2019年西南交通大学物理科学与技术学院869量子力学考研强化五套模拟题

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2019年西南交通大学物理科学与技术学院869量子力学考研强化五套模拟题（一） (2)

2019年西南交通大学物理科学与技术学院869量子力学考研强化五套模拟题（二） (12)

2019年西南交通大学物理科学与技术学院869量子力学考研强化五套模拟题（三） (21)

2019年西南交通大学物理科学与技术学院869量子力学考研强化五套模拟题（四） (30)

2019年西南交通大学物理科学与技术学院869量子力学考研强化五套模拟题（五） (40)

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第 2 页，共 48 页 2019年西南交通大学物理科学与技术学院869量子力学考研强化五套模拟题（一） 特别说明：

1-本资料为2019考研学员暑期强化班模拟题，检验强化阶段复习质量及复习效果使用。

2-资料仅供考研复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。

一、简答题

1． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。

对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。

2． 反常塞曼效应的特点，引起的原因。

【答案】原因如下：

（1）碱金属原子能级偶数分裂；

（2）光谱线偶数条；

（3）分裂能级间距与能级有关；

（4）由于电子具有自旋。

3． 写出泡利矩阵。 【答案】

4． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由.

【答案】量子态的叠加原理：若

为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量.因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

5． 什么样的状态是定态，其性质是什么？

【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变

6． 简述波函数的统计解释。

【答案】波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

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7． 归一化波函数是否可以含有任意相因子

【答案】可以。因为如果

对整个空间积分等于1，则

对整个空间积分也等于1。

即用任意相因子

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

归一化。

8． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？

【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。

9． 能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

10．

写出角动量的三个分量的对易关系.

【答案】这三个算符的对易关系为

二、证明题

11．设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，

【答案】设束缚定态为

即有：

因A 不显含时间t ,所以

因而有：

12．（1）设与pauli 算符对易，证明

（2）试将表示成

的线性叠加.其中为单位算符.

【答案】（1）

利用

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化简可得：

（2）

三、计算题

13．考虑在无限深势阱（0＜x ＜a ）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，写出体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出其简并度。

【答案】二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为：

（1）基态：

空间部分波函数是对称的

：

自旋部分波函数是反对称的：

总波函数为：

（2）第一激发态：

空间部分波函数：

自旋部分波函数：

二电子体系的总波函数为：

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基态不简并，第一激发态是四重简并的。

14．假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场B 沿z 轴正向，电子磁矩在均匀磁场中的势能：这里为电子的磁矩；

自旋用泡利矩阵表示；

（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：

提示：忽略电子轨道运动，此时T=0。

（2）假设t=0时，电子自旋指向x 轴正向，即

求t ＞0时，自旋的平均值。提示：

（3）求t ＞0时，电子自旋指向y 轴负向，即

的几率是多少？ 【答案】（1）忽略电子轨道运动，

其中，

是玻尔磁子。所以哈密顿为：

薛定谔方程为：

（2）在表象中求解，自旋波函数可表示为：

即：

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式中，

设t= 0时，电子的自旋指向x 轴正向，

对应波函数为满足即

并满足归一关系：可得：

即，可得：

时刻t ，自旋的平均值：

所以：

（3）假设t 时刻，的几率为P ，则的几率为

所以：

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