2007年高一数学第二学期同步检测 平面向量(一)(B卷)

高一数学试卷

2007年高一数学第二学期同步检测 平面向量（一）（B卷）

说明：试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列四个命题中，正确命题的个数是（ ） ①共线向量是在同一条直线上的向量

②若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点 ③与已知非零向量共线的单位向量是唯一的

④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB与CD、BC与AD分别共线 A.1 B.2 C.3 D.4

解析：平行向量即共线向量，不一定在同一条直线上，故①错；不等向量的终点可相同，故②错；与已知非零向量共线的单位向量有两个，一个同向，一个反向，故③错.

答案：A

2.在四边形ABCDAB=a＋2bBC=－4a－b，CD=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（ ）

A.平行四边形

B.矩形

C.梯形

D.菱形

解析：∵AD AB BC CD=－8a－2b=2BC，∴AD∥AB. ∴四边形ABCD为梯形. 答案：C

3.若A、B、C、D是平面内任意四点，则下列式子中正确的有（ ） ①AB CDA.0个

BC DA

②ACB.1个

BD BC AD

③AC C.2个 ；AB

BD DC AB

D.3个

，左边=AB

CB

解析：纯向量式运算的基本法则是AB==

DA DC

BC AC AC CB

.而此题中的三个式子，等式两边都

，右边，右边，右边

，左边=

AC CB AB

无法应用法则直接运算，故可变形后再算.①式的等价式是AB

，不一定相等；②式的等价式是

，所以③式成立.

BC

BC DA CD

AC BC AD BD

AD BD AD DB AB

DC BC

，所以②式成立;③式的等价式是

AC AB DC BD

，左边=

BC

=BD

答案：C

4.平面上有A、B、C三点，设m=ABA.A、B、C三点必在一条直线上

，n=AB

BC

，若m与n的长度恰好相等，则有（ ）

B.△ABC必为等腰三角形，且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形，且∠B=90° D.△ABC必为等腰直角三角形

，AB

BC AB AD DB

解析：如图所示，作出平行四边形ABCD，其中AB由于|m|=|n|，因此|AC|=|DB|，即

角三角形，其中∠B=90°.

答案：C

BC AC

.

ABCD的对角线AC与BD相等.故ABCD为矩形.所以△ABC为直

5.已知命题p：非零向量a、b、c满足a＋b＋c=0；命题q：表示a、b、c的有向线段可构成三角形.则p是q的（ ）

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A.充分不必要条件 C.充要条件 答案：D

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

6.在△ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是（ ）

A.BGC.CG

23BE

12

12GA

≠

12

AG

B.DG D.

13

AG23

12BC

2FGDA FC

13DA

23FC

解析：DG

DG GC

12BC

，∴B不正确；易得A、C正确；对于D，

，故D正确.

答案：B

7.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则AF

DB

等于（ ）

D.

BE

A.FD B.

FC

C.

FE

BE

解析：由图可知DB AD，则AF DB AF AD DF.又由三角形中位线定理知DF由平移的观点是本题的解题关键，平移的目的是便于按向量减法法则进行运算.

答案：D

8.若|AB|=8，|AC|=5，则|BC|的取值范围是（ ） A.［3，8］ B.（3，8） C.［3，13］ 解析：∵BC

D.（3，13）

AC AB

.向量可自

，当AB、AC同向时，|BC|=8－5=3；

当AB、AC反向时，|BC|=8＋5=13； 当AB、AC不平行时，3<|BC|<13. 综上得3≤|BC|≤13. 答案：C

9.已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OAA.重心 B.垂心 C.内心

OB OC

=0，则O是△ABC的（ ）

D.外心

OA OC

解析：如图，以OA，OC

为邻边作

OA OC OB

AOCF，连结OF交AC于点E，则OF，又∵

，∴OF

2OE OB

.

答案：A

10.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP等于（ ） A.λ

(AB AD)

，λ∈（0，1） B.λ

(AB BC)

，λ∈（0，

22

）

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C.λ

(AB AD)

，λ∈（0，1） D.λ

(AB BC)

，λ∈（0，

22

）

解析：由向量的运算法则知AC∴AP=λ

(AB AD)

AB AD

，而点P在对角线AC上，所以AP与AC同向，且|AP|<|AC|.

，λ∈（0，1）.

答案：A

第Ⅱ卷（非选择题 共70分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

11.如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，若AB=a，AC=b，则MN=____.

解析：BC=b－a，MN=答案：（b－a）

31

13

BC

=（b－a）.

3

1

12.向量a、b满足|a|=2，|a＋b|=3，|a－b|=3，则|b|=________. 解析：∵|a＋b|=3，|a－b|=3，

∴由a、b为邻边所构成的平行四边形为矩形. ∴|b|=答案：

|a b| |a|

2

2

9 4 5

.

5

13.a与b为非零向量，|a＋b|=|a－b|成立的充要条件是________.

解析：以a与b为邻边的平行四边形的两对角线分别为a＋b和a－b，若|a＋b|=|a－b|，则平行四边形的两对角线相等，故该平行四边形为矩形.∴a⊥b.

答案：a⊥b

14.已知D为△ABC的边BC的中点，E是AD上的一点，且

EA EB EC

AE 3ED

，若

AD

=a，则

=______.（用a表示）

A

E

B

D

C

解析：如图，由AD=a，AE中线向量公式知ED

∴EB∴EA

12

3ED

知EA=－

34

a，ED=

14

a.又由于ED是△BEC的中线，故由三角形

(EB EC)

.

EC 2ED

1234

a. a＋

12

EB EC

a=－

14

a.

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答案：－

14

a

三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分8分）如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知AB=a，AD=b，试用a、b表示BC和MN.

D

M

C

A

N

B

解法一：连结CN，则AN DC.

N

B

∴四边形ANCD是平行四边形.

CN AD

1分 2分

b， =0，

12

又∵CN∴BC∴MN

NB BC

CN NB

=b－a.

12AN

14

a=

14

5分 8分

CN CM CN

=－b＋=0，

a－b.

解法二：∵AB

BC CD DA12

即a＋BC＋（－a）＋（－b）=0，∴BC=b－

DM MN NA

12

a. 3分

又∵在四边形ADMN中，有AD即b＋

14

=0，

6分 8分

a＋MN＋（－

14

12

a）=0，

∴MN=a－b.

评注：比较两种解法，显然解法二更简洁.

16.（本小题满分10分）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点，求证：OA OB OC OD 4OE.

证明：∵E是对角线AC与BD的交点，

∴AE

EC CE

，BE

ED DE

.

，OD.

.

4分 6分 9分

12

在△OAC中，OA同理有OB四式相加可得OA

AE OE

，

BE OE

，OC

CE OE DE OE

OB OC OD 4OE

10分

(

AB DC)

17.（本小题满分10分）四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：EF

.

A

BF

证法一：∵E、F分别为DA、BC的中点，∴DE又∵EF

FC CD DE

EA

，FC

.

①

2分

=0，

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EF FB BA AE

=0，

②

4分 6分 9分

①＋②得2EF∴2EF∴EF

(FC FB) (CD BA) (DE AE)

=0.

CD ( BA) DC AB12

.

(AB DC)

. 10分

A

① ②

2分

证法二：连结EC、EB， ∵EF

FC EC

，

EB

.

EF FC EB

，

①＋②得2EF＋0=EC∴EF

12

(EC EB)

.

.

4分

又∵EC

ED DC

，

③ ④

6分 8分

EB EA AB

，

12

③＋④得EF又∵ED∴EF

(ED DC EA AB)

EA12

=0，

.

14

(AB DC)

AB

10分

18.（本小题满分12分）在△ABC中，AD，DE∥BC，与边AC相交于点E，

△ABC的中线AM与DE相交于点N，设AB=a，AC=b，试用a、b表示DN.

解：因为M为BC的中点，所以有

BM

1

11

BC AC AB）=222

12

（b－a），

2分 3分

AM AB BM

（a＋b）.

因为DN∥BM，AN∥AM，

根据向量共线的充要条件，存在实数λ和μ， 使得DN因为AN

BM

12

λ（b－a），AN

14

AM

14

12

μ（a＋b）.

2

7分 8分

AD DN

a＋

12

λ（b－a）=（－）a＋

2

b

1 , 422

根据基本定理有 解方程组得λ

. 2 2

=μ=

14

， 11分

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可得DN

18

（b－a）. 12分

19.（本小题满分14分）如图所示，在△ABC中，AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，BN与CM交于点P，且AB=a，AC=b，试用a、b表示AP.

A

N

M

P

C

B

解：∵AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4， ∴AM

113AB

13

a，AN

4

b. ∵M、P、C三点共线， 故可设MP tMC

，t∈R.

于是AP

AM MP

1a＋tMC=1a＋t（b－1a）=（1－t3

3

3

3

3

）a＋tb.

同理可设NP sNB

，s∈R，

故AP

AN NP (

1s4 4)

b＋sa.

∴（1

t

3

－13

－s）a＋（t－

4 s4

）b=0.

s 3∴

11, t 2

11.∴AP

311

a＋

211

b.

2分

3分 6分 7分 9分

11分

13分

14分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lsl1.html