第2章新 控制系统的数学模型

第2章 控制系统的数学模型

控制系统的数学模型，是描述系统输入、输出以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。一个系统，无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的等都可以用微分方程加以描述。对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于系统的分析和计算工作。

建立控制系统的数学模型，一般采用解析法和实验法两种。解析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依据的物理规律或化学规律（例如，电学中有克希荷夫定律、力学中有牛顿定律、热力学中有热力学定律等）分别列写相应的运动方程。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其响应，按照物理量随时间的变化规律，用适当的数学模型去逼近，这种方法又称为系统辨识。近些年来，系统辨识已发展成一门独立的学科分支。本章主要采用解析法建立系统的数学模型。

数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。本章只研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立及应用。

2.1 物理系统动态描述

微分方程是在时域中描述系统(或元件)动态特性的数学模型，利用它可以得到描述系统（或元件)动态特性的其他形式的数学模型。这里主要运用机理建模法对常见的机械、电气等物理系统建立其数学模型。

2.1.1列写微分微分方程的一般方法

列写系统或元件的微分方程，目的在于确定系统输入量与输出量之间的数学关系，而系统由元件组成。用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是：

⑴ 根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出变量；

⑵ 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组；

⑶ 消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；

⑷ 将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，各阶导数项按降幂排列。

2.1.2机械系统的微分方程

机械系统的微分方程可以运用牛顿定律进行推导。下面通过举例说明机械系统微分方程的求取方法。

1. 机械系统微分方程

例2-1设有一个由弹簧、质量、阻尼器组成的机械平移系统，如图2-1所示。试列写出系统的数学

模型。

Fy

图2-1 机械平移系统

解 由牛顿第二定律有ma(t)

F(t)，即

d2y(t)dyt()

F(t) Ft( )Ft( )Ft (f) Kyt () mfk

dt2dt

md2（yt）fd(y)t1

y(t)F(t ) （2-1）整理得 2

KdtKdtK

式中：m—运动物体质量，kg；

y—运动物体位移，m；

f—阻尼器粘性阻尼系数，N s/m；

Ff(t)—阻尼器粘滞摩擦阻力，它的大小与物体移动的速度成正比，方向与物体移动的

方向相反， Ff(t) fk—弹簧刚度，N/m；

dy(t)

； dt

Fk(t)—弹簧的弹性力，它的大小与物体位移（弹簧拉伸长度）成正比，Fk(t) Ky(t)。

运动方程式（2-1）即为此机械平移系统的数学模型。

例2-2设有一个由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械回转系统，如图2-2所示。外力矩M(t)为输入信号，角位移θ(t)为输出信号，试列写出系统的数学模型。

图2.-2 机械回转系统

解 由牛顿第二定律，有Je(t)

M(t)，即

d2 (t)d (t)

J M(t) M(t) M(t) f f2

dtdt

d2 (t)d (t)

整理得 J f M(t) （2-2） 2

dtdt

式中： J—惯性负载的转动惯量，kg m2；

θ—转角，rad；

f—粘性摩擦阻尼器的粘滞阻尼系数，N m s/rad； kJ —扭转弹簧刚度，N.m/rad；

运动方程式（2-2）就是此机械旋转系统的数学模型。

例2-3设有如图2-3所示的齿轮传动链，试对传动链进行动力学分析。

TL

a) 原始轮系图 b) 等效轮系 图2-3 齿轮传动链

解 由电动机M输入的转矩为Tm，L为输出端负载，TL为负载转矩。图中所示的zi为各齿轮齿数，J1、J2、J3及θ1、θ2、θ3分别为各轴及相应齿轮的转动惯量和转角。

假设各轴均为绝对刚性，即KJ→∞，根据牛顿第二定律式可得如下动力学方程组

Tm J1 1 f1 1 T1

"'

T2 J2 2 f2 2 T3 （2-3）

"'

T4 J3 3 f3 3 TL

式中： f1、f2、f3——传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数；

T1——齿轮z1对Tm的反转矩，N m； T2——z1对T1的反转矩，N m； T3——z3对T2的反转矩，N m； T4——z4对T3的反转矩，N m；

TL——输出端负载对T4的反转矩，即负载转矩。 由齿轮传动的基本关系可知：

"'

T2

z2z

T1, 2 1 1；T4 z4T3, 3 z3 2 z1z3 1 z1z2z3z4z2z4

于是由式（2-3）可得：

z

Tm J1 1 f1 1 1

z2

"

'

'' "z3 "

J f J f T2233 323L 2

z 4

2222

" z1 z1z3 z1 z1z3 ' z1z3 J1 J2 J3 1 f1 f2 f3 1 TL

zzzzzzzz 2 24 2 24 24

（2-4）

z1 z1z3 J J J 令eq 2 J3；Jeq称为等效转动惯量； 1

z2 z2z4

令feq

22

z zz

f1 1 f2 13 f3；feq称为等效阻尼系数；

z2 z2z4

22

z1z3

T 令Leq TL；TLeq称为等效输出转矩。

z2z4

则有 Tm Jeq 1 feq 1 TLeq （2-5） 则图2-3（a）所示传动装置可简化为图2-3（b）所示的等效齿轮传动装置。 2.1.3 电气系统的微分方程

电气系统的微分方程根据欧姆定律、基尔霍夫定律（克希荷夫定律）、电磁感应定律等物理定律来进行列写，下面通过举例来说明列写方法。

例2-4 图2-4所示为一无源滤波器电路，试写出以输出电压uo(t)和输入电压ui(t)为变量的滤波网络的微分方程。

"

'

R

o

图2-4 RC电路 解 根据基尔荷夫定律（克希荷夫定律），可写出下列原始方程式；

1

i(t)R i(t)dt ui(t) C （2-6）

1i(t)dt u(t)

o

C

消去中间变量i(t)后得到

RC

duo(t)

uo(t) ui(t) （2-7） dt

式（2-7)就是所求系统的微分方程。

以上所讨论的系统均具有线性微方程，将具有线性微分方程的控制系统称为线性系统。对于一般研究的系统，其微分方程式的系数均为常数，称之为线性定常(或线性时不变)系统。线性系统具有以下特性。

叠加性 线性系统满足叠加原理，即几个外作用施加于系统所产生的总响应等于各个外作用单独

作用时产生的响应之和。

均匀性 均匀性也称为齐次性，线性系统具有均匀性，就是说当加于同一线性系统的外作用数值增大几倍时，则系统的响应亦相应地增大几倍。

在线性系统分析中，线性系统的叠加性和齐次性是很重要的。

2.2 非线性系统及其数学模型的线性化

2.2.1 非线性系统

本章第一节讨论的元件和系统，假设都是线性的，因而，描述它们的数学模型也都是线性微分方程。系统或元件的输出与输入间的关系不满足叠加原理及均匀性原理的，称为非线性系统或元件。事实上，任何一个元件或系统总是存在一定程度的非线性。例如，弹簧的刚度与其形变有关，并不一定是常数；电阻R、电感L、电容C等参数值与周围环境（温度、湿度、压力等）及流经它们的电流有关，也不一定是常数；电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程等等。严格地说，实际系统的数学模型一般都是非线性的，而非线性微分方程没有通用的求解方法。因此，在研究系统时总是力图将非线性问题在合理、可能的条件下简化为线性问题处理。如果做某些近似或缩小一些研究问题的范围，可以将大部分非线性方程在一定的工作范围内近似用线性方程来代替，这样就可以用线性理论来分析和设计系统。虽然这种方法是近似的，但它便于分析计算，在一定的工作范围内能反映系统的特性，在工程实践中具有实际意义。

判别系统的数学模型微分方程是否是非线性的，可视其中的函数及其各阶导数，如出现高于一阶的项，或导数项的系数是输出变量的函数，则此微分方程是非线性的。

机械系统中常见的一些非线性特性举例如下：

传动间隙 由齿轮及丝杠螺母副组成的机床进给传动系统中，经常存在有传动间隙 （图2.2.1)，使输入转角Xi和输出位移X0间有滞环关系。只有消除了传动间隙，Xi与X0才具有线性关系。

死 区 在死区范围内，有输入而无输出动作。负开口液压伺服阀具有典型死区特性，如图2.2.2所示。

图2-5传动间隙 图2-6死区

摩擦力 机械滑动运动副，如机床滑动导轨运动副、主轴套筒运动副、活塞液压缸运动副等，在运动中都存在摩擦力。若假定为干摩擦力（也称库伦摩擦力），如图2-5所示。其大小为f，方向总是和速度x 的方向相反。实际上，运动副中的摩擦力与运动速度大小及其方向有关，如图2-6所示。

图中曲线可大致分为起始点的静动摩擦力、低速时混合摩擦力（摩擦力呈下降特性），以及粘性摩擦力（摩擦力随速度的增加而增加）。

由以上各种非线性性质可以看出，在工作点附近存在着不连续直线、跳跃、折线，以及非单值关系等严重非线性性质的，称为本质非线性性质。在建立数学模型时，为得到线性方程，只能略去这些因素，得到近似解。若这种略去及近似带来的误差较大，那就只能用复杂的非线性处理方法来求解了。

不是像以上所说的严重非线性性质，称为非本质非线性性质。对于这种非线性性质，就可以在工作点附近用切线来代替。这时的线性化只有变量在其工作点附近作微小变化，即变量发生微小偏差时，误差才不致太大。非线性微分方程经线性化处理后，就变成线性微分方程了，可以采用普通的线性方法来分析和设计系统。因而这种近似方法，给我们带来了很大的方便。

图2-7 干摩擦力

2.2.2 线性化方法--泰勒级数展开法

图2-8 粘性摩擦力

通常系统在正常工作时，都有一个预定工作点，即系统处于这一平衡位置。当系统受到扰动后，系统变量就会偏离预定点，也就是系统变量产生了不大的偏差。自动调节系统将进行调节，力图使偏离的系统变量达到平衡位置。因此，只要非线性函数的这一变量在预定工作点处有导数或偏导数存在，就可以在预定工作点附近将此非线性函数展成泰勒级数。

对于非线性函数f（x）及f（x，y），假定系统的预定工作点为0，在该点附近将函数展成泰勒级数，并认为偏差是微小量，因而略去高于一次微增量的项，所得到的近似线性函数如下

f(x) f(x0) (f(x,y) f x0,y0 (

df

)0 x （2-8）

dx

f f

（2-9） )0 x (()0 y

x y

以上两个式中减去静态方程式，得以增量表示的方程为

f(x) (

df

（2-10） )0 x)

dx

f f

)0 x (()0 y （2-11） x y

f(x,y) (

式（2-10）及（2-11）就是非线性函数的线性化表达式。在应用中需注意以下几点： （1）式中的变量不是绝对量，而是增量。公式称为增量方程式。

（2）预定工作点（额定工作点），若看作是系统广义坐标的原点，则有x0=0，y0=0，f(x0，y0）=0，Δx=x-x0，Δy=y-y0=y,因而式（2-10）、（2-11）中的Δ去掉，增量可写为绝对量，公式中的变量为绝对量了。

（3）若预定工作点不是系统冠以坐标的原点，这是普遍的情况。又系统的非线性微分方程f(x)=f1(x)+f2(x)(假定变量只有一个x)中仅f2(x)为非线性项，那么当把f2(x)应用式（2-10）线性化后，由于f2(x)成为增量式子，则f(x)及f1(x)也必须把其中的变量改为增量，以组成系统的线性化微分方程。

（4）当增量并不很小，在进行线性化时，为了验证容许的误差值，需要分析泰勒公式中的余项。 例2-5 铁芯线圈如图2-9（a）所示。试列写以电压ur为输入，电流i为输出的铁芯线圈的微分方程。

解 根据克希荷夫定律有

ur u1 Ri （2-12）

式中，u1为线圈的感应电势，它正比于线圈中磁通变化率，即

u1 K1

d (i)

（2-13） dt

式中，K1为比例常数。铁芯线圈的磁通是线圈中电流i的非线性函数，如图2-9（b）所示。将式（2-12）代入式（2-13）得 K1

d (i)di

Ri ur （2-14）

didt

R

显然这是一个非线性微分方程。

0

(a) 铁芯线圈原理图 (b)磁通与线圈电流关系

图2-9 铁芯线圈及磁通 (i)曲线

如果在工作过程中，线圈的电压、电流只在平衡工作点（u0,i0）附近作微小的变化， (i)在i0

的邻域内连续可导，则在平衡点i0邻域内，磁通 可表示成泰勒级数，即

d

0

di

1d2 i

2!di2i0

( i)2

i0

式中， i＝i i0，当 i“足够小”时，略去高阶项，取其一次近似，有

0

式中，

d di

i0

i

d di

i0

为平衡点i0处 (i)的导数值，令它为C1，则有

0 C1 i

0 C1 i

上式表明，经小扰动线性化处理后，线圈中电流增量与磁通增量之间已经近似为线性关系了。 将式（2-14）中ur， ，i均表示成平衡点附近的增量方程，即

ur u0 uri i0 i

0 C1 i

将上述三式代入方程(2-14)，消去中间变量并整理，可得 K1C1

d i

R i ur dt

（2-15）

式（2-15）就是铁芯线圈的线性化增量微分方程。在实际使用中，为简便起见，常常略去增量符号而写成

K1C1

di

Ri ur dt

（2-16）

但必须明确，ur和i均为相对于平衡工作点的增量（小变化量），而不是本身的真正值。

2.3 系统的传递函数

控制系统的微分方程，是在时间域内描述系统动态性能的数学模型。通过求解描述系统的微分方程，可以把握其运动规律。但计算量繁琐，尤其是对于高阶系统，难以根据微分方程的解，找到改进控制系统品质的有效方案。在Laplace变换的基础上，引入描述系统线性定常系统（或元件）在复数域中的数学模型——传递函数，不仅可以表征系统的动态特性，而且可以借以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，都是在传递函数基础上建立起来的。本节首先讨论传递函数的基本概念及其性质，在此基础上介绍典型环节的传递函数。 2.3.1 传递函数的定义

设有线性定常系统，若输入为xi(t)，输出为xo(t)，则系统微分方程的一般形式为

dnx0(t)dn 1x0(t)dmxi(t)dm 1xi(t)

an an 1 a0x0(t) bm bm 1 b0xi(t) nn 1mm 1

dtdtdtdt

式中：n≥m; an, bm (n ,m = 0,1,2, ……)均为实数。

在零初始条件下，即当外界输入作用前，输入、输出的初始条件xi(0)，xi(0)，…，xi

和xo(0)，xo(0)，…，xi

(1)

(n 1)

(1)

(m 1)

(0 )

(0 )均为零时，对上式作Lap1ace变换可得：

(ansn an 1sn 1 a1s a0)X0(s) (bmsm bm 1sm 1 b1s b0)Xi(s)

在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为零时，线性定常系统的输出xo(t)的Laplace变换

Xo(s)与输入xi(t)的Laplace变换Xi(s)之比，称为线性定常系统的传递函数G(s)。

由此可得：

X0(s)bmsm bm 1sm 1 b1s b0

G(s) (n m)

Lxi(t)Xi(s)ansn an 1sn 1 a1s a0

则

L x0(t)

X0(s) G(s)Xi(s)

传递函数是在零初始条件下定义的。零初始条件有以下两方面含义：一是指输入作用是在t 0以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在 t 0 时均为零；二是指输入作用于系统之前，系统是“相对静止”的，即系统输出量及各阶导数在 t 0 时的值也为零。大多数实际工程系统都满足这样的条件。零初始条件的规定不仅能简化运算，而且有利于在同等条件下比较系统性能。所以，这样规定是必要的。

例2-6 求图2-1所示机械平移系统的传递函数。 解 已知该系统的微分方程是式（2-1）,即

md2（yt）fdy(t)1

y(t) F(t)

Kdt2KdtK

设初始条件为零，对上式进行拉氏变换得

m2f1sY(s) sY(s） Y(s) F(s) KKK

由定义可得机械平移系统的传递函数为

G s

Y(s)1/K

（2-17）

mfF(s)s2 s 1KK

2.3.2 传递函数的性质

由线性定常系统传递函数的定义可以分析得知，传递函数具有下列性质：

1、系统（或元件）的传递函数，是一种描述其动态特性的数学模型，它和系统（或元件）的运动方程式一一对应。若给定系统（或元件）的运动方程式，则可确定与之相对应的传递函数。

2、传递函数是复变量s的有理真分式函数，s j ，其中 为实部，j 为虚部。分子的阶数m低于分母的阶数n，且所有系数均为实数。m n，这是由于物理系统具有惯性的缘故；各系数均为实数，是因为它们都是系统元件参数的函数，而元件参数只能是实数。

3、传递函数只与系统（或元件）本身内部的结构有关，与输入信号和初始条件无关。即传递函数只表征系统（或元件）本身的特性。

4、一定的传递函数有一定的零点、极点分布图与之对应，因此传递函数的零点、极点分布图也表征了系统的动态特性。将传递函数定义式中的分母、分子多项式分解后，可以得到下式：

G(s)

Xo(s)(s z1)(s z2) (s zm) K

Xi(s)(s p1)(s p2) (s pn)

5、一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系，如果传递函数已知，则可针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应。如果传递函数未知，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。

6、传递函数与脉冲响应函数一一对应，脉冲响应函数g(t)是指系统在单位脉冲输入量δ(t)作用下的输出。因为单位脉冲输入时，Xi(s) L (t) 1，因此，系统的输出

Xo(s) G(s) Xi(s) G(s)。而Xo(s)的拉式变换即为脉冲函数g(t)，它正好等于传递函数的拉

式反变换，即L

1

Xo(s) g(t)。因此，系统的脉冲响应g(t)与系统的传递函数G(s)有单值函数对应

关系，都可以用于表征系统的动态特性。

2.3.3 典型环节的传递函数

由于控制系统的微分方程往往是高阶的，因此其传递函数也往往是高阶的。不管控制系统的阶次有多高，均可化为一阶、二阶的一些典型环节，如比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。熟悉掌握这些环节的传递函数，有助于对复杂系统的分析与研究。

1. 比例环节

比例环节又称为放大环节，其输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟而按比例地反映输入的环节称为比例环节。

动力学方程为： xo(t) Kxi(t) 式中：xo(t)—输出量；

xi(t)—输入量；

K—环节的放大系数或增益（常数）。 传递函数为： G(s)

Xo(s)

K （2-18） Xi(s)

例2-7 图2-10所示为运算放大器，其输出电压uo(t)与输入电压ui(t)之间有如下关系

uo(t)

R2

ui(t) R1

式中R1、R2为电阻。经Laplace变换后得其传递函数为

G(s)

Uo(s)R

2 K

Ui(s)R1

)

图2-10 运算放大器

2. 惯性环节(或一阶惯性环节)

惯性环节又称非周期环节，在这类环节中，因含有储能元件，所以对突变形式的输入信号不能立即输送出去。凡动力学方程为一阶微分方程T节。其传递函数为

dxo(t)

xo(t) xi(t)形式的环节，称为惯性环dt

G(s)

式中：T—为惯性环节的时间常数。

1

Ts 1 （2-19）

例2-8 图2-11为无源滤波电路，ui(t)为输入电压，uo(t)为输出电压，i为电流，R为电阻，C为电容。试求其传递函数。

R

图2-11 无源滤波电路

解 根据克希荷夫定律有

1

u(t) iR idt iC

u(t) 1idt o C

消除中间变量，得 RC

duo(t)

uo(t) ui(t) dt

经Laplace变换后，得 RCsUo(s) Uo(s) Ui(s) 故传递函数为 G(s) 式中，T＝RC为惯性环节的时间常数。

3. 微分环节

凡具有输出正比于输入的微分的环节，称为微分环节，即xo(t) Txi(t)。 其传递函数为

G(s)

Xo(s)

Ts （2-20） Xi(s)

'

Uo(s)1

Ui(s)Ts 1

式中：T——微分时间常数。

如液压油缸的流量与活塞的位移关系为 q(t) AX(t) 故流量对位移的传递函数为

4．积分环节

Q(s)

AS X(s)

凡具有输出正比于输入的积分的环节称为积分环节，即其传递函数为

G(s)

式中： T——积分环节的时间常数。

液压缸活塞位移对流量的传递关系即为积分环节，x(t) 其传递函数为 G(s)

xo(t)

1T

x(t)dt。

i

Xo(s)1

（2-21） Xi(s)Ts

1

q(t)dt A

X(s)1

Q(s)As

5．一阶微分环节

描述该环节输出、输入间的微分方程的形式为： xo(t) Txi(t) xi(t)， 其传递函数为 G(s)

.

Xo(s)

Ts 1 （2-22） Xi(s)

6. 振荡环节(或称二阶振荡环节)

振荡环节含有两种储能元件，在信号传递过程中，因能量的转换而使其输出带有振荡的性质，其微分方程为

my(t) fy(t) ky(t) x(t)

...

图2-12振荡环节

对图2-12所示振荡环节的传递函数为

Y(s)11

G(s) 2

X(s)ms fs kk

s2

2 n

12

n

s 12 n1

22ks 2 ns n

n

； 振荡环节为二阶环节，通常传递函数可写成

2

n1

G(s) 2G(s) 或写成 （2-23） 222

s 2 ns nTs 2 Ts 1

式中： n——无阻尼固有频率；

T——振荡环节的时间常数，T 1/ n；

——阻尼比，0 1。

例2-9 图2-13所示为一质量-弹簧-阻尼器系统，位能和动能可以相互转换，它是一个典型机械振荡环节。例2-1已经推出系统的力平衡方程式为

md2（yt）fdy(t)1

y(t) F(t) 2

KdtKdtK

令

T

上式拉氏变换后，可得系统传递函数为

； G(s)

Y(s)11

22

F(s)KTs 2 Ts 1

Fy

图2-13 质量-弹簧-阻尼器系统

7．二阶微分环节

描述该环节输出、输入间的微分方程具有形式xo(t) Txi(t) 2 Txi(t) xi(t)， 其传递函数为

G(s)

2..

.

Xo(s)

T2s2 2 Ts 1 （2-24） Xi(s)

8．延时环节（或称迟延环节）

延时环节是输出滞后输入时间、但不失真地反映输入的环节。具有延时环节的系统便称为延时系统。延时环节的输入xi(t)与输出xo(t)之间有如下关系

xo(t) xi(t )

式中: —延迟时间。

延时环节也是线性环节，它符合叠加原理。延时环节的传递函数为

L[xo(t)]L[xi(t )]Xi(s)e s

G(s) e s （2-25）

L[xi(t)]L[xi(t)]Xi(s)

延时环节与惯性环节不同，惯性环节的输出需要延迟一段时间才接近于所要求的输出量，但它从输入开始时刻起就已有了输出。延时环节在输入开始之初的时间τ内并无输出，在τ后，输出就完全

等于从一开始起的输入，且不再有其他滞后过程；简言之，输出等于输入，只是在时间上延时了一段时间间隔τ。

当延时环节受到阶跃信号作用时，其特性如图2-14所示。

图2-14延时环节输入、输出关系

例2-10如图2-15所示为轧钢时的带钢厚度检测示意图。带钢在A点轧出时，产生厚度偏差Δh1（图中为h十Δh1，h为要求的理想厚度）。但是，这一厚度偏差在到达B点时才为测厚仪所检测到。测

h2

图2-15轧钢时带岗厚度检测示意图

厚仪检测到的带钢厚度偏差Δh2即为其输出信号x0(t)。若测厚仪距机架的距离为L，带钢速度为v，则延迟时间为τ＝L／v。故测厚仪输出信号Δh2与厚度偏差这一输入信号Δh1之间有如下关系：

Δh2＝Δh1 (t一 `)

此式表示，在t ＜τ时，Δh2＝0，即测厚仪不反映Δh1的量。这里，Δh1为延时环节的输入量，Δh2

为其输出量。故有

B

x0(t) xi(t )

因而有 G(s)

X0(s)

e s Xi(s)

2.4 系统框图及其简化

一个系统由若干环节按一定的关系组成，将这些环节以方框表示，其间用相应的变量及信号流向联系起来，就构成系统的方框图。系统方框图具体而形象地表示了系统内部各环节的数学模型、各变量之间的相互关系以及信号流向。事实上系统方框图是系统数学模型的一种图解表示方法，它提供了关于系统动态性能的有关信息、并且可以揭示和评价每个组成环节对系统的影响。根据方框图，通过一定的运算变换可求得系统传递函数。故方框图对于系统的描述、分析、计算是很方便的，因而被广泛地应用。

2.4.1

方框图结构要素

1.函数方框 函数方框是传递函数的图解表示，如图2-16所示。

图2-16 系统传递函数框图

图中，指向方框的箭头表示输入，离开方框的箭头表示输出，方框中表示的是该输入输出之间的环节的传递函数。所以，方框的输出应是方框中的传递函数乘以其输入，即

X0(s) G(s)Xi(s)

应当指出，输出信号的量纲等于输入信号的量纲与传递函数量纲的乘积。

2.比较点 比较点是两个或两个以上输入信号之间代数求和运算元件，也称比较器。如图2-17所示。

图2-17相加点示意图

在比较点处，输出信号（离开相加点的箭头表示）等于各输入信号（指向相加点的箭头表示）的代数和，每一个指向相加点的箭头前方的“十”号或“一”号表示该输入信号在代数运算中的符号。在相加点处加减的信号必须是同种变量，运算时的量纲也要相同。相加点可以有多个输入，但输出是唯一的。

3.

分支点 分支点表示同一信号向不同方向的传递，如图2-18所示。

X(s)

X(s)

图2-18分支点示意图

X(s)

在分支点引出的信号不仅量纲相同，而且数值也相等。 2.4.2 方框图构成方式

根据描述系统运动的微分方程组，分别建立相应的子结构图，按信号传递顺序连接起来，可得到系统的结构图。

例2-11 图2-19中，ur，uc分别是R C电路的输入、输出电压，试建立相应的系统方框图。 解 根据克希荷夫定律，可写出以下方程：

Ur(s) Uc(s) U1(s)

U1(s)1 R1Cs

I(s) U1(s)

R1(Cs)R1R1 Cs)

Uc(s) R2I(s)

图2-19 R-C无源网络

根据各方程可绘出相应的子系统的方框图，分别如图2-20（a）、(b)和（c）所示，按信号的传递顺序，将各子结构图依次连接起来，便得到无源网络的结构图，如图2-20（d）所示。

图2-20 R-C无源网络的结构图

2.4.3 方框图的等效简化

方框图是从具体系统中抽象出来的数学结构图形，当只讨论系统的输入、输出特性，而不考虑它的具体结构时，完全可以对其进行必要的变换，当然，这种变换必须是“等效的”，应使变换前后输入量与输出量之间总的数学关系保持不变。

系统各环节之间一般有串联、并联和反馈连接三种基本连接方式，方框图运算法则是用于指导求取框图不同连接方式下的等效传递函数的方法。

1. 串联环节 前一环节的输出为后一环节的输入的联接方式称为环节的串联，如图2-21所示。

等效

图2-21 串联环节等效变换

当各环节之间不存在（或可忽略）负载效应时，则串联联接后的传递函数为：

G(s)

Xo(s)X1(s)Xo(s)

G1(s)G2(s) Xi(s)Xi(s)X1(s)

故环节串联时等效传递函数等于各串联环节的传递函数之积。当系统由n个环节串联时，系统的传递函数为

G(s) Gi(s)

i 1

n

式中：Gi(s)—第i个串联环节的传递函数(i =1，2，…，n)。

2．并联环节 各环节的输入相同，输出为各环节输出的代数和，这种联接方式称为环节的并联，如图2-22所示。则有

X0(s)X01(s)X02(s)

G(s) G1(s) G2(s)

Xi(s)Xi(s)Xi(s)

故环节并联时等效传递函数等于各并联环节的传递函数之和。

推广到n个环节并联，则总的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和，即

G(s) Gi(s)

i 1

n

式中：Gi(s)

3．反馈联接 所谓反馈，是将系统或某一环节的输出量，全部或部分地通过反馈回路返回到输入端，又重新输入到系统中去的联接方式称为反馈联接，如图2-23所示。反馈联接实际上也是闭环系统传递函数方框图的最基本形式。单输入作用的闭环系统，无论组成系统的环节有多复杂，其传递函数方框图总可以简化成图2-23所示的基本形式。

图2-23反馈联接的等效变换

图2-23中，G(s)称为前向通道传递函数，它是输出Xo(s)与偏差E(s)之比，即

G(s)

Xo(s)

E(s)B(s)

Xo(s)

H(s)称为反馈回路传递函数，即 H(s)

前向通道传递函数G(s)与反馈回路传递函数H(s)之乘积定义为系统的开环传递函数Gk(s)，它也是反馈信号B(s)与偏差E(s)之比，即

GK(s)

B(s)

G(s)H(s) E(s)

开环传递函数可以理解为：封闭回路在相加点断开以后，以E(s)作为输入，经G(s)、H(s)而产生输出B(s)，此输出与输入的比值B(s)/E(s)，可以认为是一个无反馈的开环系统的传递函数。由于B(s)与E(s)在相加点的量纲相同，因此，开环传递函数无量纲，而且H(s)的量纲是G(s)的量纲的例数。

输出信号Xo(s)与输入信号Xi(s)之比，定义为系统的闭环传递函数GB(s)，即

GB(s)

由图可知

Xo(s)

Xi(s)

E(s) Xi(s) B(s) Xi(s) Xo(s)H(s)

Xo(s) G(s)E(s) G(s)[Xi(s) Xo(s)H(s)] G(s)Xi(s) G(s)Xo(s)H(s)

由此可得

GB(s)

Xo(s)G(s)

Xi(s)1 G(s)H(s)

故反馈联接时，其等效传递函数等于前向通道传递函数除以l加(或减)前向通道传递函数与反馈回路传递函数的乘积。

闭环传递函数的量纲决定于X0(s)与Xi(s)的量纲，两者可以相同也可以不同。若反馈回路传递函数H(s )＝1，称为单位反馈。此时有

GB(s)

G(s)

。

1 G(s)

开环传递函数、闭环传递函数、以及开环系统的传递函数是三个常常容易混淆的概念，开环传递函数和闭环传递函数的概念在上面有所叙述，二者均针对闭环系统而言，而开环系统的传递函数则是针对于开环系统而言的。

2.4.3 相加点与分支点的移动法则

为便于计算分析，常需要对比较复杂的系统框图结构（如多回路、多个输入信号等）进行变换、组合和简化，以便求出总的传递函数，并有利于分析各输入信号对系统性能的影响。在对框图进行简化时，有两条基本原则：

1）变换前与变换后前向通道中传递函数的乘积必须保持不变。 2）变换前与变换后回路中传递函数的乘积保持不变。 表2-1列出了框图变换过程中，分支点与相加点的移动规则。

表2-1方框图变换法则

例2-12试化简如图2-24所示的系统方框图，并求其传递函数。

图2-24 系统方框图

解：

GB(s)

Xo(

s)G1G2G3G4

Xi(s)1 G1G2G3G4H3 G1G2G3H2 G2G3H1 G3G4H4

2.5* 系统信号流图及梅荪公式

2.5.1信号流图

信号流图是信号流程图的简称，是与框图等价的描述变量之间关系的图形表示方法。图2-25中所示的框图可用图2-26所示信号流图表示。信号流图尤其适用于复杂系统，其简化方法与框图的简化方法是相同的。

E(s)G(s)

)

H(s)

图2-26 信号流程

图2-25 框图

信号流图由一些定向线段将一些节点连接起来组成。其中节点用来表示变量或信号，输入节点也称源点，输出节点也称阱点、汇点；混合节点是指既有输入又有输出的节点。

定向线段表示支路，其上的箭头表明信号的流向，各支路上还标明了增益，即支路上的传递函数；

沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径称为通路，从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路称为前向通道；起点与终点重合且与任何节点相交不多于一次的通路称为回路。回路中各支路传递函数的乘积，称为回环传递函数，图2-26中回环的传递函数为G(s)H(s)；若系统中包括若干个回环，回环间没有任何公共节点者，称为不接触回环。

2.5.2梅荪公式

对于比较复杂的系统，当框图或信号流图的变换和简化方法都显得繁琐费事时，可根据梅荪公式(Mason Rule)直接求取框图的传递函数或信号流图的传输量，梅荪公式为

1n

T Pk k

k 1

式中：T——从源节点至任何节点的传输；

Pk——第k条前向通道的传输；

Δ——信号流图的特征式，是信号流图所表示的方程组的系数行列式，其表达式为

1 L1 L2 L3 ( 1)m Lm

式中:

L——所有不同回环的传输之和；

1

L L

L

2

——任何两个互不接触回环传输的乘积之和； ——任何三个互不接触回环传输的乘积之和； ——任何m个互不接触回环传输的乘积之和；

3

m

k——余因子，即第k条前向通道的余因子，即对于信号流图的特征式，将与第k条前向通

道接触的回环传输代以零值，余下的Δ即为Δk。

梅荪公式的推导可参阅有关文献。

例2-13 图2-27所示的低通滤波网络可以表示为图2-28所示的信号流图，试求传递函数

Uo(s)

。

Ui(s)

RRs)

)

图2-27 低通滤波网络

图2-28 网络的信号流程

解 此系统有三个回环，即

111

、 、 ，因此 R1C1sR2C1sR2C2s

L1

111

R1C1sR2C1sR2C2s

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