第9章 振动学基础答案

第9章 振动学基础

答案

5??9.4 一个运动质点的位置与时间的关系为 x?0.1cos???t??m , 其中x的单位是

3??2m , t的单位是s.试求：

（1）周期、角频率、频率、振幅和初相位； （2）t =2s 时质点的位移、速度和加速度.

解：（1）由题中质点位置与时间的关系便知，振幅A=0.1m，初相位???3，角频率

???rad/s，频率??52145??0.8s Hz，周期T?4f52dx15?dx5?????5（2）?????sin??t??；a?2???2cos??t?? dt43?83?dt?2?2则当t=2s时，质点的位移，速度和加速度分别为

????5x?0.1cos???2????0.1cos??0.05m；

3?3?21??1?3?5????sin???2????sin???0.68m/s

4?23?4385??5??5a???2cos???2????2cos?3.1m/s2

83?83?29.5 一个质量为2.5kg的物体，系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定.若弹簧受10N的拉力,其伸长量为5.0cm,求物体的振动周期.

f10解：由f?kx可得弹簧的经度系数为 k???2?102N/m ?2x5?10弹簧振子的周期 T?2?m2.5?2??0.70s 2k2?109.6 如图9.27图所示 ,求振动装置的振动频率,已知物体的质量为m,两个轻弹簧的劲度系数为k1和k2。

解：设物体离开平衡位置的位移是x，此时物体所受合力f??(k1?k2)x作为线性回复力，则有???x

k1?k2x?0 故??mk1?k21 ??m2?1

k1?k2 m9.7 如图9.28所示 , 求振动装置的振动频率,已知物体的质量为m,两个轻弹簧的径度系数为k1和k2。

图9.27 题9.6示图 图9.28 题9.7示图

解：设物体m离开平衡位置的位移为x，所受线性回复力为f 则有f??k1x1??k2x2（1）、（2）联立解之得 f?? （1）x1?x2?x(2)

kk1x??12

1/k1?1/k2k1?k2??所以有振动方程?x1k1k2k1k2()x?0，则 ??mk1?k2m(k1?k2),??12?k1k2

m(k1?k2)9.8 仿照式（9.15）的推导过程,导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式.

11?2 解：对于单摆系统中的物体m，其振动动能 Ek?m?2?ml2?22系统的势能（重力势能）Ep?mgh?mgl(1?cos?)?1?2 2mgl而系统的总能量 E?Ek?Ep?1?l02 2mg2?2所以1?1?2ml?2mgl2?1?02 2mgl?????2??2) ?2?g(?2??2)??2(?2??2) ?由此得：?000l9.9 与轻弹簧的一端相接的小球沿x轴作简谐振动,振幅为A,位移与时间的关系可以用余弦函数表示.若在t=0时,小球的运动状态分别为

（1）x = - A ；（2）过平衡位置,向x轴正向运动；（3）过x=A/2处,向x轴负向运动；（4）过x?A/2处,向x轴正向运动.试确定上述状态的初相位. 解：位移x与时间t的一般关系可表为 x?Acos(?t??)

（1）t=0时，x??A， 则有?A?Acos?， 即cos???1。则初相???

（2）t=0时，过平衡位置，向x轴正向运动，即 x?Acos??0，由此可知初相????/2.

2

dx??A?sin??0 dt（3）过x?A/2处，向x轴负向运动，即t=0时x?Adx，?0 2dt3??有Acos??A?cos??1 及 ?A?sin??0 由此得初相??

22（4）过x?A/2处，向x轴正向运动，即t=0，x?A，dx?0 dt2?A2 及

?有 Aco??A?sin??0.由此得初相???. s??co?s?2249.10 长度为l的弹簧,上端被固定,下端挂一重物后长度变为l+s,并仍在弹簧限度之内.若将重物向上托起,使弹簧缩回到原来的长度,然后放手,重物将做上下运动.

（1）证明重物的运动是简谐振动；（2）求简谐振动的振幅、角频率和频率； （3）若从放手时开始计时,求此振动的位移与时间的关系（向下为正）. 解：（1）以平衡位置为坐标原点，向下为x轴正向，则在位移为x处，重物所受之力为

F?mg?k(x?s) 在平衡位置x=0，F=0。则mg=ks。 所以F??kx，即合力为线性回复力，则重物的运动是简谐振动。

（2）简谐振动的振幅A=s.角频率 ??1k 频率

???/2??2?mk

m（3）设x?Acos(?t??) t=0时，x??s 则得???

?振动的位移与时间的关系为x?scos(kt??)

m9.11 一个物体放在一块水平木板上,此板在水平方向上以频率v作简谐振动.若物体与木板之间的静摩擦系数为?0 ,试求使物体随木板一起振动的最大振幅.

解：设简谐运动的位移与时间的关系为 x?Acos?(t??)

则加速度a?????A?2cos(?t??)，那么物体所受的最大力为Fm?mA?2?4?2A?2m x而这力要靠静摩擦力来充当。故有m4?2A?2??0mg 由此得物体随木版一起振动的最大振幅为Amax??0g 4?2?29.12 一个物体放在一块水平木板上,此板在竖直方向上以频率v作简谐振动.试求使物体随木板一起振动的最大振幅.

解：同题9.11，这里物体要做简谐振动，重力和支持力之和充当回复力，所以有：

m4?2A?2?mg?N.

3

当N刚要为0时，振幅达到最大。由此得Amax?g224??9.13 一个系统作简谐振动,周期为T,初相位为零.问在哪些时刻物体的动能与势能相等？ 解：由初相为零则简谐振动可表为 x?Acos(?t) 简谐振动的动能 Ek?

11112m?2?m?2A2sin?t，势能 Ep?kx2?m?2A2cos2?t 2222动能与势能相等，即Ek?Ep 那么?t???有sin2?t?cos2?t，动能和势能相等： t??4?n?2 (n?0,1,2,?)，由此得在下式表示的时刻

n?/2??/4??(2n?1)T/8

9.14 质量为10g的物体作简谐振动,其振幅为24cm,周期为1.0s,当t=0时,位移为+24cm,

求：（1） t =1/ 8 s 时物体的位置以及所受力的大小和方向；（2）由起始位置运动到x=12cm处所需要的最少时间；（3）在x=12cm处物体的速度、动能、势能和总能量。

解：A=24cm=0.24m，??2???2?/T?2?rad/s

由t=0时x=0.24m得初相??0. 所以简谐振动为 x?0.24co2s?t

（1）t?1/8s时，位移为 x?0.24cos2??1/8?0.24?2/2?0.17m

所受力f?m????0.01?(2?)2?0.24cos2?/8??6.7?10?2N. 负号代表方向与位移的方x向相反。

（2）由0.12?0.24cos2?t 得最少时间t?（3）在x?12cm处（即t?1/6s)

???2??0.24sin2?t??2??0.24sin?/3??1.31m/s物体的速度 ??x

11动能 Ek?m?2??0.01?(?1.31)2?8.6?10?3J

221s 6势能 Ep?121?11kx?m?2A2cos2??0.01?(2?)2?(0.24)2??2.8?10?3J 22324则总能量 E?Ek?Ep?(8.6?2.8)?10?3?1.14?10?2J

9.15 质量为0.10kg 的物体以2.0?10?2m 的振幅作简谐振动，其最大加速度为4.0ms?2,

求：(1) 振动周期；(2) 通过平衡位置的动能；(3) 总能量.

解：由题知，最大的加速度 amax??2A?4.0ms?2 由此得角频率为 ??

amax4.0??14.14rad/ s?2A2.0?104

（1）振动周期 T?1??2???2??0.45s 14.14（2）通过平衡位置的动能

1112Ek?m?max?m?2A2??0.1?200?(2.0?10?2)2?4.0?10?3J

2221m?2A2?4.0?10?3J 29.16一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动：x1?0.05cos?2t??/3?和 x2?0.06cos?2t?2?/3?（式中x的单位是m，t的单位是s）,求合振动的振幅和初相位.

解：????2??1??2?/3??/3??? cos????1

（3）总能量 E?则由合振动的振幅和初相公式得：

2A?A12?A2?2A1A2cos???A1?A2?0.05?0.06?0.01m

A1sin?1?A2sin?20.05sin?/3?0.06sin(?2?/3)2?

?arctan?arctan3??A1cos?1?A2cos?20.05cos?/3?0.06cos(?2?/3)39.17 有两个在同一直线上的简谐振动：x1?0.05cos?10t?3?/4?m和

（1）它们合振动的振幅和初相位各为多大？（2）若另有一简x2?0.06cos?10t??/4?m,试问：

??arctan谐振动 x3?0.07cos?10t???m ,分别与上两个振动叠加,φ为何值时, x1?x3 的振幅最大？φ为何值时, x2?x3的振幅最小？

解（1） A?2A12?A2?2A1A2cos(?2??1)?2A12?A2?2A1A2?A1?A2?0.01m

???2???/4

（2）若x1?x3振幅最大，则

???1???3?/4??2k?若x2?x3振幅最小，则

(k?o,1,2,?) ，??3?/4?2k?(k?0,1,2,?)

???2????/4??(2k?1)?，???(2k?1)???/4??2k??3?/4(k?0,1,2,?)

9.18 在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为0.04m和0.03m,当它们的合

振动振幅为0.06m时,两个分振动的相位差为多大？

2解：A2?A12?A2?2A1A2cos??

2A2?A12?A20.062?0.042?0.03200cos?????11/24，相位差 ???62.7?6242'.

2A1A22?0.04?0.039.19 一个质量为5.00kg的物体悬挂在弹簧下端让它在竖直方向上自由振动.在无阻尼的

情况下,其振动周期为T1??/3s；在阻尼振动的情况下,其振动周期为T2??/2s.求阻力系数.

5

解：当无阻尼时 T1?2??? 由此得?0?6rad/s

?03阻尼振动的周期为 T2?2?2?0??2??，由此可求得阻尼常量

??20?4.47rad?s?1

2阻力系数 ??2m??2?5.00?4.47?44.7kg/s

29.20 试证明受迫振动的共振频率和共振时振幅的峰值分别为?r??0?2?2 和

2Ar?h/(2??0??2) ,式中ω0是振动系统的固有角频率,β是阻尼常量.

证明：受迫振动的振幅 A?h(???')?4??'202222(1)

其中h?F/m，?'是策动力的角频率，?0是固有频率，共振频率就是使振幅A取极大

12?h?2(?0??'2)2?'?8?2?'dA值的策动力频率，由?0 得 2?0 3/222222d?'(?0??')?4??'????22由此可求得 ?'??0?2?2 ，即共振角频率 ?r??0?2?2 （2）

共振时对应的振幅值为

A?h(???)?4??2022r22r?h(????2?)?4?(??2?)2020222202?h2????202

9.21 容量为10微法的电容器充电至100伏，再通过100欧的电阻和0.4亨的电感串联放电。这时处于什么状态？若要使其处于临界状态，试求

（1）再应串或并一个多大的电阻；（2）再应串或并一个多大的电容；

解： ??R100??125rad/s，?0?2L2?0.41LC?10.4?10?10?6?500rad/s. 则

22?2??0?0 ，故为阻尼振荡状态.若要使其处于临界状态,则 ?2??0?0 2(1) 设串联电阻R'，由?2??0 得 ??R?R'??0?500 2L由此得 R'?2L?500?R?2?0.4?500?100?300?

2(2) 设并联电容C'，由?2??0 即 ?0?1L(c?c') ???125 6

由此得 C'?11?C??10?10?6?1.5?10?4F?150?F 22125L125?0.49.22 在LC串联振荡电路中，设开始时C上的电荷为Q，L中的电流为零，试求：

（1）L中的磁场能量第一次等于C中的电场所需要的时间t； （2）当L=20毫亨，C=2.0微法时，t的值。

解：(1) RLC电路中R=0的电路就是LC串联振荡电路.此时 ??0 ?0?1

LCduQcos?0t ， i(t)?Cc??Q?0sin?0t Cdt11电场能等于磁场能，即 Cuc2(t)?Li2(t)

22uc(t)?Ucos?0t?Q2Q222222由此得 cos?0t?LQ?0sin?0t?sin2?0t，即tan?0t?1

CC则磁场能第一次等于电场能的时间t满足 ?0t??/4，即 t????LC

4?04（2）当L?20mH?2.0?10?2H， C?2.0?F?2.0?10?6F 时

t??42.0?10?2?2.0?10?6??2?10?4?1.57?10?4s

9.23 已知串联共振电路的电容是240皮法，共振频率是460千赫芝，求该共振电路的电感。

解：由串联共振频率 ?0?1 得

LC111L?2?22?2?4.99?10?4H 32?12?0C4??0C4??(460?10)?240?109.24 串联共振电路的电容是C =320皮法，在共振频率f=640千赫芝时电路的有功电阻为r=20.0欧姆，问电路的品质因数Q为多大？

111解：品质因数 Q????38.9 ?0Cr2?f0Cr2??640?103?320?10?12?20.09.25 串联共振电路中L=120毫亨，C=30.3皮法，R=10.0欧姆，求 （1）共振频率f0；（2）电路的Q值。 解：（1）f0?12?（2） Q?111??8.35?104Hz LC2?120?10?3?30.3?10?1211??6.29?103 4?122?f0CR2??8.35?10?30.3?10?10 7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lrjw.html