2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷带解析）

2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷带解析）

一、选择题 1.设集合A．

B．

C．

, D．

,则

( )

【答案】D 【解析】因

,

,所以

,故选D．

【考点定位】集合的运算、二次方程的解法 2.定义域为的四个函数A． B． C． D． 【答案】C

【解析】奇函数的为

与

,

和

为非奇非偶函数，故选C．

,

,

,

中,奇函数的个数是( )

【考点定位】基本初等函数和奇函数的概念 3.若复数满足A．

B．

,则在复平面内,对应的点的坐标是( ) C．

D．

【答案】C 【解析】

对应的点的坐标是

,故选C．

【考点定位】复数运算和复数的几何意义. 4.已知离散型随机变量

的分布列为

则

的数学期望

( )

A . B． C． D． 【答案】A 【解析】

【考点定位】离散型随机变量的期望

5.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )

,故选A．

A． B．C．D． 【答案】B

【解析】由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为和的正方形,高为,故

,故选B．

【考点定位】三视图与四棱台的体积 6.设A．若B．若C．若D．若【答案】D

【解析】选项A中，m与n还可能平行或者异面，故错；B中，m与n还可能异面，故错；C中，还有可能平行或者相交，故错；D中，故D正确. 【考点定位】考查线面的位置关系 7.已知中心在原点的双曲线的右焦点为A．【答案】B 【解析】依题意

,

,所以

,从而

,

,故选B．

B．

C．

,离心率等于,在双曲线的方程是 ( ) D．

是两条不同的直线,

,,,,

,,,,

,则,则,则,则

是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )

【考点定位】考查双曲线方程。 8.设整数

,集合

.令集合

若

下列选项正确的是( ) A．B．C．D．【答案】B

【解析】特殊值法,不妨令

,

,则

,

,故选B．

,,,,

和

都在中,则

如果利用直接法:因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时，于是，；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：②④成立，此时，于是，；第四种：③④成立，此时，于是

，.综合上述四种情况，可得，. 【考点定位】新定义的集合问题 二、填空题 1.不等式【答案】

的解集为___________．

的解集为

.

【解析】不等式

【考点定位】二次不等式的解法 2.若曲线【答案】

在点

处的切线平行于轴,则______.

,由导数的几何意义可知

,所以

.

【解析】求导得

【考点定位】导数的几何意义.

3.执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为______.

【答案】

【解析】第一次循环后:第三次循环后:

；第二次循环后:

，此时

； 故输出.

；第四次循环后:

【考点定位】程序框图 4.在等差数列【答案】

中,已知

,则

_____.

,所以.

.或:

【解析】依题意

【考点定位】考查等差数列的性质和通项公式。 5.给定区域:,令点集

,则中的点共确定______条不同的直线. 【答案】

是

在上取得最大值或最小值的点

【解析】画出可行域时的整点为

,

,

,

如图所示,其中及

取得最小值时的整点为,取得最大值

共个整点.故可确定条不同的直线.

【考点定位】线性规划与直线方程 6.已知曲线的参数方程为

(为参数),在点

处的切线为,以坐标原点为极点,

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.

【答案】

,其在点.

处的切线的方程为

,对应的极坐标

【解析】曲线的普通方程为方程为

,即

【考点定位】坐标系与参数方程 7.如图,

,

是圆的直径,点在圆上,延长,则_________.

到使

,过作圆的切线交

于.若

【答案】

,所以

,又

,所以

,从而

【解析】依题意易知

.

【考点定位】几何证明，三角形相似问题. 三、解答题 1.已知函数(Ⅰ) 求(Ⅱ) 若

的值； ,

,求

．

,

.

【答案】(Ⅰ) 1(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)(Ⅱ) 因为所以所以

,

；

,所以,

. ,

（1）考查三角函数求值问题，较为简单；（2）利用两角和的余弦公式进行化简然后再借助二倍角公式进行求解，解题时需注意角的范围对三角函数值的影响. 【考点定位】三角函数求值与化简，考查学生的转化分析能力和计算能力.

，

2.某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.

(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；

(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间名优秀工人；

(Ⅲ) 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀工人的概率. 【答案】(Ⅰ)11 (Ⅱ)4 (Ⅲ)【解析】(Ⅰ) 样本均值为

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为(Ⅲ) 设事件:从该车间

名工人中有几

；

,故推断该车间

名工人中有

名优秀工人. .

名工人中,任取人,恰有名优秀工人,则

(1)根据茎叶图得到各个数据，然后利用均值公式直接求解，注意计算的准确性；（2）根据样本中优秀工人占的比例进行推断即可；（3）明确有名优秀工人来源于4名工人中的一个，然后利用组合的知识和随机事件的概率公式求解.

【考点定位】本题考查茎叶图、均值和随机事件的概率问题. 3.如图1,在等腰直角三角形为

的中点.将

沿

中,

,

,

分别是

上的点,,其中

. ,

折起,得到如图2所示的四棱锥

(Ⅰ) 证明:(Ⅱ) 求二面角

平面；

的平面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得连结

,在

中,由余弦定理可得

由翻折不变性可知所以理可证

, 又

,所以

,

, ,所以

平面

.

(Ⅱ) 传统法:过作因为所以

平面为二面角

为

,所以

交的延长线于,连结, 的平面角.

,

结合图1可知,所以

中点,故,所以二面角

,从而

的平面角的余弦值为如图所示,

.

向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系

则所以设

,

,为平面,即

,

的法向量,则

,解得

,令

的一个法向量,

,得

由(Ⅰ) 知,为平面

所以,即二面角的平面角的余弦值为.

解决折叠问题，需注意一下两点：1.一定要关注“变量”和“不变量”在证明和计算中的应用:折叠时位于棱同侧的位置关系和数量关系不变;位于棱两侧的位置关系与数量关系变；2.折前折后的图形结合起来使用.如本题第一问，关键是由翻折不变性可知,借助勾股定理进行证明垂直关系；（2）利用三垂线定理法或者空间向量法求解二面角. 求二面角：关键是作出或找出其平面角，常用做法是利用三垂线定理定角法，先找到一个半平面的垂线，然后过垂足作二面角棱的垂线，再连接第三边，即可得到平面角。若考虑用向量来求：要求出二个面的法向量，然后转化为

,要注意两个法向量的夹角与二面角可能相等也可

能互补，要从图上判断一下二面角是锐二面角还是钝二面角，然后根据余弦值确定相等或互补即可。

【考点定位】考查折叠问题和二面角的求解，考查空间想象能力和计算能力. 4.设数列

的前项和为

.已知

,

,

.

(Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 求数列

的通项公式；

.

(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有【答案】(Ⅰ) 4(Ⅱ) 【解析】(Ⅰ) 依题意,(Ⅱ) 当

时,

(Ⅲ)见解析

,又,

,所以；

两式相减得整理得故数列所以(Ⅲ) 当当

时,

时,是首项为

,即

,又

,公差为的等差数列, ,所以；当

. 时,,此时

；

综上,对一切正整数,有

.

进行递推转化，进而构造数

(1)直接将n换为2代入递推式求解；（2）借助列

为等差数列是解题的关键，考查了学生对式子的操作能力和转化能力.(3)借助放缩法进

行证明，放缩的关键是

【考点定位】本题考查数列的通项公式和数列求和问题，以及不等式的证明. 5.已知抛物线的顶点为原点,其焦点上的点,过点作抛物线的两条切线(Ⅰ) 求抛物线的方程； (Ⅱ) 当点

为直线上的定点时,求直线

的方程； 到直线:,其中

为切点.

的距离为

.设为直线

(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)

的最小值. (Ⅲ)

,由

结合

,

【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为解得

. 所以抛物线的方程为

,即

. ,求导得),则切线,即

(Ⅱ) 抛物线的方程为设所以切线

,

(其中的方程为

的方程为均过点为方程的方程为

的斜率分别为,即

,

,

同理可得切线因为切线所以所以直线

,所以

的两组解. . ,

,

,

(Ⅲ) 由抛物线定义可知所以联立方程

,消去整理得

由一元二次方程根与系数的关系可得所以又点所以所以当

时,

在直线上,所以

,

,

取得最小值,且最小值为.

(1)利用点到直线的距离公式直接求解C的值，便可确定抛物线方程；（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点P，得到直线方程；（3）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理和抛物线定义将进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式

是解题的关键，然后利用二次函数求最值，需注意变量的范围.

【考点定位】本题考查抛物线的方程、定义、切线方程以及直线与抛物线的位置关系，考查学生的分析问题的能力和转化能力、计算能力. 6.设函数(Ⅰ) 当(Ⅱ) 当

时,求函数

时,求函数

(其中

).

的单调区间；

在

上的最大值

.

,

(Ⅱ)

【答案】(Ⅰ) 函数【解析】(Ⅰ) 当

,

令

,得

,

的递减区间为时,

,递增区间为

的变化如下表:

当变化时,

极大值 极小值 右表可知,函数(Ⅱ)令令所以所以当

,得

,,则

的递减区间为,递增区间为,

,.

,

,所以

,从而

时,

；当

,所以

时,在

上递增,

；

所以令令所以

在

,则

上递减,而使得

时,在

,

上单调递增,在

,

在在

, ,且当

,则

,

时,

,

所以存在当所以因为所以综上,函数

上单调递减.

上恒成立,当且仅当上的最大值

时取得“”.

.

(1)根据k的取值化简函数的表达式，明确函数的定义域，然后利用求导研究函数的单调区间，中规中矩；（2）借助构造函数的技巧进行求解，如构造达到证明的目的，构造达到证明的目的. 【考点定位】本题考查函数的单调性和函数的最值问题，考查学生的分类讨论思想和构造函数的解题能力.

所以令令所以

在

,则

上递减,而使得

时,在

,

上单调递增,在

,

在在

, ,且当

,则

,

时,

,

所以存在当所以因为所以综上,函数

上单调递减.

上恒成立,当且仅当上的最大值

时取得“”.

.

(1)根据k的取值化简函数的表达式，明确函数的定义域，然后利用求导研究函数的单调区间，中规中矩；（2）借助构造函数的技巧进行求解，如构造达到证明的目的，构造达到证明的目的. 【考点定位】本题考查函数的单调性和函数的最值问题，考查学生的分类讨论思想和构造函数的解题能力.

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