（全国通用版）2018 - 2019高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制检测新人教A版必修4

第一章 1.1 1.1.2 弧度制

A级 基础巩固

一、选择题

1．下列各式正确的是( B ) π

A．＝90

260

C．3°＝

π

2．2145°转化为弧度数为( D ) 16A． 316πC． 3

32B．

2143πD．

12π

B．＝10° 1838

D．38°＝ π

π143

[解析] 2145°＝2015× rad＝π rad．

180123．下列各式不正确的是( C ) 7π

A．－210°＝－ 623π

C．335°＝ 12

9π

B．405°＝ 447π

D．705°＝ 12

4．在(0,2π)内，终边与－1035°相同的角是( B ) πA． 3πC． 6

[解析] ∵－1035°＝45°－3×360°． ∴45°角的终边与－1035°角的终边相同．

ππ

又45°＝，故在(0,2π)内与－1035°角终边相同的角是．

44

5．(2016·青岛高一检测)将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( D )

π

A．－－8π

4π

C．－10π

4

πB．

42πD．

3

7

B．π－8π 47

D．π－10π 4

1

[解析] ∵－1485°＝－5×360°＋315°， 7

又2π rad＝360°，315°＝π rad．

4

7

故－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是π－10π．

46．圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则( B ) A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变

C．扇形的面积增大到原来的2倍 D．扇形的圆心角增大到原来的2倍

l2l[解析] α＝＝＝α，故圆心角不变．

r2r二、填空题

︵π7．扇形AOB，半径为2 cm，|AB|＝22 cm，则AB 所对的圆心角弧度数为 ．

2π

[解析] ∵|AO|＝|OB|＝2，|AB|＝22，∴∠AOB＝90°＝．

2

8．(2016·山东潍坊高一检测)如图所示，图中公路弯道处AB 的弧长l＝__47_m__.(精确到1m)．

︵

π

[解析] 根据弧长公式，l＝α＝×45≈47(m)．

3三、解答题

9．一个半径为r的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？

[解析] 设扇形的圆心角为θ，则弧长l＝rθ，∴2r＋rθ＝πr，∴θ＝π－2＝(π180360112

－2)·()°＝(180－)°，扇形的面积S＝lr＝r(π－2)．

ππ22

10．(1)把310°化成弧度； 5π

(2)把 rad化成角度；

12

π7π

(3)已知α＝15°、β＝、γ＝1、θ＝105°、φ＝，试比较α、β、γ、θ、

1012

2

φ的大小．

π31π

[解析] (1)310°＝ rad×310＝ rad．

180185π?1805π?(2) rad＝?×?°＝75°． 12?12?π(3)解法一(化为弧度)：

πππ7π

α＝15°＝15×＝.θ＝105°＝105×＝．

1801218012ππ7π

显然<<1<.故α<β< γ<θ＝φ．

121012解法二(化为角度)：

ππ180

β＝＝×()°＝18°，γ＝1≈57.30°，

1010π7π180°φ＝×()°＝105°．

12π显然，15°<18°<57.30°<105°． 故α<β<γ<θ＝φ．

B级 素养提升

一、选择题

απα

1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( D )

332A．第一象限 C．x轴上

απ

[解析] ∵＝2kπ＋(k∈Z)，

33∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴

απ

＝3kπ＋(k∈Z)． 22

B．第四象限 D．y轴上

αα

当k为奇数量，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负

22α

半轴上．综上，终边在y轴上，故选D．

2

2．下列表述中不正确的是( D )

A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z} π

B．终边在y轴上角的集合是{α|α＝＋kπ，k∈Z}

2π

C．终边在坐标轴上角的集合是{α|α＝k·，k∈Z}

2

3

π

D．终边在直线y＝x上角的集合是{α|α＝＋2kπ，k∈Z}

4

π

[解析] 终边在直线y＝x上角的集合应是{α|α＝＋kπ，k∈Z}，D不正确，其他

4选项均正确．

3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是( A ) A．4 cm C．4π cm

22

B．2 cm D．2π cm

2

2

41122

[解析] 设扇形的半径为r，则由l＝|α|r，得r＝＝2(cm)，∴S＝|α|r＝×2×2222＝4(cm)，故选A．

4．一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是( D ) 12

A．(2－sin1cos1)R 212C．R 2

12

B．Rsin1cos1 2D．R－Rsin1cos1

2

2

2

1l2

[解析] 设弧长为l，则l＋2R＝4R，∴l＝2R，∴S扇形＝lR＝R.∵圆心角|α|＝＝2，

2R1222

∴S三角形＝·2R·sin1·Rcos1＝Rsin1·cos1，∴S弓形＝S扇形－S三角形＝R－Rsin1cos1．

2

二、填空题

1π1

5．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是 ＋，－

23602π ． 360

π

[解析] 设两个角的弧度分别为x，y，因为1°＝ rad，

180

?x＋y＝1，

所以有?

??

?x－y＝

π，180

1πx＝＋，??2360解得?1π

y＝??2－360.

1π1π

即所求两角的弧度数分别为＋，－．

23602360

πk6．已知θ∈{α|α＝kπ＋(－1)·，k∈Z}，则θ的终边所在的象限是__第一或第

4二象限__．

ππ

[解析] 当k为偶数时，α＝2mπ＋(m∈Z)，当k为奇数时，α＝(2m－1)π－＝44

4

5π

2mπ－(m∈Z)，

4

∴θ的终边在第一或第二象限． 三、解答题

7．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．

[解析] (1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为 3π4π

{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．

43

π(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB6π5π

所形成，故满足条件的角的集合为{α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}．

612

(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以π

满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}．

2

(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴2π5π

影部分．所以满足条件的角的集合为{α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}．

36

8．如图，圆周上点A以逆时针方向做匀速圆周运动．已知点A经过1 min转过θ(0<θ<π)角，2 min到达第三象限，14 min后回到原来的位置，求θ．

3π

[解析] 点A经过2 min转过2 θ，且π<2θ<，14 min后回到原位，∴14θ＝2kπ(k2∈Z)，θ＝kπ

π3

，且<θ<π， 724

45

∴θ＝π或π．

77

C级 能力拔高

5

集合A＝{α|α＝

nπ

2π2

，n∈Z}∪{α|α＝2nπ±，n∈Z}，B＝{β|β＝nπ，n∈Z}233

π

∪{β|β＝nπ＋，n∈Z}，求A与B的关系．

2

[解析] 解法一：如图所示．

∴BA． nπ

π

，n∈Z}＝{α|α＝kπ，k∈Z}∪{α|α＝kπ＋，k∈Z}； 22

解法二：{α|α＝

2nπ2π

{β|β＝，n∈Z}＝{β|β＝2kπ，k∈Z}∪{β|β＝2kπ±，k∈Z}比较集合A、

33

B的元素知，B中的元素都是A中的元素，但A中元素α＝(2k＋1)π(k∈Z)不是B的元素，

所以AB． 6

集合A＝{α|α＝

nπ

2π2

，n∈Z}∪{α|α＝2nπ±，n∈Z}，B＝{β|β＝nπ，n∈Z}233

π

∪{β|β＝nπ＋，n∈Z}，求A与B的关系．

2

[解析] 解法一：如图所示．

∴BA． nπ

π

，n∈Z}＝{α|α＝kπ，k∈Z}∪{α|α＝kπ＋，k∈Z}； 22

解法二：{α|α＝

2nπ2π

{β|β＝，n∈Z}＝{β|β＝2kπ，k∈Z}∪{β|β＝2kπ±，k∈Z}比较集合A、

33

B的元素知，B中的元素都是A中的元素，但A中元素α＝(2k＋1)π(k∈Z)不是B的元素，

所以AB． 6

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