偏微分方程期末考试试题(07)

黑龙江科技学院考试试题

第一套

课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页

一、（15分）求方程x2uxx 2xyuxy y2uyy xux yuy 0的通解。

y'' y' 3 y 0二、（10分）解固有值问题

y 0 y 1 0

0 x 1

三、（10分）写出二阶线性偏微分方程的分类和标准式。

四、（15分）求半无界弦的自由振动问题

utt a2uxx t 0,x 0

u t,0 0

u 0,x x ,ut 0,x x 五、（15分）计算积分 pn x dx,n为偶数。

01

0

1

六、（15分）将函数f x

2 1

1 x x

按勒让德多项式展开。

x 1

七、（10分）截面为矩形的无穷长棱柱，内部无热源，两相对侧面与外界绝热，另

两相对侧面温度分别保持零度和与高度无关的稳恒分布，求此棱柱的温度分布。 八、（10分）写出Legendre多项式的各种表示。

黑龙江科技学院考试试题答案

第一套

课程名称：偏微分方程数值解法 课程编号：24014110 适用专业（班级）：数学 共1页 命题人：潘晓丽 教研室主任： 第1页

一、解：首先判别方程的类型，

2

a12 a11a22 x2y2 x2y2 0

即此方程在整个全平面上都是抛物型的。 特征方程为：x2 dy 2xydxdy y2 dx 0 只有一族特征曲线， xdy ydx 0 xdy ydx 0 有

dydx

yx

lny lnx c xy c

2

2

2

yx xy做变量替换，令 ，其中y 0，J y 0

y01 由链式法则

ux yu uy xu u

uxx y2u

uxy u xyu yu

uyy x2u 2xu u 代入原方程得

2u u 0，因为 y 0，有 u u 0

令u v，则 v v 0 v

1

dv1

v 0 v

dvd

v

v v 0 v v 0

d

v 有lnv ln c

v 即lnv c

c

u

u

通解u c ln d c xy lny d xy

二、解：解：首先将方程化成S-L型方程，方程两端同时乘以ex，有

ey' ' 3 e

x

x

y 0

此方程为S-L型方程，所以 n 0，又因为两端出现的是第一类边界条件，所以无零

固有值。 设 k2 0，

方程y'' y' 3 y 0的特征方程为k2 k 3

0，有k

1

时，方程通解为y

x Ce12

x

1

2

x

当 De

而y 0 y 1 0，得C D 0

1 x11

当 时，k ，方程通解为y x C Dx e2

122

而y 0 y 1 0，得C D 0

x1 1

2

x Dsinx 当 时，方程通解为y

x Ccos e 1222

12 0 n y 0 c 0，y

1 D得固有值为 n

1

4n2 2 1 ，n 1,2 12

相应的固有函数为yn x e

三、解：u x,t

1 x2

sinn x

x at1

x at x at 1 x at d ……………………….5分 22a11x at

u x,t sin x at sin x at cos d

22a x at

1

sin x at sin x at ……………………….10分 sinxcosat 2a1

sinxcosat cosxsinat ……………………….15分

a

四、解：作辅助函数

x 0 x ,

x

x ,x 0x 0 x ,

x

x ,x 0

由达朗贝尔公式得

11x at

u x,t x at x at d x at22a

1x at 1

x at x at 2a x at d ,t 2

1 x at at x 1x at d ,t

2a at x

2

11

p'n 1 x p'n 1 x dx 002n 1

11

pn 1 x pn 1 x 0 2n 11

pn 1 0 pn 1 0 2n 1

x

a xa

五、解： pn x dx

1

因为n为偶数，所以n 1，n 1为奇数，有pn 1 0 pn 1 0 0

故

p x dx 0

n

n 1

1

六、解：解：f x cnpn x c0p0 x cnpn x ，计算系数有

n 0

c0

11111

fxpxdx dx 0 1 1 222

cn

2n 11

f x pn x dx 12

2n 1111 pxdx p'n 1 x p'n 1 x dx n 221 pn 1 pn 1 n 1 2

11

所以f x 1 pn 1 pn 1 pn x 22n 1

七、解 八、

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