北京市昌平区2015届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答

昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(文科) 2015.1

考生注意事项：

1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．

2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B铅笔．

3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．

4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)

1. 已知集合M?{x?1},N?{x|x?0},则MA.xx?1

2．下列函数中，在区间(0，

N等于

?? B. xx?1

?? C. x0?x?1

??D.?

π)上是减函数的是 22A． y?cosx B． y?sinx C．y?x D． y?2x?1

3. 在?ABC中，?A?60?,AC?2,BC?3,，则?B等于 A. 120 B. 90 C. 60 D. 45

4．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是

284A．8 B． C．4 D．

33 1111正（主）视图侧（左）视图 - 1 - 俯视图

5. “???”是“sin??sin?”的

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是

A. 若???，m??，则m?? B. 若?//?，m??，则m?? C. 若?//?，m//?，则m//? D. 若m//?，m//?，则?//? 次上涨

10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其它费用)是

A. 略有盈利 B. 略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况

8. 已知数列{an}满足3an?1?an?4(n?1则满，n?N*),且a1?9, 其前n项之和为Sn，足不等式|Sn?n?6|?

7. 某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n次涨停(每

1成立的n的最小值是 40A.7 B.6 C.5 D.4

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．

9. 计算：(1?i)(1?2i)= .（i为虚数单位） 10. 执行如图所示的程序框图，如果输入?2，那么输出的结果 是 ，如果输入4，那么输出的结果是 ．

输出y 结束 是 开始 输入x x?0 否 y?2log2x y?3?x?1

- 2 -

?x?y≤1,?11. 设x，y满足约束条件?y≤x, 则z?2x?y的最大值是 . ?y≥0,?12. 平面向量a与b的夹角为60，a?(1,0)，|b|=2，则|2a-b|= .

x2?y2?1的离心率是_________；若抛物线y2?2mx与双曲线C有相13. 双曲线C:3同的

焦点，则m?_____________.

14. 在下列函数①y?3x?1,②y?log3x,③y?x2?1,④y?sinx,⑤y?cos(x?“对任意的x1，x2?(0,1)，则f?所有正确的序号)

?)中，满足6?x1?x2?f(x1)?f(x2)恒成立”的函数是________.(填上??22??

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

15.（本小题满分13分） 已知函数f(x)?3sinxcosx?(I) 求函数f(x)的最小正周期；

(II)当x?[0,]时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x值．

16.（本小题满分13分）

有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：

（错误！未找到引用源。）求频率分布直方图中m的值；

(Ⅱ) 分别求出成绩落在[70,80),[80,90),[90,100]中的学生人数；

O5060708090100成绩（分） 频率 组距1cos2x?1. 2?26m5m4m3m2m

- 3 -

（错误！未找到引用源。）从成绩在[80,100]的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在[80,90)中的概率．

17.（本小题满分13分）

在等比数列?an?中，a2?2,a5?16.

（错误！未找到引用源。）求等比数列?an?的通项公式；

（错误！未找到引用源。）若等差数列?bn?中，b1?a5,b8?a2，求等差数列?bn?的前n项的和Sn，并求Sn的最大值.

18. （本小题满分14分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，?DAC=90，O为AC的中点，PO?底面ABCD. （错误！未找到引用源。）求证：AD?平面PAC; （II）在线段PB上是否存在一点M，使得OM//平面

DAOCBPPAD？若存在，写出证明过程；若不存在，请说明理由.

19. （本小题满分14分） 已知函数f(x)?ex?xex?1. （I）求函数f(x)的最大值； （Ⅱ）设g(x)?

20. （本小题满分13分）

f(x), 其中x??1,且x?0，证明: g(x)＜1. x

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y2x22已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，其四个顶点组成的菱形的面积是

ab242，O为坐标原点，若点A在直线x?2上，点B在椭圆C上，且OA?OB.

（I） 求椭圆C的方程； （II）求线段AB长度的最小值； （III）试判断直线AB与圆x

2?y2?2的位置关系，并证明你的结论.

昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷(文科)参考答案及评分标准 2015.1

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)

题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 D 5 A 6 B 7 B 8 C

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)

9. 3?i 10. 10 ； 4 11. 2 12. 2 13.

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为 f(x)?23; ?4 14. ① ③ 331sin2x?cos2x?1 ………… 4分 22?6 ?sin(2x?)?1 ………… 6分

2???. ………… 7分 2??（Ⅱ）因为f(x)?sin(2x?)?1， 0?x?，

62????所以?2x??． …………9分

666???所以当2x??即x?时，

626所以T?

- 5 -

函数f(x)的最大值是2. …………13分

16.（本小题满分13分）

?(m2?m3?m4?m5?m6?)解：（错误！未找到引用源。）由题意10，m?0.005. ………3分

（错误！未找到引用源。）成绩落在[70,80)中的学生人数为20?10?0.03?6， 成绩落在[80,90)中的学生人数20?10?0.02?4

成绩落在[90,100]中的学生人数20?10?0.01?2. ……………6分

（错误！未找到引用源。）设落在[80,90)中的学生为a1,a2,a3,a4，落在[90,100]中的学生为b1,b2，

则?1?{a1a2,a1a3,a1a4,a1b1,a1b2,a2a3,a2a4,a2b1,a2b2,a3a4,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,bb基本12}，事件个数为n?15 ，

设A＝“此2人的成绩都在[80,90)”，则事件A包含的基本事件数m?6， 所以事件A发生概率P(A)?

17.（本小题满分13分）

解：（错误！未找到引用源。）在等比数列?an?中，设公比为q，

因为 a2?2,a5?16,

m62??. ……………13分 n155?a1q?2?a1?1所以 ?4 ,得?q?2aq?16??1 所以 数列?an?的通项公式是 an?2n?1. ……………5分 （错误！未找到引用源。）在等差数列?bn?中，设公差为d.

因为 b1?a5,b8?a2,

?b1=a5?16,?所以 ?b8?a2=2

方法一

?b1?16,??b1+7d=2 ?b1=16,??d=?2 ……………9分

- 6 -

Sn?b1n?n(n?1)d??n2?17n， 2 当n?8或9时，Sn最大值为72. ……………13分 方法二

由bn?18?2n,当bn?18?2n?0,解得n?9,即a9?0,a8?2.

所以当n?8或9时，Sn最大值为72. ……………13分

18. （本小题满分14分）

证明：（错误！未找到引用源。）在?ADC中，

因为?DAC=90，所以AD?AC.

又因为 PO?面ABCD，AD?平面ABCD 所以 PO?AD. 又因为 POAC=O，PC、AC?平面PAC,

所以AD?平面PAC. ……………6分 （错误！未找到引用源。）存在.当M为PB中点时，OM//平面PAD. ……………7分 证明：设PA、AD的中点分别为E、F，连结OF、M、EE, FP 在?ACD中，O为AC的中点，

1 所以OF//CD,OF=CD.

2 在?PAB中，M、E为PB、PA的中点， 所以 ME//AB,ME= ME//OF，ME=OF,

所以 四边形OMEF是平行四边形, 所以 OM//EF.

因为 OM?平面PAD，EF?平面PAD，

DFAEMCOB12AB,

所以 OM//平面PAD. ……………14分

19. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）f(x)??xe, …………………2分 当x?(??,0)时，f?(x)＞0，f(x)单调递增； …………………4分 当x?(0,??)时，f?(x)＜0，f(x)单调递减． …………………6分

'x

- 7 -

x f '(x) f(x) (?? , 0) ＋ ↗ 0 0 极大值 (0 , ??) － ↘

…………………7分

所以f(x)的最大值为f(0)＝0．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x?0时，f(x)?0,g(x)?0?1. …………………9分 当?1?x?0时，g(x)?1等价于f(x)?x. 设h(x)?f(x)?x，则h'(x)??xex?1．

当x?(?1,0)时，0??x?1,0?ex?1,则0??xex?1,

从而当x?(?1,0)时，h'(x)?0，h(x)在(?1,0)单调递减．…………………12分 当x?(?1,0)时，h(x)?h(0)?0, 即f(x)?x?h(0)?0,所以f(x)?x， 故g(x)＜1． 综上，总有g(x)＜1．

20. （本小题满分13分）

…………………14分

?c2e???22解：（I）由题意?a2，解得a?4,b?2.

?2ab?42?y2x2故椭圆C的标准方程为??1. ……………3分

42（II）设点A，B的坐标分别为(2,t),(x0,y0)，其中y0?0，

uuruuur因为OA?OB，所以OA?OB?0，即2x0?ty0?0， ……………4分

解得t??2x022，又2x0?y0?4， y0所以|AB|2?(x0?2)2?(y0?t)2

=(x0?2)?(y0?22x02) y0

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4x02=x0?y0??4 2y0224?y022(4?y02)y0282=y0?=??4??4(0?y?4)，……………5分 0222y02y02

y028因为?2?4(0?y02?4)，当且仅当y02?4时等号成立，所以|AB|2?8，

2y0故线段AB长度的最小值为22. ……………7分 （III）直线AB与圆x2?y2?2相切. ……………8分 证明如下：

设点A,B的坐标分别为(x0,y0)，(2,t)，其中y0?0.

因为OA?OB，所以OA?OB?0，即2x0?ty0?0，解得t??2x0. ……………9分 y0直线AB的方程为y?t?y0?t(x?2)， x0?2即(y0?t)x?(x0?2)y?2y0?tx0?0， ……………10分

圆心O到直线AB的距离d?分

由y02?2x02?4，t??tx0?2y0(y0?t)?(x0?2)22, ……………11

2x0， y04?y02y0y0?8y0?162y0242故 d?2x022y0?y0x02?y02?4x0?42y02??2 ，

所以 直线AB与圆x2?y2?2相切. ……………13分

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