高考一轮复习 同角三角函数的基本关系及诱导公式

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第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式

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【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填

(1)同角三角函数的基本关系: sin2α +cos2α =1 ①平方关系:_______________.sin ②商数关系:__________. cos tan =

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(2)三角函数的诱导公式:

组数角 正弦 余弦 正切

一2kπ +α (k∈Z) sinα cosα tanα

二π +α

三-α

四π -α

五 2

六 2

-sinα _______ -sinα sinα cosα ______ ______ ______ -cosα ______ cosα -cosα sinα ______ _______ ______ tanα _______ -tanα -tanα ______ _______

cosα ______ -sinα _______

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2.必备结论

教材提炼

记一记

1-sin2α (1)sin2α =1-cos2α ,cos2α =________.

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(2)特殊角的三角函数值 角α 角α 的 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 0 0 __ 1 __ 6 1 ___ 2 4 3 2 2 3 5 6 1 ____ 2

弧度数sinα cosα tanα

π 0 -1 0

2 2 2 2

3 ___ 21 ___ 2

1 0

3 ____ 21 2 ____

3 ___ 2 3 ___ 3

3 ____ 2 3 ____ 3

0 __

1

3 ___

3 ____

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3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:统一法,整体代换法. (2)数学思想:转化与化归的思想. (3)记忆口诀:三角函数诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变,符号看象 限”.

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【小题快练】 1.思考辨析静心思考判一判 (1)120°角的正弦值是 1 ,余弦值是 3 . (2

2

) ) )

(2)同角三角函数关系式中的角α 是任意角.( (3)六组诱导公式中的角α 可以是任意角.(

(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α 的大小无关.( )

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【解析】(1)错误.sin 120°=sin(180°-60°)=sin 60°= 3 , cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°= 1 . (2)错误.在tan α= sin 中α≠ +kπ,k∈Z. cos 2 2

2

(3)错误.对于正、余弦的诱导公式角α可以为任意角，而对于正切的 诱导公式α≠ +kπ,k∈Z.2

(4)正确.诱导公式的“符号看象限”中的符号是把任意角α都看成锐 角时原函数值的符号，因而与α的大小无关. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√

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2.教材改编

链接教材

练一练 4 4

(1)(必修4P21T5改编)已知f(x)= sin(x ) 2sin(x ) 4cos 2x 3 3cos(x ), 则f(- )的值为( 4 4

) D.-92 2

A.0

B.14

C.-5

【解析】选C.f(- )=sin 0+2sin(- )-4cos(- )+3cos(-π)= 0+2×(-1)-4×0+3×(-1)=-5.

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cos =______. (2)(必修4P22T3改编)已知tan α =-2,则 3sin 2 2 6 【解析】原式= 3tan 2. 2 tan 1 4 1 sin cos

答案:-2

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3.真题小试

感悟考题

试一试)

(1)(2015·泰安模拟)sin 600°的值为(A. 1 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 3 2

【解析】选B.sin 600°=sin(360°+240°)=sin 240°=sin(180°+ 60°)=-sin 60°= 3 .2

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(2)(2015·梅州模拟)已知α 为锐角，且tan(π -α )+3=0,则sin α的值是(A. 1 3

)B. 3 10 10 C. 3 7 7 D. 3 5 5

【解析】选B.方法一：由tan(π-α)+3=0得tan α=3,即 sin 3, s

in α=3cos α,所以sin2α=9(1-sin2α),10sin2α=9,sin2α= 9 . 又因为α为锐角，所以sin α=3 10. 10 10 cos

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方法二：因为α为锐角，且tan(π-α)+3=0,所以-tan α+3=0即 tan α=3.在如图直角三角形中，令A=α,BC=3则AC=1,故AB 32 12 10. 3 3 所以 sin 10. 10 10

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(3)(2015·厦门模拟)已知 sin( ) 1 , α 是第四象限角，则2 3

sin α =2

.3

【解析】sin( ) =cos α= 1 ,

因为α是第四象限角，所以sin α= 1 cos 2 2 2 .答案： 2 233

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考点1

诱导公式的应用6

【典例1】(1)(2015·兰州模拟)计算：2sin( 31 )+cos 12π + tan 7 =______.4 6 3

(2)已知cos( -α )= 2 ,则sin(α - 2 )=_____.

3 3 sin(2 x) cos( x) 2 (3)(2015·淮南模拟)已知f(x)= , 11 cos(3 x) sin( x) 2 则f( 21 )=________. 4

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【解题提示】(1)利用诱导公式化大角为小角，再求值.(2)注意角 -α与α- 2 的关系，用诱导公式转化求值.6 3

(3)利用诱导公式先化简，再求值.

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【规范解答】(1)原式= 2sin( 6 5 ) cos 0 tan(2 )6 4 5 2sin 1 tan 2sin( ) 1 1 2sin 1. 6 4 6 6

答案：1

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(2)因为 ( ) ( 2 ) ,

所以 sin( 2 ) sin[ ( )] 2 sin[ ( )] cos( ) . 2 6 6 3 2 答案： 3 3 2 6

6

3

2

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(3)因为f(x)=

sin( x) sin x

cos( x) sin[6 ( x)] 2 sin 2 x sin 2 x 2 tan x. 2 cos x[ sin( x)] cos x 2 所以 f ( 21 ) tan 2 ( 21 ) tan 2 ( 5 ) 4 4 4 tan 2 ( ) tan 2 1. 4 4

答案：-1

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【互动探究】在本例题(2)的条件下，求 cos( 5 ) sin( ) 的值. 【解析】cos( 5 ) sin( )6 3 6 3

4 cos[ ( )] sin[ ( )] cos 2 ( ) . 6 2 6 6 9

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