2018年高考江苏省南通学科基地密卷数学理科(5)

2018年高考模拟试卷（5）

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．集合A?{0，ex},B?{?1，，01}，若A?B?B，则x? ▲ ．

2．若复数z?(1?i)(1?ai)(i为虚数单位，a?R)满足|z|?2，则a= ▲ ．

3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s，黄灯时间为3 s，绿灯时间为60 s．从西 向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 ▲ ．

π?的单调减区间为 ▲ ． 4．函数f(x)?sinx?3cosx，x??0，5．下面求2?5?8???2018的值的伪代码中，正整数m的最大值为 ▲ ．

I←2

S←0

While I＜m S←S＋I I←I＋3 End While Print S

第5题

7 9

8 5 7 7 7 7 9 1 3

第6题

6．如图是某学生8次考试成绩的茎叶图，则该学生8次考试成绩的标准差s= ▲ ． 7．已知x?0，y?0，且1?2≤1，则x?y的最小值为 ▲ ．

xy8．已知平面α ，β，直线m，n，给出下列命题：

① 若m//?，n//?,m?n，则???；② 若?//?，m//?,n//?，则m//n； ③ 若m??,n??,m?n，则???；④ 若???，m??,n??，则m?n. 其中是真命题的是 ▲ ．（填写所有真命题的序号）．

9．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1?1，且数列{Sn}也为等差数列，则a10= ▲ ． 10．设a为实数，已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，且f(2a－3)＝f(a)，则满足条件的a构成的

集合为 ▲ ．

2y2x11．已知抛物线y?2px(p?0)与双曲线2?2?1(a?0，b?0)有相同的焦点F，点A是

ab2

两曲线的一个交点，若直线AF的斜率为3，则双曲线的离心率为 ▲ ．

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b，c满足a?b?c?0，且a与b的夹角的正切值为?1，b与c的夹角 12．已知向量a，2的正切值为?1，b?1，则a?c的值为 ▲ ．

313．在平面直角在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2?y2?1，圆C：(x?4)2?y2?4，动

F之间，过点P分别作圆O，C的切线，切点为点P在直线x?3y?2?0上的两点E，A，B，若满足PB≥2PA，则线段EF的长度为 ▲ ．

?x2，x≥a，?14．已知函数f(x)??2e．若对任意实数k，总存在实数x0，使得f(x0)?kx0成

?0?x?a?lnx，立，求实数a 的取值集合为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）

2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ac?b2，

3且tanA?tanC?3?3tanAtanC． （1）求角B的大小；

????????3a?c（2）若△ABC的外接圆的半径为，若，求AC?AB的值

16．（本小题满分14分）

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的菱形，∠BCD＝60°，点E是BC边 的中点，AC，DE交于点O，PO＝23，且PO⊥平面ABCD. （1）求证：PD⊥BC；

（2）在线段AP上找一点F，使得BF∥平面PDE，

并求此时四面体PDEF的体积．

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Ｐ

Ｄ Ｏ Ａ

Ｅ

Ｂ

Ｃ

17．（本小题满分14分）

为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休 闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分）．以AB所在直线为x 轴，AB的垂直 平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数 y?x?1(x?0)模型．园区服务中心P在x 轴正半轴上，PO=4百米．

x3（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的

最短长度；

（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道PQ最短．

18．（本小题满分16分）

y DEGCMFAOP（第17题） Bx 2y2x如图，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为3，并且椭圆经过点P(1，3)，

22ab直线l的方程为x?4． （1）求椭圆的方程；

0)，过点E作一条斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点， （2）已知椭圆内一点E(1，交直线l于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1， k2，k3．问：是否存在常数?，使得k1?k2??k3？若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由． y

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P B O E M x A 第18题 19．（本小题满分16分）

b，c为 设Sn数列{an}的前n项和，对任意n?N?，都有Sn?(an?b)(a1?an)?c（a，常数）．

b?3，c??2时，求Sn； （1）当a?0，2b?0，c?0时， （2）当a?1，2 （ⅰ）求证：数列{an}是等差数列；

（ⅱ）若对任意m,n?N?，必存在p?N?使得ap?am?an，已知a2?a1?1，

11）且?1?[1，，求数列{an}的通项公式．

S29i?1in

20．（本小题满分16分）

已知函数f(x)?lnx?x?ax2，a?R． （1）若f(x)在x?1处取得极值，求a的值；

（2）设g(x)?f(x)?(a?3)x，试讨论函数g(x)的单调性；

（3）当a??2时，若存在正实数x1,x2满足f(x1)?f(x2)?3x1x2?0，

求证：x1?x2?1．

2

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2018年高考模拟试卷（5）

数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD， 过点B作BD?CD于点D. 求证：BC2?BA?BD．

B．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）

y)在矩阵M对应变换作用下得到点(2x，3y)． 设点(x，AO第21（A）题

BCD（1）求矩阵M的逆矩阵M?1；

（2）若曲线C在矩阵M?1对应变换作用下得到曲线C?：x2?y2?1，求曲线C的

方程．

C．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

已知曲线C的极坐标方程是??4cos(??π)．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x3?x?3?2t，??2轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是?（t为参数），

?y??3?2t??2B两点． 直线l与曲线C相交于A， （1）求AB的长；

B两点的距离之积． （2）求点P(3，?3)到A，

D．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）

y?0，且x?y?1，求证：x?1?y?1≤6． 已知x，

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D．证法一：因为(x?1?y?1)2≤(x?1?y?1)(12?12)?6 所以x?1?y?1≤6．

证法二：分析法， 要证x?1?y?1≤6， 即证(x?1?y?1)2≤(6)2， 即证x?1?2(x?1)(y?1)?y?1≤6， 即证2(x?1)(y?1)≤3?(x?1)?(y?1)， 由基本不等式易得．

22．以{AB，AC，AA1}为正交基建立如图所示的空间直角坐标系，

00)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，，10)． 则A(0，，02)，M(1，，（1）若P是线段A1B的中点，

????????0，1)，MP?(0，则P(1，?1，1)，AC?(0，，20)．

A1 B1 z ????????????????2． MP所以cos?MP，AC???????AC??????2MP?AC?????????????????MP，AC??3π． 又?MP，，所以AC??[0，π]4P C1 A N 所以直线MP与直线AC所成的角的大小为π．

4????2，1)，得MN?(?1，，（2）由N(0，11)． ???????y，z)，BP??BA1，0≤?≤1， 设P(x，y，z)??(?2，，02)， 则(x?2，x B M 第22题

C y ?x?2?2?，?????0，2?)，所以MP?(1?2?，所以?y?0，，所以P(2?2?，?1，2?)．

?z?2??设平面PMN的法向量n?(x,y,z)，

????????则n?MN，n?MP，

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??x?y?z?0,所以?取n?(1?1,1,1)．

2?2??(1?2?)x?y?2?z?0,????因为BA1?(?2，，02)，设直线A1B与平面PMN所成角为?．

????????n?BA1由sin??cos?n，BA1???????n?BA1(?2)?(1?1)?22??7，得??1．

47(1?1)2?(1)2?1?222?2????????所以BP?1BA1，所以BP?1BA1?2．

44223．（1）设S(x1，y1)，T(x2，y2)，A(?2，t)．

当y?0时，y?2x，则y??1，所以直线AT的方程为：y?y1?1(x?x1)．

x1xt)得t?y1?1(?2?x1)，所以x1t?x1y1??2?x1，又y1?2x1， 代入点(?2，x1所以1y1t?2x1??2?x1，得x1?1y1t?2?0，同理x2?1y2t?2?0，

2220)． 所以直线ST：x?1ty?2?0，所以直线ST过定点(2，2（2）因为直线ST过定点(2,0)，故设ST：x?my?2，

?x?my?2，由?2得y2?4my?8?0，所以y1?y2?4m，y1y2??8． ?y?4x设B(x0，y0)，因为BS?BT，所以BS?BT?0， 所以(x0?x1)(x0?x2)?(y0?y1)(y0?y2)?0，

即x02?(x1?x2)x0?x1x2?y02?(y1?y2)y0?y1y2?0， x1x2?1y12y22?4，x1?x2?m(y1?y2)?4?4m2?4，

16x0?(4m2?4)x0?y0?4my0?4?0．又y0?4x0，

所以x02?4m2x0?4my0?4?0，所以x02?m2y02?4my0?4?(my0?2)2， 所以x0?my0?2或?x0?my0?2．因为点B不在直线ST上，

2所以1y0?my0?2?0．因为??m2?2，

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所以当m≤?2或m≥2时，抛物线上存在点B； 当?2?m?2时，抛物线上不存在点B．

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