线性矩阵不等式

线性矩阵不等式

第7章线性矩阵不等式7.1线性矩阵不等式的一般表示一个线性矩阵不等式是具有形式F ( x )= F0+ x1 F1+…… x m Fm 0(7.1.1)

的一个表达式。其中 x1,……, x m,是 m个实数变量，称为线性矩阵不等式(7.1.1)的决策变量，

x= ( x1,…,xm ) T∈ R m是由决策变量构成的向量，称为决策向量， Fi= Fi T∈ R n× n,i=0,1,…,m是一组给定的实对称矩阵， (7.1.1)中的不等号“<”指的是矩阵 F(x)是负定的，即对所有非零的向量 v∈ R, v F ( x )v 0或者 F(x)的最大特征值小于零。m

T

线性矩阵不等式

在许多系统与控制问题问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的。例如 Lyapunov矩阵不等式：

F ( X )= AT X+ XA+ Q 0其中：A, Q∈ Rn×n

(7.1.2)n×n

是给定的常数矩阵，且 Q是对称的， X∈ R

是对称的未知矩阵变量因

此该矩阵不等式中的变量是一个矩阵。设 E1,E2,…,EM是 Sn中的一组基，则对任意对称

X∈R

n×n

,存在 x1,x2,…xM,使得 X=

∑x Ei=1 i

M

i

。

线性矩阵不等式

因此，

F ( X )= F (∑ xi Ei )= A (∑ xi E I )+(∑ xi E I ) A+ QT i=1 I=1 I=1

M

M

M

= Q+ x1 ( AT E1+ E1 A)+…+ xM ( AT E M+ EM A)<0 (7.1.3)

即 Lyapunov矩阵不等式(7.1.1)写成了线性矩阵不等式的一般形式(7.1.3)。

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7.2可转化成线性矩阵不等式表示的问题系统与控制中的许多问题初看起来不是一个线性矩阵不等式的问题，或不具有(7.1.1)式的形式，但可通过适当的处理将问题转换成具有(7.1.1)式形式的一个线性矩阵不等式的问题。下面给出了这方面的一些典型的例子。 1、多个线性矩阵不等式

F1 ( x) 0,…, FK ( x) 0

(7.2.1)

称为一个线性矩阵不等式系统。引进 F ( x)= diag{F1 ( x),…,F k ( x)},则 F1 ( x) 0…,

Fk ( x) 0同时成立当且仅 F ( x) 0。因此，一个线性矩阵不等式系统也可以用一个单一的线性矩阵不等式来表示。

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2、在许多一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中，我们常常用到矩阵的 Schur补性质。考虑一个矩阵 S∈ Rn×n

,并将 S进行分块：

S11 S= S 21

S12 S 22

(7.2.2) 1

其中的 S11是 r×r维的。假定 S11是非奇异的，则 S11 S 21 S11 S12称为 S11在 S中的 Schur补。以下引理给出了矩阵的 Schur补性质。

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S11引理 7.1.1对给定的对称矩阵 S= S 21件是等价的： (ⅰ) S 0 (ⅱ) S11 0, S 22 S12 S11 S12 0T 1

S12 ,其中 S11是 r×r维的。以下三个条 S 22

(ⅲ) S 22 0, S11 S12 S 22 S12 0T

1

线性矩阵不等式

在一些控制问题中，经常遇到二次型矩阵不等式：

AT P+ PA+ PBR 1 B T P+ Q 0T T

(7.2.3)

其中：A, B, Q= Q 0, R= R 0是给定的适

当维数的常数矩阵，是对称矩阵变量， P则应用引理 7.1.1,可以将矩阵不等式(7.2.3)的可行性问题转化成一个等价的矩阵不等式

AT P+ PA+ Q PB 0 BT P R

(7.2.4)

的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量P的线性矩阵不等式。

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7.3一些标准的线性矩阵不等式问题1.可行性问题； 2.特征值问题minλ s.t.G ( x)<λ I H ( x)< 0

3.广义特征值问题minλ s.t.G ( x)<λ F ( x) F ( x)> 0 H ( x)< 0

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例 7.3.1稳定性问题考虑线性自治系统

x(t )= Ax(t )的渐近稳定性问题，其中 A∈ Rn×n

(7.3.1)。Lyapunov稳定性理论告诉我们：这个系统渐近稳n×n

定的当且仅当存在一个对称矩阵 X∈ R

使得 X 0, A X+ XA 0。因此系统T

(7.3.1)的渐近稳定性问题等价于线性矩阵不等式

X 0 的可行性问题。

0 0 AT X+ XA

线性矩阵不等式

例 7.3.2

μ分析问题 1

在μ分析中，通常要求确定一个对角矩阵 D,使得 DED定的常数矩阵。由于

1,其中 E是一个给

DED 1 1 D T E T D T DED 1 1

E T D T DE D T D E T XE X 0其中 X= D D 0。因此，使得 DEDT T 1

1成立的对角矩阵 D的存在性问题等价

于线性矩阵不等式 E XE X 0的可行性问题。

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例 7.3.3

最大奇异值问题m n

考虑最小化问题 min f ( x)=σ max ( F ( x)),其中 F ( x): R→ S是一个仿射的矩阵值函数。由于

σ max ( F ( x)) γ F T ( x) F ( x) γ 2 I 0根据矩阵的 Schur补性质，

γI F T ( x) F ( x) F ( x) γ I 0 0 F ( x) γI T 2

因此，可以通过求解：min x,γ

γ

(7.3.2)

γI F T ( x) s.t 0 F ( x) γI 来得到所求问题的解。显然，问题(7.3.2)是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数的最优化问题。

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7.4 LMI工具箱介绍线性矩阵不等式(LMI)工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式,使得各种线性矩阵不等式能够以自然块矩阵的的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。 LMI工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用于：●以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式；●获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息；●修改现有的线性矩阵不等式系统；●求解3个一般的线性矩阵不等式问题；●验证结果。

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7.4.1线性矩阵不等式及相关术语

考虑H∞控制中的一个线性矩阵不等式：

AT X+ XA XC T N T CX γI BT DT 其中：A、B、C、D、N是

给定的矩阵，X=XT∈Rn×n

N< 0 γI B D和γ∈R是问题的变

线性矩阵不等式

N称为外因子，块矩阵

AT X+ XA XC T γI L(X,γ)= CX BT DT

B D γI

称为内因子。外因子可以不是一个正方矩阵，它在许多问题中常常不出现。● X和γ是问题的矩阵变量。注意，标量也可以看成是一个 1×1维的矩阵。●内因子 L(X,γ )是一个对称块矩阵。根据对称性，L(X,γ )可以由对角线及其上方的块矩阵完全确定。● L(X,γ )中的每一块都是矩阵变量 X和γ的仿射函数。这一函数由常数项和变量项这两类基本项组成，其中常数项就是常数矩阵或以一些常数矩阵组成的算术表达式，例如 L(X,γ )中的 B和 D;变量项是包含一个矩阵变量的项，例如 XA、-γ I等。一个线性矩阵不等式不论多么复杂，都可以通过描述其中每一块的各项内容来确定这个线性矩阵不等式。

线性矩阵不等式

7.4.2线性矩阵不等式的确定 LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线性矩阵不等式。 NTL(X1,…,Xk)N<MTR(X1,…,XK)M其中：X1…,XK是具有一定结构的矩阵变量，左、右外因子N和M是具有相同维数的给定矩阵，左、右内因子L(﹒)和R(﹒)是具有相同块结构的对称块矩阵。注意，在线性矩阵不等式的描述中，左边总是指不等式较小的一边，例如对线性矩阵不等式 X>0,X称为是不等式的右边，0称为是不等式的左边，常表示成0< X。

线性矩阵不等式

要确定一个线性矩阵不等式系统，需要做以下两步：给出每个矩阵变量X1,…,XK的维数和结构；描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的一个内部表示，它以一个单一向量的形式储存在计算机内，通常用一个名字，例如lmisys来表示。该内部表示lmisys可以在后面处理这个线性矩阵不等式时调用。下面将通过LMI工具箱中的一个例子来说明线性矩阵不等式系统的确定。运行lmidem可以看到这个例子的完整描述。

线性矩阵不等式

例 A.2.1考虑一个具有 4个输入、4个输出和 6个状态的稳定传递函数G ( s )= C ( sI A) 1 B

(A.2.1)

和一组具有以下块对角结构的输入/输出尺度矩阵 D:

d1 0 D= 0 0

0 d1 0 0

0 0 d2 d4

0 0 d3 d5

(A.2.2)

则在具有时变不确定性系统的鲁棒稳定性分析中提出了以下问题：寻找一个具有结构(A.2.2)的尺度矩阵 D,使得 sup DG ( jω ) D 1 1ω

线性矩阵不等式

可以证明：这样一个问题可以转化成一个线性矩阵不等式系统的可行性问题，即寻找两个对称矩阵 X∈ R 6×6和 S= D T D∈ R 4×4,使得

AT X+ XA+ C T SC BT X

XB 0 S X 0

(A.2.3)

(A.2.4) (A.2.5)

S I

线性矩阵不等式

用命令lmivar和lmiterm给出线性矩阵不等式系统(A.2.3)~(A.2.5)的内部描述如下：

线性矩阵不等式

setlmis([]) X=lmivar(1,[6 1]) S=lmivar(1,[2 0;2 1])﹪lst LMI lmiterm([1 1 1 x],1,A,’s’) lmiterm([1 1 1 s],c’,c) lmiterm([1 1 2 x],1,B) lmiterm([1 2 2 s],-1,1)﹪2nd LMI lmiterm([-2 1 1 X],1,1)﹪3rd LMI lmiterm([-3 1 1 s],1,1) lmiterm([3 1 1 0],1) lmisys=getlmis

其中：函数lmivar定义了两个矩阵变量X和S,lmiterm则描述了每一个线性矩阵不等式中各项的内容。 getlmis回到了这个线性矩阵不等式系统的内部表示lmisys,lmisys也称为是储存在机器内部的线性矩阵不等式系统的名称。以下将详细介绍这几个函数的功能和用法。

线性矩阵不等式

setlmis和getlmis一个线性矩阵不等式系统的描述以setlmis开始，以 getlmis结束。当要确定一个新的系统时，输入： setlmis([])如果需要将一个线性矩阵不等式添加到一个名为lmiso的现有的线性矩阵不等式系统中,则输入: setlmis(lmiso)当线性矩阵不等式系统被完全确定好后，输入： lmisys=getlmis该命令返回这个线性矩阵不等式系统的内部表示lmisys。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lsmj.html