追及相遇专题复习高一物理专题辅导资料

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追及相遇专题复习

一、知识要点归纳

（一）、追及与相遇

在两物体同直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件是：两物体能否同时到达空间某位置.因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系解出．

（1）追及

追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件．

如匀减速运动的物体追从不同地点出发同向的匀速运动的物体时，若二者速度相等了，还没有追上，则永远追不上，此时二者间有最小距离．若二者相遇时（追上了），追者速度等于被追者的速度，则恰能追上，也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时二者的距离有一个较大值．

再如初速度为零的匀加速运动的物体追赶同一地点出发同向匀速运动的物体时，当二者速度相等时二者有最大距离，位移相等即追上．

（2）相遇

同向运动的两物体追及即相遇，分析同（1）．

相向运动的物体，当各自发生的位移的绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇．

（二）、追及、相遇的基本特征相同，都是在运动过程中某时刻两个物体处在同一位置。 ★追及的常见情形有四种：

v1(在后) 小于 v2(在前)

1、甲：匀加速（v1)====>>>>乙：匀速（v2) 一定能追上

2、甲：匀速（v1)====>>>>乙：匀减速（v2) 一定能追上

追上前当v1=v2时，两者间距最大。（开始时，速度大的乙在前，在后的甲速度较小，间距越来越大，只有甲速度大于乙速度，间距才能越来越小，故两者速度相等时，间距最大。）

v1(在后) 大于 v2(在前)

3、甲：匀速（v1)====>>>>乙：匀加速（v2) 不一定能追上

4、甲：匀减速（v1)====>>>>乙：匀速（v2) 不一定能追上

假设在追赶过程中经时间t后两者能处在同一位置，找位移关系列方程，求解t．若t有解，说明能处在同一位置，能追上，比较此时的速度，若v1>v2，则会相撞，若v1= v2,则刚好相撞；若t无解，说明两者不能同时处于同一位置，追不上．

若追不上，当v1= v2时，两者间距最小．（开始时，速度大的甲在后，在前的乙速度较小，间距越来越小，只有乙速度大于甲速度，间距才能越来越大，故两者速度相等时，间距最小．） ★相遇（或相撞）的临界条件是：两物体处在同一位置时，两物体的速度刚好相等。

二、追及和相遇问题的求解方法

首先分析各个物体的运动特点，形成清晰的运动图景；再根据相遇位置建立物体间的位移关系方程；最后根据各物体的运动特点找出运动时间的关系．

方法1：利用不等式求解．利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意时刻t，两物体间的距离y=f(t)，若对任何t，均存在y=f(t)>0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得y=f(t) 0，则这两个物体可能相遇．其二是设在t时刻两物体相遇，然后根据几何关系列出关于t的方程f(t)=0，若方程f(t)=0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f(t)=0存在正实数解，则说明这两个物体可能相遇．

方法2：利用图象法求解．利用图象法求解，其思路是用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇．

“速度相等”是解题的关键，此时可能是两者间的距离最大或最小．

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[例1]公共汽车从车站开出以4 m/s的速度沿平直公路行驶，2 s后一辆摩

2托车从同一车站开出匀加速追赶，加速度为2 m/s，试问：

（1）摩托车出发后，经多少时间追上汽车？

（2）摩托车追上汽车时，离出发处多远？

（3）摩托车追上汽车前，两者最大距离是多少？

【解析】 开始一段时间内汽车的速度大，摩托车的速度小，汽车和摩托车的距离逐渐增大，当摩托车的速度大于汽车的速度后，汽车和摩托车的距离逐渐减小，直到追上.显然，在上述过程中，摩托车的速度等于汽车的速度时，它们间的距离最大.

（1）摩托车追上汽车时，两者位移相等，即

v(t+2)= at2/2

解得摩托车追上汽车经历的时间为t=5.46 s

2（2）摩托车追上汽车时通过的位移为s=at/2=29.9 m

（3）摩托车追上汽车前，两车速度相等时相距最远，即：v=at t′=v/a=2s

2最大距离为Δs=v(t′＋2)-at′/2=12 m

小结：求解追及问题要注意明确三个关系：时间关系、位移关系、速度关系，这是我们求解时列方程的依据.涉及临界问题时要抓住临界条件.

[例2]如图1-2-1所示，A、B两物体相距s=7 m,A正以v1=4 m/s的速度向右做匀速直线运动，而物体B此时速度v2=10 m/s，方向向右，做匀减速直线运动（不能返回），加速度大小a=2 m/s，从图示位置开始计时，问在什么情况下，经多少时间A追上B. 2

图1-2-1

【解析】 物体B的运动时间为tB=vA/a=10/2 s=5 s

在此时间内B前进了

sB=v·tB=(10/2)×5 m=25 m

这时A前进了

sA=vAtB=4×5 m=20 m

可见在此时间内A没有追上B，必须在B停止后，A才能追上B.故A追上B的时间为

s sB7 25 vA4 s=8 s t=

【答案】 8 s

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［例3］同一直线上的A、B两质点，相距s，它们向同一方向沿直线运动（相遇时互不影响各自的运动），A做速度为v的匀速直线运动，B从此时刻起做加速度为a、初速度为零的匀加速直线运动.若A在B前，两者可相遇______次，若B在A前，两者最多可相遇______次.

【解析】 若A车在前匀速运动，B车在后匀加速追赶A车，两车等速时相距最远（间距大于s），故B车追及A车时必有vB＞vA，以后B车在前，两车间距逐渐增大，不可能再相遇.

若B车在前匀加速运动，A车在后匀速运动，若追及时两车恰等速，因以后vB＞vA，不可再次相遇，即只能相遇1次；但若A车追及B车时vA＞vB，相遇后A车超前，但由于B车速度不断增大，仍能再次追及A车，即能相遇2次.

【答案】 1；2

［例4］一列火车以v1的速度直线行驶，司机忽然发现在正前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车正沿着同一方向以较小速度v2做匀速运动，于是他立即刹车，为使两车不致相撞，则a应满足什么条件？

【解析】 若后面火车的速度减小到比前面火车的速度还小时，后面火车还没追上前面火车，两车不会相撞.若后面火车速度减小到跟前面火车速度相等时，两列火车恰好相遇，这是相撞的临界情况.

方法1：设两车经过时间t相遇，则

1

v1t-2at2-v2t=s

化简得：at-2(v1-v2)t+2s=0

2当 Δ=4(v1-v2)-8as＜0 2

(v1 v2)2

2s即a＞时，t无解，即两车不相撞.

方法2：当两车速度相等时，恰好相遇，是两车相撞的临界情况，则 v1-at=v2

1

v1t-2at2-v2t=s

(v1 v2)2

2s解得a=

(v1 v2)2

2s为使两车不相撞,应使a＞.

方法3:后面的车相对前面的车做匀减速运动,初状态相对速度为(v1-v2),当

22两车速度相等时,相对速度为零,根据vt-v0=2as,得,为使两车不相撞,应有

2(v1-v2)＜2as

(v1 v2)2

2sa＞

小结:利用相对运动分析追及、相遇问题往往较简便.

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