函数极限与连续习题加答案

第一章 函数、极限与连续

第一讲：函数

一、是非题

1．y? （ ） x2与y?x相同；

2.y?(2x?2?x)ln(x?1?x2)是奇函数； （ 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ 4. y?x2(x?0)是偶函数； （ 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ 6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ 7.复合函数f[g(x)]的定义域即g(x)的定义域； （ 8.y?f(x)在(a,b)内处处有定义，则f(x)在(a,b)内一定有界。 （ 二、填空题

1.函数y?f(x)与其反函数y??(x)的图形关于 对称；

2.若f(x)的定义域是[0,1]，则f(x2?1)的定义域是 ；

3.y?2x2x?1的反函数是 ；

4.f(x)?x?1，?(x)?11?x2，则f[?(x)?1]＝ ， ?[f(x)?1]＝ ；

5.y?log2(sinx?2)是由简单函数 和 复合而成；

6.f(x)?x2?1，?(x)?sin2x，则f(0)＝ ，f(1a)?___________， f[?(x)]?_________。_ _三、选择题

1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ）

） ） ） ）

） ） ）

A、sinx B、x?1 C、x?x D、x?x

2.设f(x)?4x2?bx?5，若f(x?1)?f(x)?8x?3，则b应为（ ）

A、1 B、－1 C、2 D、－2 3.f(x)?sin(x2?x)是（ ）

A、有界函数 B、周期函数 C、奇函数 D、偶函数 四、计算下列各题

1.求定义域y?33333?x?arcsin3?2x 5

2.求下列函数的定义域 (1)y?

(3)y?lg(x?2)?1 (4)y?lgsinx

2x 3.设f(x)?x，g(x)?e，求f[g(x)],g[f(x)],f[f(x)],g[g(x)]；

x2?4x?3 (2)y?4?x2?1x?1

4.判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)?x?3 (2)f(x)?()

(3) f(x)?lg45x1?x (4)f(x)?xsinx 1?x

5.写出下列函数的复合过程

3 (1)y?sin3(8x?5) (2)y?tan(x2?5)

(3)y?2

1?x2 (4)y?lg(3?x)

?x,x?1,116.设?(x)??求?()，?(?)，?(?2)，并作出函数y??(x)的图形。

52?0,x?1.

第二讲：极限概念

一、是非题

1.在数列?an?中任意去掉或增加有限项，不影响?an?的极限； （ ） 2.若数列?anbn?的极限存在，则?an?的极限必存在； （ ） 3.若数列?xn?和?yn?都发散，则数列?xn?yn?也发散； （ ） 4.若limn??(un?vn)?0，则必有limn??un?0或limn??vn?0。 （ 5.若limx?xf(x)?A，则f(x0)?A； （ 06.已知f(x0)不存在，但limx?xf(x)有可能存在； （ 07.若f(x??0)与f(x0)都存在，则limx?xf(x)必存在； （ ）

08.limarctanx??x??2； （ 9. limexx????0； （ 10.非常小的数是无穷小； （ 11.零是无穷小； （ 12.无限变小的变量称为无穷小； （ 13.无限个无穷小的和还是无穷小。 （ 二、填空题

sinn?1. lim(____；2. lim2n??n?1?n)?__________n??n?______________； 3. limn??[4?(?1)nn2]?______________； 4. lim1n??3n?______________； 5.lim(2x?1)?______________； 6. lim1x?1x??1?x2?______________；

7. limx?0cosx?___________，limx??cosx?___________；

8.设f(x)???ex,x?0???b,x?0，则f(0)?_________,f(0)?_________，

?ax）

）

）

）

）

） ） ） ） 当b?_____时，limf(x)?1。

x?09.设y?1，当x?____时，y是无穷小量，当x?____时，y是无穷大量； x?110.设?(x)是无穷小量，E(x)是有界变量，则?(x)E(x)为 ； 11. limf(x)?A的充分必要条件是当x?x0时，f(x)?A为 ；

x?x0 12.limxsinx?011?_____________ ；limxsin?_____________。

x??xx三、选择题

1.已知下列四数列：

①、xn?2；②、xn?22n?1n?13n?1；③、xn?(?1)；④、xn?(?1) 3n?13n?13n?1 则其中收敛的数列为（ ）

A、① B、①② C、①④ D、①②③ 2.已知下列四数列：

①、1,?1,1,?1,?,(?1)n?1,? ②、0,③、

1111,0,2,0,3,?,0,n,? 222213141n?2,,,,?,,,? ④、1,2,?,n,? 2233n?1n?1则其中发散的数列为（ ）

A、① B、①④ C、①③④ D、②④

?1n为奇数?,3.xn??n，则必有（ ）

?7n为偶数??10,?7 A、limxn?0 B、limxn?10

n??n???0,n为奇数 C、limxn??－7 D、limxn不存在

n??n???10，n为偶数4.从limf(x)?1不能推出（ ）

x?x0?f(x)?1 A、lim B、f(x)＝1 0－x?x0【f(x)－1】?0 C、f(x0)＝1 D、limx?x0

5.设 f(x)???x?1,x?0，则limf(x)的值为（ ）

x?0x?0?2, A、0 B、1 C、2 D、不存在

6. 当x?1时，下列变量中是无穷小的是（ ） A、x?1 B、sinx C、e D、ln(x?1) 7.下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷大的是（ ） A、

3xx2x?13(x???) B、lnx(x???)

1nxcos(x??) x2 C、lnx(x?0?) D、

x?x0x?x08.若limf(x)??，limg(x)??，则下列极限成立的是（ ） A、lim[f(x)?g(x)]?? B、lim[f(x)?g(x)]?0

x?x0x?x0 C、limx?x01?? D、limf(x)g(x)??

x?x0f(x)?g(x)9.以下命题正确的是（ ） A、无界变量一定是无穷大 B、无穷大一定是无界变量

C、趋于正无穷大的变量一定在充分大时单调增 D、不趋于无穷大的变量必有界 10. lime（ ）

x?0

1x

A、等于0 B、等于?? C、等于1 D、不存在 11.下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是（ ）；

1x B、lim1?x A、limx?11?sinxx?0sinxx?sinx? C、lim D、limx(?arctanx)

x??xsinxx???2x2sin四、设f(x)?x2，回答下列问题：1.函数f(x)在x?0处的左、右极限是否存在？2.函x数f(x)在x?0处是否有极限？为什么？3.函数f(x)在x?1处是否有极限？为什么？

五、下列各题中，指出哪些是无穷小？哪些是无穷大？

1.

3.lnx(x?0)； 4.e(x?0)

六、当x???时，下列哪个无穷小与无穷小

价无穷小？哪个无穷小是比无穷小

1x1?x3x?1(x??)(x?0)； ； 2.

xx211是同阶无穷小？哪个无穷小与无穷小是等xx1高阶的无穷小？ x 1.

111， 2. 2， 3. 2xxx

第三讲：极限的求法

一、是非题

1.在某过程中，若f(x)有极限，g(x)无极限，则f(x)?g(x)无极限； （ ） 2.在某过程中，若f(x)，g(x)均无极限，则f(x)?g(x)无极限； （ ） 3.在某过程中，若f(x)有极限，g(x)无极限，则f(x)g(x)无极限； （ ） 4.在某过程中，若f(x)，g(x)均无极限，则f(x)g(x)无极限； 5.若limf(x)x?xf(x)?A，limg(x)?0，则lim0x?x0x?g(x)必不存在； x06. lim1?2?3???nn??n2?lim1n??n2?lim2n??n2???limnn??n2?0； 7. limx?0xsin1x?limx?0x?limx?0sin1x?0； 8.lim(x2?3x)?limx2x??x???3limx??x?????0； 9.limsinxx??x?1； 10.limx??(1?1x)x?e. 二、计算下列极限

1.lim3x?1x??1x?1 ； 2. limx2?12x?12x2?x?1 ；

3.lim2x2?x?1x??3x2?1 ； 4. lim2xx??1?x2 ；

）

） ）

）

）

）

） （ （ （ （ （ （ （13x3?2x2lim(?) ； 5.lim ； 6.

23x?2(x?2)

7.lim(x2x???x?1?x2?x?1) ；

9. lim(2x?1)300(3x?2)200x??(2x?1)500 ；

11. limsinx?3xx?0tanx?2x ；

x?11?x1?x 8.lim1?2?3???(n?1)n??n2 ；10. 2xxlimsinx1???1?x2arctanx ； 2 12. limx?0(1?3x)x ；

13.lim2sinn??nx11(x?0)lim(xsin?sinx) ； ； 14.nx?0xx2

15.limtanx?sinxx?1xlim() ； ； 16.3x?0x

三、求函数的极限

lim(4x2?3)3(3x?2)4（1）x??(6x2?7)5；

tan23（3）limx x?0xsin2x；

1（5）limx?0(1?2xx1?x)；

x??x?22x?cosx （2）limx??x?sinx；

（4）limsin5xcot3x x??；

1?5x?1 （6）lim?3xx?ox2?2x

四、求数列的极限：

?1?n2lim?n????n （1）

（3）n????n?1??3limn??1????n???n?1?； ? ； （2）

nlimn(e?e)anbn，其中a,b为正的常数。 （4）x??limarcsin1arctanxx。

五、用洛必达法则求下列函数的极限

sin3xx3?3x?2lim１．lim3 ； ２．； x?0tan5xx?1x?x2?x?1

1ln(1?)x ； ４．lim(x?1)； ３．limx?1x?1x??arccotxlnx

5.limx(e?1)； 6.lim(lnx)；

1x1xx??

7.limsin3xx??tan3x； ９．limsinx?sinax?ax?a；

11.x2?1xlim???xlnx；

x???８．limx2?3x?2x?1x3?1； 10.lnxxlim???x2；

12.xlim?0?xnlnx(n?0)；

m； 14.lim(tanx)sinx； 13.lix11?xx?1

15. limtanx?xx?0x?sinx ； 17.limsinx?ex?1x?01?1?x2 ；

19.lim(lnx?1x?1x)；

lim2x?3x21. x?0sinx ；

x?0? 16. limln(1?3x2)；

x??ln(3?x4)18. limx?0xcot2x；

120. limx?0(sinx2?cos2x)x； 22. xlimex?sinx???ex?cosx。

六、求a,b之值使x???

lim(5x?ax2?bx?1)?2

x2?ax?b?1，求常数a与b的值。 七、已知limx?11?x

八、已知lim(x??xx)?2，求c。 x?c

九、证明：当x?0时，tan2x～2x，1?cosx～

12x。 2

第四讲： 函数的连续性

一、是非题

1.若f(x)，g(x)在点x0处均不连续，则f(x)?g(x)在点x0处亦不连续； （ ） 2.若f(x)在点x0处连续，则f(x)g(x)在点x0处必不连续；（ ） g(x)在点x0处不连续， 3. 若f(x)与g(x)在点x0处均不连续，则f(x)g(x)在点x0处亦不连续； （ ） 4.y?x在x?0处不连续； （ ） 5.f(x)在x0处连续当且仅当f(x)在x0处既左连续又右连续； （ ） 6.设y?f(x)在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内必有界； （ ） 7.设y?f(x)在[a,b]上连续，且无零点，则f(x)在[a,b]上恒为正或恒为负； （ ） 8.tan?4?tan?3?3???1?0，所以tanx?0在(,)内有根。 （ ）

444sinx的 类 型间断点； xx?1x二、填空题 1.x?0是函数

2.x?0是函数e3.设f(x)?的 类 型间断点；

1ln(1?x)，若定义f(0)?_________，则f(x)在x?0处连续； x?tanaxx?0?,4.若函数f(x)??x在x?0处连续，则a等于 ；

x?0??2, 5.f(x)?1的连续区间是 ；

ln(x?1) 6.arctanx在[0,??)上的最大值为 ，最小值为 ；

2 7.函数y?x?x?2，当x?1,?x?0.5时，?y?________；当x?1,?x??0.5时，

。 ?y?________三、选择题 1.函数f(x)?sinxe?在(??,??)内间断点的个数为（ ）； x1?x1x A、0 B、1 C、2 D、3

2.f(a?0)?f(a?0)是函数f(x)在x?a处连续的（ ）；

A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 3.方程x?3x?1?0在区间(0,1)内（ ）

A、无实根 B、有唯一实根 C、有两个实根 D、有三个实根

3?1?xsinx,x?0,?四、设函数f(x)?? x?0,要使f(x)连续，常数a,b各应取何值？ a,1?xsin?b,x?0.?x?

五、指出下列函数的间断点，并指明是哪一类型间断点。

11.f(x)?2 ； 2.f(x)?ex

x?1

1x,??3.f(x)??11?,x??1,?x?1x?1? ； 4.f(x)?? ?1?x?1, x,??2,x?1

六、求下列极限

1.limln(exx?1?x) ；

3.limloga(1?3x)x?0x ；

???(x?1)sin1x?1,x?1.2.lim2x?1?3x?4x?2?2 ；

1x4. xlim2?1?0?1 。 2x?1 x七、证明方程4x?2?0在(0,)内至少有一个实根。

12

?x2?1,0?x?11八、设f(x)??，试判定f(x)在x?,x?1,x?2处的连续性，并求出

2?x?1,x?1连续区间。

第一章： 单元测试题

一、填空题 1.设f(x)???x?1,x?2，则f(x?1)的定义域为 ；

?1,2?x?3 2.函数f(x)? 3.lim(xsinx?02x?ln(3?x)在 连续；

1sin3x?)?________________；

xx2 4.lim(1?x??kx)?______________； xx?1 5.设f(x)在x?1处连续，且f(1)?3，则limf(x)( 6. x?0是函数f(x)?xsin12?2)?__________； x?1x?11的 间断点； xx2?x 7.f(x)?的间断点是 ，其中可去间断点是 2x(x?1) ，跳跃间断点是 。

二、选择题

1.y?x?1,x?(??,0]的反函数是（ ）； A、y?2x?1,x?[1,??) B、y??x?1,x?[0,??)

x?1,x?[1,??)

C、y??x?1,x?[1,??) D、y?2.当x??时，下列函数中有极限的是（ ）； A、sinx B、

1x?1 C、 D、arctanx exx2?10,??x?0 3. f(x)??1在点x?0不连续是因为（ ）；

,x?0??x A、f(0?0)不存在 B、f(0?0)不存在 C、f(0?0)?f(0) D、f(0?0)?f(0)

4.设f(x)?x?arccot21，则x?1是f(x)的（ ）； x?1 A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、无穷间断点 D、连续点 5.设f(x)???cosx?1,x?0，则k?0是limf(x)存在的（ ）；

x?0x?0?k, A、充分但非必要条件 B、必要但非充分条件

C、充分必要条件 D、无关条件

6.当x?x0时，?和?(?0)都是无穷小。当x?x0时，下列变量中可能不是无穷小的是（ ）；

A、??? B、??? C、??? D、

2? ?11与k是等价无穷小，则k?（ ）； nn1 A、2 B、 C、1 D、3

28.当x?0时，下列函数中为x的高阶无穷小的是（ ）；

7.当n??时，若sin2 A、1?cosx B、x?x C、sinx D、x

9.当n??时，nsin1是（ ）； n A、无穷大量 B、无穷小量 C、无界变量 D、有界变量 10.方程x?px?1?0(p?0)的实根个数是（ ）； A、一个 B、二个 C、三个 D、零个

211.当x?0时，(1?cosx)是sinx的（ ）；

23 A、高阶无穷小 B、同阶无穷小，但不等价 C、低阶无穷小 D、等价无穷小

(x?1)95(ax?1)512.设lim； ?8，则a的值为（ ）250x??(x?1) A、1 B、2 C、58 D、A、B、C均不对 三、求下列函数的极限

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