图构建
sin α -cos α -cos α cos α -sin α
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