数学期望与方差的运算性质

数学期望与方差的运算性质

教程

一：复习公式

离散随机变量(),(,)(,)(,)(,)i j ij i j ij i j

P X Y a b p Eh X Y h a b p ==→=∑

连续随机变量()()()2

,~,(,)(,),R f x y Eg g x y f x y dxdy ξηξη→=??

二：期望运算性质

()E aX bY c aEX bEY c ++=++

应用例题、袋中装有m 个不同色小球，有返回取球n 次，出现X 种不同颜色，求EX 解答：用i X ?=??

１第ｉ颜色球在n次取球中出现０第ｉ颜色球在n次取球中没出现，则 m X X X ++= 1

由于()()1101,111,n n

i i P X P X m m ????==-==-- ? ????? ()111/n

i EX m =--，

()??????????? ??--==++=∑=n m i i m m m EX X X E EX 11111

三、协方差：若,EX EY θμ==，()()cov(,)X Y E X Y θμ=--????称为随机变量X 、Y 的协方差.covariance

()()cov(,)X Y E X Y θμ=--????

()()()()()

()()()()()()EY

EX XY E XY E XY E Y E X E XY E E Y E X E XY E Y X XY E ?-=-=+--=+--=+-+-+=+--=θμθμθμμθθμ

θμθμθμθμθμ 例题：害虫一生产卵个数X 服从参数为λ的Ｐｏｉｓｓｏｎ分布，若每个卵能孵化成下一代的概率都是p ，假定害虫后代个数为Y ，求cov(,)X Y 解答：(,)()()(1)!i

i j j j i j i e P X i Y j P X i P Y j X i C p p i λλ-≥-=======-

!(1)(1)!!()!!()!

i i

j i j j i j e i e p p p p i j i j j i j λλλλ----=-=--- 000(,)(1)!()!i

i

j i j

i j i i j e EXY ijP X i Y j ij p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑

000(,)(1)!()!i

i

j i j i j i i j e EX iP X i Y j i p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑

000(,)(1)!()!i

i

j i j i j i i j e EY jP X i Y j j p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑ clear

clc

syms i j p lamda positive

EXY=symsum(symsum(i*j*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)

EX=symsum(symsum(i*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)

EY=symsum(symsum(j*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)

cov=simple(EXY-EX*EY);

cov

EXY =

p*lamda*(lamda+1)

EX =

lamda

EY =

lamda*p

cov =

lamda*p

可以看到，协方差不为０

例题：P180 3.4.8

()[0,1][0,2],~(,)1/3()(,)f x y x y I x y ξη?=+，求(238)Var X Y -+ syms x y positive

moment1=int(int((2*x-3*y+8)*1/3*(x+y),x,0,1),y,0,2);

moment2=int(int((2*x-3*y+8)^2*1/3*(x+y),x,0,1),y,0,2);

Var=moment2-moment1^2

Var =

245/81

协方差计算公式

()()()(),cov(,)EX a EY b X Y E X EX E Y EY E X a E Y b ===--=-- ()()()()E XY aY bX ab E XY aE Y bE X ab =--+=--+

()E XY ab ba ab =--+

()()()E XY E X E Y =-

注： Ｙ＝Ｘ时得到什么公式？

例题：若随机变量,X Y 独立，求它们的协方差

解答：,EX EY θμ==，因为,X Y 独立，所以X Y θμ--、也相互独立 ()()()()cov(,)0X Y E X Y E X E Y θμθμ=--=-?-=????

注：相互独立随机变量协方差为０的逆命题不成立，如，假定随机变量~(1,1)X U -，则显然2cov(,)0X X =，但是2X X 、不独立

四、协方差和方差性质

１：协方差是方差推广，方差是特殊协方差

cov(,)()X X Var X =，cov(,)0X c =，cov(,)cov(,)X Y Y X = 1111cov(,)cov(,)m n m n

i i j j i j i j i j i j c X d Y c d X Y =====∑∑∑∑ 特殊地

11111()cov(,)cov(,)m m m m m i i i i j i i i i j Var X X X X X =======∑∑∑∑∑

111cov(,)cov(,)cov(,)m m m i j i j i i i j i j i X X X X X X ===≠??==+????

∑∑∑∑

1cov(,)()m

i j i i j i X X Var X =≠??=+????∑∑

11cov(,)()m m i j i i i j i X X Var X ==≠??=+????

∑∑∑

12cov(,)()m

i j i i j i X X Var X =>=+∑∑

特别地

121212()()()2cov(,)Var X X Var X Var X X X +=++

121212112212()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X X X X X X -=--=-+-- 11122122cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)X X X X X X X X =+-+-+-- 11122122cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)X X X X X X X X =+-+-+-- 1122122()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X =----

1121222()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X =--+

1212()()2cov(,)Var X Var X X X =+-

这个结论说明，一般，和的方差并不等于方差之和

定理：若随机变量1,

,n X X 相互独立，则111()2cov(,)()()n

n n i i j i i i i i j i Var X X X Var X Var X ===>=+=∑∑∑∑

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