复变函数论第三版课后习题答案

第一章习题解答

（一）

1

．设z，求z及Arcz。

解：由于z e 3i

所以z 1，Arcz 2k ,k 0, 1, 。

3

2

．设z1z2 1，试用指数形式表示z1z2及z1。

z2

ii e4,z2 i 2e6 解：由于z1

4

所以z1z2 e2e

i

i

i6

2e

( )i46

12

2e

i

5 )iiz1e41( 14612

e e。

iz2222e6

3．解二项方程z4 a4 0,(a 0)。

解：z (ae) ae

2

2

1

4 i4

2k

4

i

,k 0,1,2,3。

4．证明z1 z2 z1 z2证明：由于z1 z2 z1 z2

2

2(z1 z2)2，并说明其几何意义。

2

2

z1 z2 2Re(z1z2)

2

2

2

z1 z2 2Re(z1z2)

2

所以z1 z2 z1 z2

2

2(z1 z2)2

其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z1，z2，z3三点适合条件：接于单位圆

z1 z2 z3 0,z1 z2 z3 1。证明z1，z2，z3是内

z 1

的一个正三角形的顶点。

，知

z

证 由于1

z2 z3 1

3

z1z2z3的三个顶点均在单位圆上。

因为

1 z3 z33

z1 z2 1 2 z11 z22 z32 1z2

2 z12 1z2

z所以， 12

又

1z2 1，

2

z1 z2 (z1 z2)(1 2) z11 z22 (z12 z21)

2 z12 1z2 3

z故 1

同理

z2 3

，

z1 z3 z2 z3 ，知 z1z2z3是内接于单位圆z 1的一个正三角形。

6．下列关系表示点z的轨迹的图形是什么？它是不是区域。 （1） z z1 z z2,(z1 z2)； 解：点

z的轨迹是z与z

1

2

两点连线的中垂线，不是区域。

（2）z z 4； 解：令z x yi

由x yi (x 4) yi，即x2 y2 (x 4)2 y2，得x 2 故点

z的轨迹是以直线x 2为边界的左半平面（包括直线x 2）；不是区域。

z 1

1 z 1

解：令z x yi，

（3）

由z z ，得(x 1)2 (x 1)2，即x 0； 故点

z的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。

4

,且2 Rez 3；

（4）0 arg(z 1) 解：令z x yi

y

0 y x 1 0 arg(z 1) 0 arg

由 4，得 x 14，即

2 x 3 2 x 3 2 Rez 3

故点

z的轨迹是以直线x 2,x 3,y 0,y x 1为边界的梯形（包括直线x 2,x 3；

不包括直线y 0,y x 1）；不是区域。 （5）z 2,且z-3 1； 解：点

z的轨迹是以原点为心，2为半径，及以z 3为心，以1为半径的两闭圆外部，

是区域。

（6）Imz 1,且z 2； 解：点

z的轨迹是位于直线Imz 1的上方（不包括直线Imz 1），且在以原点

为心，2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）；是区域。

（7）z 2,且0 argz

4

；

解：点

z的轨迹是以正实轴、射线argz 及圆弧z 1为边界的扇形（不包括边界），

4

i131 ,且z i 2222

是区域。 （8）z

解：令z x yi

i11 2

z x (y ) 22 2由 ，得

x2 (y 3) z 3i 1

222

故点

1

4 14

z的轨迹是两个闭圆x

2

1131

(y ) ,x2 (y ) 的外部，是区域。

2424

7．证明：z平面上的直线方程可以写成 z C（a是非零复常数，C是实常数） 证 设直角坐标系的平面方程为

Ax By C将

11

x Rez (z z),y Imz (z z)代入，得

22i

11

(A iB)z (A iB) C22

a

11

(A iB) (A iB)22，则，上式即为 z C。

令

反之：将z x yi,z x yi，代入 z C 得(a a)x (ia ia)y c 则有

Ax By C；即为一般直线方程。

8．证明：

z平面上的圆周可以写成

2

Azz z z c 0.

其中A、C为实数，A 0, 为复数，且 证明：设圆方程为

AC。

A(x2 y2) Bx Dy C 0

其中A 0,当B D 4AC时表实圆；

2

2

11

x y zz,x (z z),y (z z)代入，得 将

22i

2

2

11

Azz (B Di)z (B Di)z c 0

22

即Azz z z c 0. 其中 且

2

11

(B Di), (B Di) 22

121

(B D2) 4AC AC； 44

( AC)

2

反之：令z x yi, a bi代入Azz z z c 0得A(x2 y2) Bx Dy C 0,其中B 2a,B 2b 即为圆方程。

10．求下列方程（t是实参数）给出的曲线。 （1）

z (1 i)t； （2）z acost ibsint；

z t

（3）

ii

z t2 2

t； （4）t，

x tz x iy (1 i)t , t

y t 解（1）。即直线y x。

x acost

z x iy acost ibsint ,

y bsint （2）

0 t 2

x2y2

1ab，即为椭圆；

t i x 1

z x iy t

y t t，即为双曲线xy 1； （3）

2 x ti

1z x iy t2 2 y t2 t （4），即为双曲线xy 1中位于第一象限中的一支。

11．函数

w

1

z将z平面上的下列曲线变成w平面上的什么曲线 z x iy,w u iv ？

2

（1）y x； （2） x 1 y 1

2

w

解

x y11xyu ,v 2 i

x2 y2x2 y2zx iyx y2x2 y2，，可得

u

（1）

xy y v

x2 y2x2 y2x2 y2

是w平面上一直线；

x 1 2 y2 1 x2 y2 2x

（2）

于是

x1

x2 y22，

u

1

2，是w平面上一平行与v轴的直线。

13．试证argz( argz )在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续。

证 设f(z) argz，因为f(0)无定义，所以f(z)在原点z=0处不连续。 当z0为负实轴上的点时，即z0 x0(x0 0)，有

y

arctan xlim x0 x y 0

limargz

yz z0 lim arctan

x x0 x y 0

所以z z0显然。

limargz

不存在，即argz在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处的连续性

14． 设

xy 3 , f z 2 y 6 z 0x

0 , z 0

求证f z 在原点处不连接。 证 由于

x4x2

limf z lim2 lim 0z 0x 0x x6x 01 x4y x

y61

limf z lim6 z 0y 0y y623

x y

可知极限z 0

limf z

不存在，故f z 在原点处不连接。

16. 试问函数f(z) = 1/(1 – z )在单位圆| z | < 1内是否连续？是否一致连续？ 【解】(1) f(z)在单位圆| z | < 1内连续．

因为z在 内连续，故f(z) = 1/(1 – z )在 \{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆| z | < 1内连续．

(2) f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．

令zn = 1 – 1/n，wn = 1 – 1/(n + 1)，n +． 则zn, wn都在单位圆| z | < 1内，| zn wn | 0，

但| f(zn) f(wn) | = | n (n + 1) | = 1 > 0，故 f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续． [也可以直接用实函数f(x) = 1/(1 – x )在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E = { z | Im(z) = 0, 0 < Re(z) < 1 }上的限制即可．]

17. 试证：复数列zn = xn + i yn以z0 = x0 + i y0为极限的充要条件是实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限．

【解】( ) 若复数列zn = xn + i yn以z0 = x0 + i y0为极限， 则 > 0， N +，使得 n > N，有| zn z0 | < ． 此时有| xn x0 | | zn z0 | < ；| yn y0 | | zn z0 | < ． 故实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限．

( ) 若实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限，则 > 0，

N1 +，使得 n > N1，有| xn x0 | < /2； N2 +，使得 n > N2，有| yn y0 | < /2．

令N = max{N1, N2}，则 n > N，有n > N1且n > N2，

故有| zn z0 | = | (xn x0) + i (yn y0) | | xn x0 | + | yn y0 | < /2 + /2 = ． 所以，复数列zn = xn + i yn以z0 = x0 + i y0为极限．

20. 如果复数列{zn}合于lim n zn = z0 ，证明lim n (z1 + z2 + ... + zn)/n = z0． 当z0 时，结论是否正确？

【解】(1) > 0， K +，使得 n > K，有| zn z0 | < /2． 记M = | z1 z0 | + ... + | zK z0 |，则当n > K时，有

| (z1 + z2 + ... + zn)/n z0 | = | (z1 z0) + (z2 z0) + ... + (zn z0) |/n ( | z1 z0 | + | z2 z0 | + ... + | zn z0 |)/n

= ( | z1 z0 | + ... + | zK z0 |)/n + ( | zK +1 z0 | + ... + | zn z0 |)/n M/n + (n K)/n · ( /2) M/n + /2． 因lim n (M/n) = 0，故 L +，使得 n > L，有M/n < /2． 令N = max{K, L}，则当n > K时，有

| (z1 + z2 + ... + zn)/n z0 | M/n + /2 < /2 + /2 = ． 所以，lim n (z1 + z2 + ... + zn)/n = z0．

(2) 当z0 时，结论不成立．这可由下面的反例看出．

例：zn = ( 1)n · n，n +．显然lim n zn = ． 但 k +，有(z1 + z2 + ... + z2k)/(2k) = 1/2， 因此数列{(z1 + z2 + ... + zn)/n}不趋向于 ．

[这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的．] 2．如果z e，试证明

it

11n

z 2isinntz n 2cosntn

zz（1）； （2）

n

解 （1）

zn

1

eint e int eint eint 2sinntnz

（2）

zn

1int intintint

e e e e 2isinntnz

4．设z x iy，试证

x y2

z x y

。

证 由于

z x2 y2

2

2

x y 2xy x y

22

z x y

及

2x2 y2

2

x2 y2 2xy

2

x y2

x y

有

2

z x y

6. 设| z | = 1，试证：| (a z + b)/(b* z + a* ) | = 1．(z*表示复数z的共轭) 【解】此题应该要求b* z + a* 0．

| a z + b | = | (a z + b)* | = | a* z* + b* | = | a* z* + b* | · | z | = | (a* z* + b*) · z | = | a* z* · z + b* · z | = | a* | z |2 + b* · z | = | b* z + a* |． 故| (a z + b)/(b* z + a* ) | = 1．

8. 试证：以z1, z2, z3为顶点的三角形和以w1, w2, w3为顶点的三角形同向相似的充要条件为

z1z2z3

w11w21= 0． w31

【解】两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的)旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形(注意没有反射变换)．例如

z'z3

1

2

我们将采用下述的观点来证明：

以z1, z2, z3为顶点的三角形和以w1, w2, w3为顶点的三角形同向相似的充要条件是：将它们的一对对应顶点都平移到原点后，它们只相差一个位似旋转．

记f1(z) = z z1 (将z1变到0的平移)；f3(z) = z w1 (将0变到w1的平移)； 那么，三角形z1z2z3与三角形w1w2w3同向相似 存在某个绕原点的旋转位似变换f2(z) = z0 z， 使得f2 ( f1(zk)) = f3(wk)，(k = 2, 3)，其中z0 \{0}

存在z0 \{0}，使得z0(zk z1) = wk w1，(k = 2, 3) (w2 w1)/(z2 z1) = (w3 w1)/(z3 z1)

z2 z1w2 w1z3 z1

0z2 z1z3 z1z1

w3 w1

= 0

1

w2 w11= 0 w3 w11

w11

w21= 0．[证完] w31

z2z3

9. 试证：四个相异点z1, z2, z3, z4共圆周或共直线的充要条件是 (z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2)为实数．

【解】在平面几何中，共线的四个点A, B, C, D的交比定义为

(A, B; C, D) = (AC/CB) : (AD/DB)．

这是射影几何中的重要的不变量．

类似地，在复平面上，(不一定共线的)四个点z1, z2, z3, z4的交比定义为

[z1z2, z3z4] = (z1 – z3)/(z2 – z3) : (z1 – z4)/(z2 – z4)．

本题的结论是说：复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数． ( ) 分两种情况讨论

(1) 若(z1 – z4)/(z1 – z2)为实数，则(z3 – z4)/(z3 – z2)也是实数． 设(z1 – z4)/(z1 – z2) = t，t ．则z4 = (1 – t)z1 + t z2，

故z4在z1, z2所确定的直线上，即z1, z2, z4共线．

因此，同理，z1, z2, z3也共线．所以，z1, z2, z3, z4是共线的． (2) 若(z1 – z4)/(z1 – z2)为虚数，则(z3 – z4)/(z3 – z2)也是虚数． 故Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) k ，Arg ((z3 – z4)/(z3 – z2)) k ． 而Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) – Arg ((z3 – z4)/(z3 – z2)) = Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2)) = k ．

注意到Arg ((z – z4)/(z – z2)) = Arg ((z4 – z)/(z2 – z))是z2 – z到z4 – z的正向夹角， 若Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) = Arg ((z3 – z4)/(z3 – z2))，

则z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，且它们对z2, z4所张的角的大小相同， 故z1, z2, z3, z4是共圆的．

若Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) = Arg ((z3 – z4)/(z3 – z2)) + ，

则z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，且它们对z2, z4所张的角的大小互补， 故z1, z2, z3, z4也是共圆的． ( ) 也分两种情况讨论

(1) 若z1, z2, z3, z4是共线的，则存在s, t \{0, 1}，使得 z4 = (1 – s)z3 + s z2，z4 = (1 – t)z1 + t z2，

那么，z3 – z4 = s (z3 – z2)，即(z3 – z4)/(z3 – z2) = s； 而z1 – z4 = t (z1 – z2)，即(z1 – z4)/(z1 – z2) = t，

所以，(z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2) = t/s ． (2) 若z1, z2, z3, z4是共圆的，

若z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，那么， Arg ((z4 – z1)/(z2 – z1)) = Arg ((z4 – z3)/(z2 – z3)) 因此(z4 – z1)/(z2 – z1) : (z4 – z3)/(z2 – z3)是实数． 也就是说(z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2)是实数． 若z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，

则Arg ((z4 – z1)/(z2 – z1)) + Arg ((z2 – z3)/(z4 – z3)) = (2k + 1) ， 故Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2))

= Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) – Arg ((z3 – z4)/(z3 – z2)) = Arg ((z1 – z4)/(z1 – z2)) + Arg ((z3 – z2)/(z3 – z4))

= Arg ((z4 – z1)/(z2 – z1)) + Arg ((z2 – z3)/(z4 – z3)) = (2k + 1) ， 所以，(z1 – z4)/(z1 – z2) : (z3 – z4)/(z3 – z2)仍为实数．[证完] 这个题目写的很长，欢迎同学们给出更简单的解法．

11. 试证：方程| z z1 |/| z z2 | = k ( 0 < k 1，z1 z2 )表示z平面的一个圆周，其圆心为z0，半径为 ，且z0 = (z1 k2 z2)/(1 k2)， = k | z1 z2|/| 1 k2 |．

【解】到两定点距离成定比的点的轨迹是圆或直线．当比值不等于1时，轨迹是一个圆，这个圆就是平面几何中著名的Apollonius圆．

设0 < k 1，z1 z2，z0 = (z1 k2 z2)/(1 k2)， = k | z1 z2|/| 1 k2 |． z ，| z z0 | =

| z (z1 k2 z2)/(1 k2) | = k | z1 z2|/| 1 k2 | | z(1 k2) (z1 k2 z2) | = k | z1 z2 | | (z z1) k2 (z z2)| = k | z1 z2| | (z z1)/k k (z z2) | = | z1 z2|

| (z z1)/k k (z z2) | = | (z z1) (z z2) | | (z z1)/k k (z z2) |2 = | (z z1) (z z2) |2

| z z1 |2/k2 + k2 | z z2 |2 = | z z1 |2 + | z z2 |2 (1/k2 1)| z z1 |2 = (1 k2 ) | z z2 |2 | z z1 |2/k2 = | z z2 |2

| z z1 |/| z z2 | = k．[证完]

直接地双向验证，可能需要下面的结论，其几何意义非常明显的． 命题：若复数z, w 0，则| | z | · w /| w | | w | · z /| z | | = | w z |． 证明：我们用z*表示复数z的共轭．

| | z | · w /| w | | w | · z /| z | |2 = | | z | · w /| w | |2 + | | w | · z /| z | |2 2Re[( | z | · w /| w |) · (| w | · z /| z |)* ] = | z |2 + | w |2 2Re( w · z* ) = | w z |2． 或更直接地，| | z | · w /| w | | w | · z /| z | | = | | z | · w /| w | | w | · z /| z | | · | z* /| z | | · | w* /| w | | = | (| z | · w /| w | | w | · z /| z |) · (z*/| z |) · (w*/| w |) | = | (| z | · (z*/| z |) | w | · (w*/| w |)) | = | w z |．

12. 试证：Re(z) > 0 | (1 z)/(1 + z) | < 1，并能从几何意义上来读本题． 【解】Re(z) > 0 点z在y轴右侧

点z在点 1和点1为端点的线段的垂直平分线的右侧

点z在点 1和点1为端点的线段的垂直平分线的与1同侧的那一侧 点z到点 1的距离大于点z到点1的距离 |1 + z | > | 1 z | | (1 z)/(1 + z) | < 1． 不用几何意义可以用下面的方法证明：

设z = x + i y，x, y ．

| (1 z)/(1 + z) | < 1 |1 + z | > | 1 z | |1 + z |2 > | 1 z |2 1 + z2 + 2Re(z) > 1 + z2 2Re(z) Re(z) > 0．

[由本题结论，可知映射f(z) = (1 z)/(1 + z)必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点．并且容易看出，映射f(z)把虚轴上的点映射到单位圆周上的点．

问题：f(z)在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射？f(z)在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射？]

· √§ §

++

m ， m ，★ 1, 2, ..., n lim n ，+n > 0， un， n 1 un，m ， > 0， > 0，【解】 [0, 2 ] l 2 dx，f(x) = ( , + )[ , ] 1 k n un，[0, 2 ]

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