拉格朗日插值和曲线拟合

插值和曲线拟合

摘要：本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。

关键字：拉格朗日插值 曲线拟合 数值解 截断误差

一、问题描述与分析

已知函数表sin=0.5000,sin=0.7071,sin=0.8660,分别由线性插值与抛物插值求sin度。

1、插值法的概念

插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y?f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。

如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y??(x)，使函数在观

2?的数值解，并由余项公式估计计算结果的精9?6?4?3测点的值等于已知的数值或导数值。用简单函数在y??(x)点x处的值来估计未知函数y??(x)在x点的值。寻找这样的函数?（x），办法是很多的。?（x）可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；?（x）可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。函数类的不同，自然地有不同的逼近效果。在许多应用中，通常要用一个解析函数（一、二元函数）来描述观测数据。 2、拉格朗日插值：

已知函数y?f(x)在若干点xi的函数值yi=f?xi?（i=0,1,???,n）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p(xi)=yi,i=0,1,???,n, (1)

x0，x1，则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，x2，...,xn为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点x求f(x)数

??值解，我们称x为一个插值节点，f(x)?p（x）称为x点的插值，当

x?[min(x0，x1，x2，...,xn)，max(x0，x1，x2，...,xn)]时，称为内插，

??_??否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n次多项式时称为n阶Lagrange插值。 （1）线性插值L1(1)

设已知x0 ，x1及y0?f(x0) ,y1?f(x1),L1(x)为不超过一次多项式且满足，的直线，从而得L1(x0)?y0,L1(x1)?y1,几何上，L1(x)为过（x0,y0）（x1，y1）到

L1(x)?y0?y1?y0(x-x0) （2） x1?x0为了推广到高阶问题，我们将式（2）变成对称式

L1(x)?l0(x)y0?l1(x)y1

其中，

l0(x)?x?x0x?x1,l1(x)?。均为1次多项式且满足 x0?x1x1?x0l（?且（（?0且（l1x）?0。或ll1x）?1。 0x）0x）两关系式可统一写成li(xi)???1i?j 。 （3） ?0i?j（2）n阶Lagrange插值Ln(x)

设已知x0，x1，x2，...,xn及yi?f(xi)(i=0,1,.....,n),Ln(x)为不超过n次多项式且满足Ln(xi)?yi（i=0,1,...n）. 易知Ln(x)?l（0x）y0???ln(x)yn.

其中，li(x)均为n次多项式且满足式（3）（i,j=0,1,...,n）,再由xj（j?i）为n次多项式li(x)的n个根知li(x)?c?x?xj.最后，由

j?0i?inli(xj)?c?(xi?xj)?1?c?j?0j?in1?(x?x)ijj?0j?in,i=0,1,...,n.

总之，Ln(x)??li(x)yi，li(x)??i?0nnx?xjxi?xj.式为n阶Lagrange插值公式，

j?0j?i其中，li(x)（i=0,1,...n）称为n阶Lagrange插值的基函数。 3、Lagrange插值余项

设x0，x1，x2，...,xn?[a,b],f(x)在[a,b]上有连续的n+1阶导数，Ln(x)为f(x)关于节点x0，x1，x2，...,xn的n阶Lagrange插值多项式，则对任意x?[a,b],

f(n?1)(?)Rn(x)?f(x)?Ln(x)??(x).其中，?位于x0，x1，x2，...,xn及x之

(n?1)!间（依赖于x），?(x)=?（x）??(x?xj).

j?0n二、算法设计思路与描述

三、调试过程和运行结果 1、计算机配置

下面是试验时的计算机配置： 安装内存：2.00GB CPU：2.1GHz 系统类型：32位

Matlab版本：7.12.0.635（R2011a） 2、计算过程

2?2?2??0.7071?0.500096sin9?L1(9)=0.5000?(-)

???462?0.5000?0.2071??0.6381

3从所给三个节点中选取有用节点根据余项公式，选取前两个节点数值解截断误差数值解与精确解进行比较 截断误差，

R1(2?(sinx)??2??2??)(?)(?)?1?????7.615?10?39=2969421836，

?3?1??7.615?10?0.5?10.知结果至少有1位有效数字。 得

易知

2??2?3?2??2??-)(-)（?）（?）2??2?93?0.7071 sinL2()?9493?0.5000?96????????99(-)(-)（?）（?）646346432??2??（?）（?）2819694?0.866???0.7071-?0.8860?0.6434

????9?0.500099（?）（?）3634(截断误差为：

R2(2?(sinx)???2??2??2??)?(?)(?)(?)?1???????0..861?10?296969494x??618369

?4?2??8.861?10?0.5?10.知结果至少有两位数字。 得

2?比较本题精确解sin9=0.642787609...,实际误差限分别为0.0047

和0.00062。 3、运行结果

>>x=pi*[1/6 1/4];y=[0.5 0.7071];xx=2*pi/9; >>yy1=nalagr(x,y,xx) yy1 =

-0.5690

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