2010年广东省高考数学题型聚焦(1)

三角,共6份

1 〔内部资料，请勿外传〕

2010年广东高考热点题型聚焦（一）《三角》

市教育局教研室 黄开明

广东课标高考三年来风格特点

“保持对三角内容的考查重在化归与转化等数学思想方法和函数属性的考查”（文理姐妹题，差别不是很大）

从改变风格，体现创新，又顾及考生的适应性考虑

需关注解三角形“形式化”的应用.

参考题目：

1．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 所对应的边长,且222.b c a bc +-= （Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）若222sin sin sin A B C +=，试判断△ABC 的形状并求角B 的大小.

解：（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-

222

cos 2b c a A bc +-∴=，又∵2

22.b c a bc +-= 1

c o s ,

2A ∴= ∵0A π<< ∴3A π

= …………6分

（Ⅱ）∵222sin sin sin A B C +=，由正弦定理得222

222444a b c R R R +=…………8分

即: 222a b c += 故△ABC 是以角C 为直角的直角三角形……………10分 又,36A B π

π

=∴=…………………………………………………………12分

2．已知：△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且

cos()cos sin sin()sin(2)22A B B A C ππ

π-?+?+=-.

(1)求角C 的大小；

(2)若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且18CA CB ?= ，求c 边的长.

解：(1) 由cos()cos sin sin()sin(2)22A B B A C ππ

π-?+?+=-得

sin cos sin cos sin 2A B B A C ?+?=--------------------------2分

∴sin()sin 2A B C +=，--------------------------------------3分

∵,sin()sin A B C A B C π+=-∴+=

∴sin sin 22sin cos C C C C ==，-----------------------------4分

∵0C π<< ∴sin 0C >

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2 ∴1

cos 2C = ∴.3C π

= --------------------------------6分

(2)由sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，得2sin sin sin C A B =+，

由正弦定理得.2b a c +=------------------------------------------8分 ∵18CA CB ?= ，

即.36,18cos ==ab C ab ----------------------------------------10分 由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=，

36,3634222=?-=∴c c c ，

.6=∴c ---------------------------12分

3．在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,

，满足sin 25A =，且ABC ?的面积为2．

（Ⅰ）求bc 的值；

（Ⅱ）若6=+c b ，求a 的值．

解：（Ⅰ）∵,55

2sin =A

π<<A 0

∴cos 2A =. ∴4

sin 2sin cos 225A

A

A ==. ∵2sin 21

==?A bc S ABC ，

∴5=bc . --------------------6分 （Ⅱ）∵,55

2sin =A ∴53

2sin 21cos 2=-=A

A .

∵5=bc ，6=+c b ，

∴A bc c b a cos 2222-+=)cos 1(2)(2A bc c b +-+=20=

∴52=a . -----------12分

4. 在△ABC 内，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，,,a b c 成等差数列，且 2a c =.

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3 (Ⅰ)求cos A 的值；

(Ⅱ)

若ABC S ?=b 的值.

解：（Ⅰ）因为,,a b c 成等差数列，所以b c a 2=+ ， ……………2分 又2a c =，可得c b 23

= ， ……………4分 所以22222229

41

4cos 32422

c c c b c a A bc c +-+-===-? ， ……………6分

（Ⅱ）由（I ）41

cos -=A ，),0(π∈A ，所以415

sin =A ， ……………8分

因为 415

3=?ABC S ， A bc S ABC sin 21

=? ，

所以

2113sin 222ABC S bc A c ?==?=， ……………11分

得 42=c ，即2=c ，3=b . ……………13分

5．如图，在四边形ABCD 中，3AB =，2AD BC CD ===

，60A = . （Ⅰ）求sin ABD ∠的值； （Ⅱ）求BCD ?的面积.

解：（Ⅰ）已知60A = ， 由余弦定理得2222cos 7BD AB AD AB AD A =+-?=，

解得BD = …………………3分

由正弦定理，sin sin AD

BD

ABD A =∠，资料来源：数学驿站

所以sin sin AD

ABD A BD ∠=. …………………5分

==. …………………7分

（Ⅱ）在BCD ?中，2222cos BD BC CD BC CD C =+-?，

所以744222cos C =+-??，1

cos 8C =， …………………9分

A B C D

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4 因为(0,)C ∈π

，所以sin 8

C =， …………………11分 所以，BC

D ?

的面积1sin 24

S BC CD C =??=. …………………12分 从改变风格，体现创新，强调应用，支持课改考虑

需关注《三角》的本源（测量学），也就是解三角形的实际应用，突出体现正弦定理和余弦定理在测量中的作用，同时考查学生对方位角、俯角、仰角等概念的识记和理解.

参考题目：

1．如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面

内沿南偏西60°的方向前进了40m 以后，在点D 处望见塔的底

端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB ∠=α,α的最大

值为30°，求塔的高. 资料来源：数学驿站

解：依题意知在△DBC 中30BCD ∠= ,18045135DBC ∠=-=

CD=40,则15D ∠= ， 由正弦定理得sin sin CD BC DBC D

=∠∠ ∴sin 40sin15sin sin135CD D BC DBC ?∠?==∠

40=在Rt △ABE 中，tan AB BE α=

∵AB 为定长 ∴当BE 的长最小时，α取最大值30°，这时BE CD ⊥

当BE CD ⊥时，在Rt △BEC 中sin BE BCD BC ∠=

,sin BE BC BCD =?∠ ∴tan30sin tan30AB BE BC BCD =?=?∠?

110(3233?=（m ）

答：所求塔高为

10(33m.

2．海岛B 上有一座高10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一

游船位于岛北偏东15 方向上，且俯角为30 的C 处，一分钟后测得该

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5

游船位于岛北偏西75 方向上，且俯角45

的D 处（假设游船匀速行驶）.

(Ⅰ)求该船行使的速度（单位：米/分钟）；

(Ⅱ)又经过一段时间后，油船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时 游船距离海岛B 多远.

解：(Ⅰ)在Rt ?ABC 中，=60BAC ∠

，AB = 10，则BC

= 在Rt ?ABD 中，=45BAD ∠

，AB = 10，则BD = 10米 在Rt ?BCD 中，=75+15=90BDC ∠

，

则CD

=

米 所以速度v = 1

CD

= 20 米/分钟

（Ⅱ）在Rt BCD ?中，=30BCD ∠

，

又因为=15DBE ∠ ，所以=105CBE ∠ ，所以=45CEB ∠

在BCE ?中，由正弦定理可知sin 30sin 45EB BC =

，

所以sin 30sin 45BC EB =

=

米. 3．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知50AB m =，120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求∠DEF 的余弦值。

解：作//DM AC 交BE 于N ，交CF 于M ．

DF ===

130DE ，

150EF ===．

在DEF ?中，由余弦定理，

2222221301501029816

cos 2213015065

DE EF DF DEF DE EF +-+-?∠===???.

4．已知海岸边,A B 两海事监测站相距60 mile n ,为了测量海 平面上两艘油轮,C D 间距离,在,A B 两处分别测得75CBD ∠=

,

30ABC ∠= , 45DAB ∠= ,60CAD ∠= （,,,A B C D 在同一个

水平面内）.请计算出,C D 两艘轮船间距离．

解：方法一：在ABD ?中，由正弦定理得：

sin sin AD AB

ABD ADB

=∠∠，

∴6060sin(3075)60sin 7541sin[180(453075)]sin 30

2

AD +====-++

同理，在在ABC ?A

D

E B

C

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6 中，由正弦定理得：

sin sin AC AB ABC ACB

=∠∠

16060sin 302sin[180(453060)]sin 45AC ?====-++ ∴计算出,AD AC 后，再在ACD ?中，应用余弦定理计算出CD 两点间的距离：

CD ==

=

3

=

33= ∴,C D

两艘轮船相距 mile n ．

方法二：在ABC ?中，由正弦定理得：

sin sin BC AB BAC ACB

=∠∠，

∴6060sin(6045)60sin 751)sin[180(456030)]sin 45BC +====-++ 同理，在在ABD ?中，由正弦定理得：sin sin BD AB BAD ADB

=∠∠

606060sin 45221sin[180(453075)]sin 30

2

BD ====-++ ∴计算出,BC BD 后，再在BCD ?中，应用余弦定理计算出CD 两点间的距离：

CD =

=

=

3=

33=

∴,C D

两艘轮船相距 mile n ．

5．如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为

两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得B 点和D 点的

仰角分别为075，0

30，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为 060，AC=0.1km 。试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离

相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km

，≈1.414，

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7 ≈2.449） 解：在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,

所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，

故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ，

在△ABC 中，,AB C sin C B C A sin ∠=∠A AB

即AB=,20

62315sin ACsin60+= 资料来源：数学驿站 因此，

0.33km ≈ 故B ，D 的距离约为0.33km.

从延续风格又体现常考常新考虑

三角函数需进一步关注其函数属性与特征，关注课标高考尚未出现的考点;形式上需关注“给图定式”，或继续向量“外衣”.

参考题目：

1．已知函数()sin()(0,0,||)2

f x A x A πω?ω?=+>><的部分图象如图所示. (Ⅰ) 求函数()f x 的解析式；

(Ⅱ) 若4(),0253

f απα=<<，求cos α的值. 解：（Ⅰ）由图象知1A =

()f x 的最小正周期54()126T πππ=?-=,故22T

πω== 将点(,1)6π代入()f x 的解析式得sin()13π?+=,又||2π?<, ∴6

π?= 故函数()f x 的解析式为()sin(2)6

f x x π=+ (Ⅱ) 4(),25f α=即4sin()65πα+=，注意到03πα<<，则662

πππα<+<， 所以3cos()65

πα+=.

又cos [()]cos()cos sin()sin 666666ππππππαααα=+-=+++= 2．已知函数()sin()f x A x ω?=+，(0,||)ω?π><部分图像如图所示。

（1）求,ω?的值；

（2）设()()()4g x f x f x π=-

，求函数()g x 的

单调递增区间。

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解：（Ⅰ）由图可知ππ

π

=-

=)4

2

(

4T ,22==

T

π

ω， 又由1)2

(=π

f 得，1)sin(=+?π，又(0)1f =-，

得 s i n

1?=-

π?<||2

π

?-

=∴，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x x x f 2cos )2

2sin()(-=-

=π

()(cos 2)[cos(2)]cos 2sin 22g x x x x x π=---=1

sin 42

x =

∴24222k x k ππππ-≤≤+，即

(Z)2828

k k x k ππππ

-≤≤+∈ 故函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828

k k k ππππ-+∈.

3.已知函数()sin()(0,0,||)2

f x A x A π

ω?ω?=+>><的部分图象如图所示.

(Ⅰ) 求函数()f x 的解析式；

(Ⅱ) 如何由函数2sin y x =的图象通过适当的变换得到函数

()f x 的图象, 写出变换过程. 解:（Ⅰ）由图象知2A =

()f x 的最小正周期54()126T πππ=?-=,故22T

π

ω=

= 将点(

,2)6π

代入()f x 的解析式得sin()13π?+=,又||2π?<,∴6

π

?=

故函数()f x 的解析式为()2sin(2)6

f x x π

=+

（Ⅱ）变换过程如下:

2sin y x = 2sin()6y x π=+ 2sin(2)6

y x π

=+

另解: 2sin y x =

2sin 2y x = 2sin(2)6

y x π

=+

4．如图，函数y=2sin(πx φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2

π

)的图象与y 轴交于点（0，1）. (Ⅰ)求φ的值；

图象向左平移6π

个单位 所有点的横坐标缩短为原来的1

2

纵坐标不变 图象向左平移12π个单位 所有点的横坐标缩短为原来的1

2

纵坐标不变

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9 (Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，

求PM 与PN 的夹角的余弦.

解：（I ）因为函数图像过点(0,1)，

所以2sin 1,?=即1sin .2?=

因为02π

?≤≤，所以6π

?=.

（II ）由函数2sin()6y x π

π=+及其图像，得

115(,0),(,2),(,0),636M P N -- 所以11(,2),(,2),22PM PN =-=- 从而 cos ,||||PM PN PM PN PM PN ?<>=? 1517

=， 5．已知函数()sin()(0,0π)f x x ω?ω?=+><<任意两相邻零点的距离为π，且其图像经过点π132M ?? ???

，. (Ⅰ) 求()f x 的解析式；

(Ⅱ) 在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，(

)()1,32

f A a b c b c ==+=>，求ABC ?的面积．

解：(Ⅰ)依题意有2T π=，则21T

πω==， 所以()sin()f x x ?=+.将点1(,)32M π代入得1sin()32

π?+=，而0?π<<， 536π?π∴+=，2π?∴=，故()sin()cos 2

f x x x π=+=； (Ⅱ)由()12f A =，得1cos 2A =．注意到0A π<<，所以3

A π=． 根据余弦定理，得223b c bc +-=，即()233,2b c bc bc +-==．

所以11sin 2sin 223ABC S bc A π?=

=??=. 6.设向量cos sin m x x = （，），(0,)x π∈

，(1,

n = ． （1

）若||m n -=

x 的值； （2）设()()f x m n n =+? ，求函数()f x 的值域．

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10 解：（1

）(cos 1,sin m n x x -=-

由||m n -=

22cos 2cos 1sin 35x x x x -++-+=

整理得cos x x =

显然cos 0x ≠

∴tan 3

x =-

∵(0,)x π∈，∴56x π= （2

）(cos 1,sin m n x x +=+

∴()()f x m n n =+?

＝(cos 1,sin x x +

cos 13x x =++

＝1cos )42

x x ++＝2sin()46x π++ ∵0x π<< ∴

7666x πππ<+< ∴1sin()126x π-<+≤12sin()26

x π?-<+≤ ∴32sin()466x π

<++≤，即函数()f x 的值域为(3,6].

7．已知向量(,)m a c b =+ ，(,)n a c b a =-- ，且m n ⊥ ，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分

别是角,,A B C 的对边.

(1) 求角C 的大小；

（2）求sin sin A B +的取值范围.

解：（1）由m n ⊥ 得0m n ?= 得()()()0a c a c b b a +-+-=222a b c ab ?+-=-----------2分 由余弦定理得2221cos 222

a b c ab C ab ab +-===--------------------------------4分 ∵0C π<< ∴3C π=

-------------------------------------------6分 (2)∵3C π

= ∴23

A B π+= ∴sin sin A B +=2sin sin()3A A π+-22sin sin cos cos sin 33

A A A ππ=+-

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11 3

sin cos 22A A =

+1

cos )22A A =+

)6A π

=+--------------------------------------------9分 ∵203A π

<< ∴5666A π

ππ

<+<------------------------------10分 ∴1

sin()126A π

<+≤

)6A π

<+≤

即sin sin 2A B <+≤分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lpq4.html