2017版高考数学一轮总复习 几何证明选讲 第二节 直线与圆的位置

第二节 直线与圆的位置关系

【最新考纲】 会证明和应用圆周角定理；圆的切线的判定定理与性质定理;相交弦定理；圆内接四边形的性质定理与判定定理；切割线定理．

1．圆周角、圆心角基本定理

(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理

①定理1：圆的内接四边形的对角互补．

②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)圆内接四边形的判定定理及推论

①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． ②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 3．圆切线的性质及判定定理

(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． (3)弦切角定理

定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 4．与圆有关的比例线段

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相等的圆周角所对的弧也相等．( ) (2)任意一个四边形、三角形都有外接圆．( ) (3)等腰梯形一定有外接圆．( )

(4)弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×

2．(2015·天津卷)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为( )

8

A. B．3 3105C. D.

32

解析：由题意可设AM＝MN＝NB＝x，由圆的相交弦定理得

??CM·MD＝AM·MB，??2×4＝x·2x，?即? ?CN·NE＝AN·NB，??3·NE＝2x·x，?

8解得x＝2，NE＝.

3答案：A

3．如图，P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝________．

解析：由切割线定理得QA＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4， 所以QA＝2，PB＝PA＝4. 答案：4

4．如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则⊙O的半径等于________．

2

解析：延长AO交圆O于点D，连接BD，则AB⊥BD 设BC，AD交于点E

因为AO⊥BC，AB＝3，BC＝22 ∴AE＝1

由射影定理，得AB＝AE·AD，则AD＝3.

2

3

∴2r＝3.r＝.

23答案： 2

5．(2014·江苏卷)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB＝∠D.

证明：因为B，C是圆O上的两点，所以OB＝OC，故∠OCB＝∠B. 又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点． 故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角． 所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.

一个结论

切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心． 两类方法

1．与圆有关的比例线段(等积式)的证明常有以下三种方法； (1)利用相似三角形；

(2)利用切割线定理、相交弦定理； (3)利用角平分线定理． 2．证明四点共圆的常用方法 (1)圆内接四边形的判定定理． (2)圆内接四边形判定定理的推论．

(3)四边形的四个顶点到同一点的距离相等．

1．(2015·重庆改编)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，求BE的长．

解：由切割线定理，得PA＝PC·PD PA6

因此PD＝＝＝12.

PC3

又PC＝3，所以CD＝PD－PC＝9. 由于CE∶ED＝2∶1 因此CE＝6，ED＝3

由相交弦定理，AE·EB＝CE·ED CE·ED6×3

所以BE＝＝＝2.

AE9

2．(2016·西安质检)如图所示，已知AB为圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF＝FG.

2

2

2

︵

(1)求证：C是劣弧BD的中点； (2)求证：BF＝FG.

证明：(1)∵CF＝FG，∴∠CGF＝∠FCG. π

∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝.

2π

∵CE⊥AB，∴∠CEA＝. 2

ππ

∵∠CBA＝－∠CAB，∠ACE＝－∠CAB.

22∴∠CBA＝∠ACE.

∵∠CGF＝∠DGA，∠DGA＝∠ABC， ππ

∴－∠DGA＝－∠ABC， 22

︵

∴∠CAB＝∠DAC，∴C为劣弧BD的中点． ππ

(2)∵∠GBC＝－∠CGB，∠FCB＝－∠GCF，

22∴∠GBC＝∠FCB，∴CF＝FB，∴BF＝FG.

︵

3．(2016·唐山五校二联)已知△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A、C重合)，延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F.

(1)求证：∠CDF＝∠EDF；

(2)求证：AB·AC·DF＝AD·FC·FB.

证明：(1)∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠CDF＝∠ABC.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∠ADB＝∠ACB. ∠EDF＝∠ADB， ∴∠CDF＝∠EDF.

(2)由(1)得∠ADB＝∠ABF， 又∵∠BAD＝∠FAB， ∴△BAD∽△FAB，

ABAD2

∴＝，∴AB＝AD·AF， AFAB又∵AB＝AC，∴AB·AC＝AD·AF， ∴AB·AC·DF＝AD·AF·DF， 根据割线定理得DF·AF＝FC·FB， ∴AB·AC·DF＝AD·FC·FB.

4．如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD.

(1)求证：l是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径OA＝5，AC＝4，求CD的长． (1)证明：连接OP，∵AC⊥l，BD⊥l，

∴AC∥BD.

又OA＝OB，PC＝PD， ∴OP∥BD，从而OP⊥l. ∵点P在⊙O上， ∴l是⊙O的切线．

1

(2)解：由(1)可得OP＝(AC＋BD)，

2∴BD＝2OP－AC＝10－4＝6. 过点A作AE⊥BD，垂足为E，则 BE＝BD－AC＝6－4＝2.

∴在Rt△ABE中，AE＝AB－BE＝10－2＝46. ∴CD＝46.

5．(2015·全国课标Ⅱ卷)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．

2

2

2

2

(1)证明：EF∥BC；

(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积． (1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC， 所以AD是∠CAB的平分线．

又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF， 故AD⊥EF.从而EF∥BC.

(2)解：由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF， 故AD是EF的垂直平分线．

又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．

连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°. 因此△ABC和△AEF都是等边三角形． 因为AE＝23，所以AO＝4，OE＝2.

1103

因为OM＝OE＝2，DM＝MN＝3，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝. 231?103?23131632

所以四边形EBCF的面积为×?×－×(23)×＝. ?2?3?2223

︵

6．(2016·郑州调研)如图所示，AC为⊙O的直径，D为BC的中点，E为BC的中点．

(1)求证：DE∥AB； (2)求证：AC·BC＝2AD·CD.

︵

证明：(1)连接BD，因为D为BC的中点，

所以BD＝DC. 因为E为BC的中点， 所以DE⊥BC. 因为AC为圆的直径，

所以∠ABC＝90°，所以AB∥DE.

︵

(2)因为D为BC的中点，所以∠BAD＝∠DAC， 又∠BAD＝∠DCB，则∠BCD＝∠DAC.

又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD.

ACAD

所以＝，AD·CD＝AC·CE，所以2AD·CD＝AC·BC.

CDCE

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