修订线性代数作业答案

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第一章

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

行列式

abc（1）bca?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc

cab?3abc?a3?b3?c3

111（2）abc?bc2?ca2?ab2?ac2?ba2?cb2

a2b2c2?(a?b)(b?c)(c?a)

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）2 4 1 3；

（2）1 3 … (2n?1) 2 4 … (2n)；

（3）1 3 … (2n?1) (2n) (2n?2) … 2.

解（1）逆序数为3. （2）逆序数为

n(n?1).（3）逆序数为n(n?1). 23.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为

(?1)ta1p1a2p2a3p3a4p4，其中t为p1p2p3p4的逆序数．由于p1?1,p2?3

已固定，

p1p2p3p4只能形如13□□，即1324或1342.对应的t分别为

0?0?1?0?1或0?0?0?2?2

??a11a23a32a44和a11a23a34a42为所求.

1

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4.计算下列各行列式： 解

21412140(1)

3?121c4?c23?12212321230 5062506221402140r4?r23?122r4?r13?1221230 1230=0 21400000?abacae?bce(2)bd?cdde=adfb?ce

bfcf?efbc?e?111=adfbce1?11=4abcdef

11?1a10001?aba0(3)

?1b10r1?ar2?1b100?1c10?1c1 00?1d00?1d1?aba0=(?1)(?1)2?1?1c1 c1?aba3?dc2?1c0?1d0?1 ad1?cd

02

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=(?1)(?1) 5、证明： (1)

3?21?abad=abcd?ab?cd?ad?1

?11?cdxay?bzaz?bxyay?bzaz?bx按第一列左边ayaz?bxax?by ?bzaz?bxax?by

分开zax?byay?bzxax?byay?bzxay?bzzyzaz?bx分别再分2ayaz?bxx?0?0?bzxax?by

zax?byyxyay?bzxyzyzx分别再分3ayzx?b3zxy

zxyxyzxyzxyz?a3yzx?b3yzx(?1)2?右边

zxyzxya2a2?(2a?1)b2b2?(2b?1) (2) 左边?c2c2?(2c?1)d2d2?(2d?1)(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2 2(c?3)(d?3)2 3

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a22a?14a?46a?9c2?c1b22b?14b?46b?9c3?c1c22c?14c?46c?9

c4?c1d22d?14d?46d?9a2a4a?46a?9按第二列b2b4b?46b?9分成二项2c2c4c?46c?9d2d4d?46d?9a214a?46a?9b2?14b?46b?9c214c?46c?9

d214d?46d?9第一项c3?4c2a2a49a214ac4?6c2b2b49b214b第二项c3?4c2c2c49?c214cc4?9c2d2d49d214d1000 (3) 左边?ab?ac?ad?aa2b2?a2c2?a2d2?a2

a4b4?a4c4?a4d4?a4b?ac?ad?a=b2?a2c2?a2d2?a2b2(b2?a2)c2(c2?a2)d2(d2?a2)6a6b6c?06d4

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111=(b?a)(c?a)(d?a)b?ac?ad?a

b2(b?a)c2(c?a)d2(d?a)=(b?a)(c?a)(d?a)?

100b?ac?bd?b b2(b?a)c2(c?a)?b2(b?a)d2(d?a)?b2(b?a)=(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)?

11(c2?bc?b2)?a(c?b)(d2?bd?b2)?a(d?b) =(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d) (4) 用数学归纳法证明

当n?2时,Dx?12?ax?a?x2?a1x?a2,命题成立.

21假设对于(n?1)阶行列式命题成立，即 Dn?1?xn?1?a?21xn???an?2x?an?1,

则Dn按第1列展开:

?10?00D?an?1x?100n?xDn?1n(?1)??????11?x?1?xDn?1?an?右边

所以，对于n阶行列式命题成立.

5

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