2009年第14届华杯赛决赛试题与答案

第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学组）

一、 填空题（每小题10分，共80分）

第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分 1计算：

2008?2007?20092008?2009?1?2009?2008?20102009?2010?1=

第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分2、如图1所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点。在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有 个。

图1

第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分3将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924…”。删去这个数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是

第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分4如图2所示，在由七个同样的小正方形组成的图形中，直线l将原图形分为面积相等的两部分。l与AB的交点为E，与CD的交点为F。若线段CF与线段AE的长度之和为91厘米，那么小正方形的边长是 厘米。

AEBCFD图2

第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分5某班学生要栽一批树苗。若每个人分

配k棵树苗，则剩下38棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵，那么这个班共有 名学生。

第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分6已知三个合数A,B,C两两互质，且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值为

第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分7方格中的图形符号“◇”，“○”，“▽”，“☆”代表填入方格中的数，相同的符号代表相同的数，如图3所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别是36，50，41，37，则第三行的四个数的和为

图3

（第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第8题）已知1+2+3+?+n（n>2）的和的个位数为3，十位数为0，则n的最小值是

二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分第二大题1六个分数

12，

13，

15，

17，

111，

113的和在哪两个连续自然数之间？

第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分第二大题2.2009年的元旦是星期四，问：在2009年中，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有5个星期日？

第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分第二大题3已知a,b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270。求b与c的最小公倍数。

（2009年第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第12题）在51个连续的奇数1，3，5，?，101中选取k个数，使得它们的和为1949，那么k的最大值是多少？

三、 解答下列各题（每个题15分，共30分，要求写出详细过程）

第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分第三大题1.如图4所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O。已知AB=5，CD=3，

且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积。

DCOAB图4

第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分第三大题2在图5所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同汉字代表不同的数字。若

“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数。 祝贺 × 华杯赛 ＝ 第十四届

第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题 A 参考答案（小学组）

一、填空题（每小题10分，共80分）

题号 答案 1 2 2 64 3 3 4 26 5 41 6 1626 7 33 8 37

二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 9．答案：在1和2之间。 解答：

12?13?15?17?111?113

?? ??1?215261526??1?11?1?1??? ???????13?117?3??5?14331433??12?351235?。 ＜

123511526?15351426?1?14351111226??12354126因为

?1526?14331＜2，

又因为＞

1＞1，

1所以六个分数，，，，

2357，

13的和在1和2之间。

10．答案：10月份的第一天是星期四，3、5、8、11月有五个星期日。

解答：下表列出各个月的1号的相关信息： 月份 1号距1月1号的天数 除以7的余数 1号的星期数 2 31 3 日 3 59 3 日 4 90 6 三 5 120 1 五 6 151 4 一 7 181 6 三 8 212 2 六 9 243 5 二 10 273 0 四 11 304 3 日 12 334 5 二 10月1号与1月1号相距273天，273是7的倍数，所以，10月份的第一天也是星期四。

3月1号是星期日，3月份有31天，所以3月有5个星期日； 5月3号是星期日，5月份有31天，所以5月有5个星期日； 8月3号是星期日，8月份有31天，所以8月有5个星期日； 11月1号是星期日，11月份有30天，所以11月有5个星期日。

11．答案540，或108。

22?a,b?2?3?5解答：如果b不是22的倍数，因为?，则a一定是的倍数。由此可知?2???a,c??222一定是22的倍数，但是??a,c???2?3?5不是2的倍数。所以b是2的倍数。同理可得c

23是33的倍数，所以??b,c???2?3整除。

因为??a,b???60，??a,c???270，所以60是b的倍数，270是c的倍数，所以b，c的

22最小公倍数?因为?所以??b,c??是??b,c???2?3?5＝?60,270??的约数。?60,270???2?3?5，

2540，或??b,c???2?3＝108.

当a＝1，b＝60，c＝270时，??a,c???60，??a,c???270，??b,c???540； 当a＝5，b＝12，c＝54时，??a,c???60，??a,c???270，??b,c???108；

答案：43。

12、解答：显然，选的数越小，可以使选出的数的个数越多。

首先考虑从45个连续的奇数1，3，5，7，…，99中选出n个数，使它们的和不超过1949。

由1?3?5????2n?1??n2得n2≤1949。

因为452?2025＞1949，且45个奇数的和不小于1?3?5???89?2025＞1949，所以n≤44。

若选取44个奇数，因为偶数个奇数的和为偶数，而1949为奇数，所以不可能选取44个奇数，使得它们的和为1949。

所以n≤43。 因为442?1936＜1949，2025－1949＝76，且76是偶数，所以至少从1，3，5，…，89中删除两个奇数，并使它们的和为76。如，去掉1，3，5，…，89中的两个奇数37和39，即选1，3，…，35，41，…，87，89。

易验证1?3?5???35?41?43???89?2025?76?1949。 所以n的最大值为43。

三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程） 13．答案：

2516

12解答：设三角形OAB的面积为x，梯形的高为h，则

?AB12+CD?h?4。

因为AB＝5，CD＝3，所以h＝1，因为SΔABO?SΔCBO?所以SΔOBC?52-SΔOAB32AB?h?52，

，即SΔOBC?，

52-x。①

同理可得SΔOCD?-SΔOBC

所以SΔOCD?x?1。②

因为SΔOAD+SΔOCD?SΔOBC+SΔOCD，所以SΔOBC?SΔOAD?由三角形面积公式得

SΔOABSΔOBC?52-x。③

AOOC?SΔOADSΔOCD，即

SΔOABSΔOBC?SΔOADSΔOCD，

所以SΔOAB?SΔOCD?SΔOBC?SΔOAD。④ 由①，②，③，④的x??x?1???所以x＝

2512?5??5??x????x?。 ?2??2?，即SΔOAB?2516。

14．答案：159。

解答：因为48能被3整除，所以“第十四届”所表示的数能被3整除，即“第14届”的四个数字之和能被3整除。

又因为1?3?5???9?45能被3整除，所以“华杯赛”表示的数的数字之和也能被3整除，即“华杯赛”所表示的数能被3整除。

因为48能被4整除，而且“祝”字是4，“贺”字是8，所以“届”为偶数，只能取2或6。 又“祝贺”与“华杯赛”的成绩为四位数，所以“华”字代表的数字只能是1，否则，即使“华杯赛”取最小的三位数是213，48×213＝10224是五位数，所以取其他的三位数将更不符合要求。

（1） 当“届”取数字“2”时，则“赛”字只能是9，此时，算式是48?1杯9＝第十四2。 因为余下的4个数字3，5，6，7中，只有5与10的和能被3整除，所以“杯”字只能取5.

此时，48×159＝7632，符合要求。故“华杯赛”所代表的整数是159。 （2） 当“届”取数字“6”时，则“赛”取数字“2”或“7”。

① 若“赛”取数字“2”时，此时算式是48?1杯2＝第十四6。

因为3与3，5，7，9的和分别为6，8，10，12，所以“杯”可以取数字“3”或“9”。 但是48×132＝6336，48×192＝9216，显然不符合要求。 ② 若“赛”取数字“7”时，此时算式是48?1杯7＝第十四6。

因为8与2，3，5，9的和分别为10，11，13，17均不能被3整除，所以不存在“1杯7”使得等式48?1杯7＝第十四6成立。

所以“华杯赛”所代表的整数为159。

决赛B卷与A卷不同的部分

1计算：（105×95+103×97）-（107×93+101×99）=_____。

4、A，B,C,D,E,F六个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另一个小朋友:A F, B D, C E, D B, E A, F C,开始时，A，B，C，D，E，F均各自拿着自己的玩具，传递完2002轮时 ，有___个小朋友又拿到了自己的玩具。 二、解答下列各题：

11、有同样的三个正方体纸盒，每个纸盒的六个面上都写有一个数字，它们的展开图如图4所示，若把这三个纸盒按图5所示摆放在不透明的桌面上，则所有能看到的纸盒面上的数字之和的最大值和最小值分别是多少？

2135

图四

64

图五

决赛C卷与A卷不同的部分

1、 计算：(1?12?14)?(12?14?16)?(1?12?14?16)?(12?14)=_____。

2、将七位数“9876543”重复写287次组成一个2009位数，删去这个数中所有位于奇数位（从左往右数）的数字后组成一个新数；再删去新数种所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下最后一位数为止，则最后剩下的数字为____。

?An绕点4、如图1所示，直线L1与直线L2相交于点O，且互相垂直，点A1，A2，A3，A4，A5，?An与点O的距离分别是1厘O按逆时针方向一次落在L1与L2上，如果A1，A2，A3，A4，A5，米，2厘米，3厘米，?n厘米，那么以A100 ,A101 ,A102 为顶点的三角形的面积为__。 L2

L1

5、某班学生要载一批树苗，若每个人分配k棵树苗，则剩下34棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵，那么学生共有___。

6、已知A、B、C是三个两两互质的合数，且A×B×C=1001×4×77，那么A+B+C__。 二、解答下列各题

11、已知a，b，c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270，求b与c的最小公倍数。

12、图3是由32个面积为1的等边三角形组成的一个大的平行四边形，这个大的平行四边形内部及边上共有25个交叉点，以这些交叉点为顶点，可以连成多少个等边三角形。

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