2015年春季五年级奥数讲义

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第一讲 定义新运算

?知识精要

1、我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等。如：2＋3＝5，2×3＝6。都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”。

2、解题关键：是要正确理解新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行计算。

3、注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律、结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的、通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。 ?例题精讲：

例1、设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。 （1）求5△6；6△5。

（2）求（17△6）△2 ；17△（ 6△2）。

（3）这个运算△有交换律和结合律吗？

1

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（4）如果已知4△b=2,求b。 练习：

1、设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。

2、设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算： （1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）

例2、对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b。 （1）求6 ⊕ 2；2 ⊕ 6。

（2）求（17 ⊕ 6） ⊕ 2 ；17 ⊕ （ 6 ⊕ 2）。

2

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（3）这个运算⊕有交换律和结合律吗？

（4）如果5⊕x=17,求x。 练习：

1、对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。

（1）求3⊕5, 5⊕3 。 （2）求12⊕ （3⊕4）, （12⊕ 3）⊕4。

2、对于两个数A与B，规定：A○B=A×B÷2。试算6○4，4○6。

例3、如果：2△3=2＋3＋4,5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。

3

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练习：

1、如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算：3▽4。

2、如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。

例4、对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+?(a+b－1)。 已知x□6=27，求x。 练习：

1、如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。

2、对于两个数a与b，

规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+?+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。

4

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例5、2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：7▽3。 练习：

1、有一个数学运算符号“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。按此规律计算：8▽4。

2、⊙表示一种新运算符号。已知2⊙3=9，7⊙2=15，3⊙5=25。 按此规律计算：16 ⊙4。

?针对练习：

1、有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17， 求A。

5

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例5、12和18两个数的最小的公倍数是 ？ 方法一：（求两个数的倍数）

方法二：（分解质因数）

方法三：（短除法）

练习：求下面各组数的最小公倍数。

7和14 15，70和25 45和36

例6、用短除法求最大公因数和最小公倍数。

99和11 64和16

11和12 13和17

16

16，64和24 5 ，45和15 8，9和7 57和9

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总结：

（1）当两个自然数是 关系时，它们的最大公因数是 ，它们的最小公倍数是 。

（2）当两个自然数是 关系时，它们的最大公因数是 ，它们的最小公倍数是 。

练习：求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。

50和75 78和26 6和11 36和54

15和20 35和42 8、24和36 45、60和75

?针对练习 一、填空：

1、写出下列数的所有因数

16（ ） 87（ ） 23（ ） 45（ ）

17

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81（ ） 9（ ） 62（ ） 14（ ） 2、30＝1×30＝（ ）×（ ）＝（ ）×（ ）＝（ ）×（ ） 3、6×4=24，6和4是24的（ ），24是6的（ ），也是4的（ ）。 4、一个数，既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）。

5、既是42的因数，又是7的倍数，这些数有（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。 6、既是24的因数又是8的倍数：

7、能同时被2、3、5整除的两位数有( )。

8、有因数3，也是2和5的倍数的最小三位数是（ ）。

9、凡是个位上是（ ）或（ ）的数，都是5的倍数。一个数既是2的倍数，又是5的倍数，这个数的个位上的数字一定是（ ）。

10、一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（ ）；一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是（ ）。

11、在自然数中，最小的奇数是( )，最小的偶数是( )

12、 48的最小倍数是（ ），最大因数是（ ）。最小因数是（ ）。 13、 用5、6、7这三个数字，组成是5的倍数的三位数是（ ）；组成一个是3的倍数的最小三位数是（ ）。

14、在 27、68、44、72、587、602、431、800中。

奇数是（ ），偶数是（ ）。 15、如果275□4是3的倍数，那么□里最小能填（ ），最大能填（ ）。 16、a是大于0的自然数，它的最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。 17、最小的自然数是( )；最小的奇数是( )；最小的偶数是( )；最小的质数是( )；最小的合数是( )。

18、即有因数2，又有因数3的最小数是( )；既有约数2，又有因数5的最小数是( )；既有因数3，又有因数5的最小的数是( )。

19、既不是质数，又不是偶数的最小自然数是( )；既是质数；又是偶数的数是( )；

18

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既是奇数又是质数的最小数是( )；既是偶数，又是合数的最小数是( )；既不是质数，又不是合数的最小数是( )；既是奇数，又是合数的最小的数是( )。 20、除以2、5、3余数都是1的数，其中，最小的一个是( )。

21、甲数除以乙数的商是15，甲乙两数的最大公因数是( )；最小公倍数是( )。 22、从0、2、3、5、7五个数中，选四个数组成一个同时能被2、3、5整除的最小的四位数( )。

23、A＝2×2×5，B＝2×3×5，那么 A、B 的最小公倍数是（ 二、判断题

1、任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。 2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。 3、个位上是0的数都是2和5的倍数。 4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。 5、5是因数，10是倍数。 6、任何一个自然数最少有两个因数。 7、一个自然数越大，它的因数个数就越多。 8、任何数都没有最大的倍数。 9、1是所有非零自然数的因数。 10、一个数的因数总是比这个数小。 11、互质的两个数中，至少有一个是质数。 12、所有的质数都是奇数。 13、质因数必须是质数，不能是合数。 14、有公约数1的两个数一定是互质数。 15、1是质数而不是偶数。 16、质数一定是奇数，合数一定是偶数。 17、两个质数的和一定是偶数。 18、除2以外，所有的质数都是奇数。

19

）。

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

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19、连续的两个自然数相加的和一定是奇数。 ( ) 20、两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小． ( )

三、选择题

1、15的最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。 ①1 ②3 ③5 ④15 2、在14＝2×7中，2和7都是14的（ ）。 ①倍数 ②因数 ③偶数

3、一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ①6 ②12 ③24 ④144 4、自然数中,凡是17的倍数（ ）。

①都是偶数 ②有偶数有奇数 ③都是奇数 5、下面的数，因数个数最多的是（ ）。 ① 18 ② 36 ③ 40 6、自然数按是不是2的倍数来分，可以分为（ ）。 ①奇数和偶数 ②倍数和因数 ③倍数、因数和0 7、甲数×3=乙数，乙数是甲数的（ ）。 ① 倍数 ② 因数 ③ 自然数 8、同时是2、3、5的倍数的数是（ ）。

① 18 ② 120 ③ 75 9、在100以内，能同时被3和5整除的最大奇数是（ ① 95 ② 90 ③ 75 10、从323中至少减去（ ）才能被3整除。 ①减去3 ②减去2 ③减去1 11、已知a能整除19，那么a（ ）

①是38 ②必定是19 ③是整数 12、一个数的最大因数（ ）它的最小倍数．

20

。 ④ 810 ）。 ④是1或者19 ）

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①＞ ②＜ ③＝

13、几个质数的连乘积是（ ）

①合数 ②质数 ③最大公因数 ④最小公倍数 14、甲是乙的15倍，甲和乙的最小公倍数是（ ）

①15 ②甲 ③乙 ④甲×乙 15、一个数的最大因数（ ）它的最小倍数． ①＞ ②＜ ③＝ 16、已知a能整除19，那么a（ ）

①是38 ②必定是19 ③是整数 ④是1或者19 17、一棵桔子上结了不少桔子，表示桔子个数的数是（ ） ①小数 ②分数 ③自然数 18、下列除不尽的算式是（ ）

①16÷8＝2 ②5÷2＝2.5 ③12÷18＝0.6..... 19、一个质数的因数有（ ）个。

① 1 ② 2 ③ 3 20、在100以内，能同时被3和5整除的最大奇数是（ ）。 ① 95 ② 90 ③ 75 21、从323中至少减去（ ）才能被3整除。

①减去3 ②减去2 ③减去1 22、20的质因数有（ ）个。

① 1 ② 2 ③3 23、下面的式子，（ ）是分解质因数。

①54＝2×3×9 ②42＝2×3×7 ③15＝3×5×1

四、1、2、3、6、8、16、24、32、84、96各数按要求填在横线上。

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6的倍数 8的倍数 24的因数 32的因数 五、 从0、3、6、9中任意选出3个数字，组成符合要求的三位数， （1）3的倍数有：

（2）同时是2、5的倍数有： （3）同时是2、3的倍数有： （4）同时是2、3、5的倍数有：

六、食品店运来75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？

七、晚上小明家正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了5下开关，这时灯是亮还是暗？如果按了50下呢？

八、（思考题）偶数+偶数= 奇数+奇数= 偶数+奇数=

不计算，直接判断下列算式的结果是奇数还是偶数，填在横线上。

1428+205 65+285 365+447 100+232 454+222 15+488 546+258 223+3 1454+54 454+236 14+258 25+958

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九、找出下列数中的合数，并把它们分解质因数。

20 29 45 53 91 102 117

十、求下面各组数的最大公因数。

56和42 84和105 54

十一、求下面各组数的最小公倍数。

18和36 45和135 8

、72和90 60、18和72 23

、90和120

48、16和24

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第四讲 倍数与因数（二）

?知识精要：

能被2整除的数的特征： 个位上是0,2,4,6,8的数； 能被5整除的数的特征： 个位上是0或5的数；

能被3整除的数的特征： 各个数位上数字之和是3的倍数； 能被2、5整除的数的特征： 个位数字是0；

能被2、3、5整除的数的特征： 个位数字是0，并且能被3整除； 能被4整除的数的特征： 末两位能被4整除； 能被8整除的数的特征： 末三位能被8整除；

能被9整除的数的特征： 各个数位上数字之和能被9整除 ；

能被7，11和13整除的数的特征： 末三位数字所表示的数与末三位前面的数字所组成的数的差（大数减小数）能被7或11或13整除。

?例题精讲：

例1、在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234， 789， 7756， 8865， 3728， 8064。

例2、在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？

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例3、从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，3，5整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

例4、五位数

例5、六位数

例6、要使六位数

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能被72整除，问：A与B各代表什么数字？

是6的倍数，这样的六位数有多少个？

能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？

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?针对练习:

1、求360有多少个约数？其约数和是多少？

2、求437和323的最大公约数是多少（用辗转相除法）？

3、将一个长、宽分别是1833cm和423cm的长方形分割成若干个正方形，则正方形最少可以分割成多少个？

4、用216元去买一种钢笔，正好将钱用完。如果每支钢笔便宜一元，则可以多买3支钢笔，钱也正好用完。问共买了多少支钢笔？

5、165有多少个约数？其约数和是多少？

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6、小明用2.16元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。问小明买了多少张画片？

7、求10×11×12×13×14×??×98×99×100它所包含的因数5的个数。

8、自然数6的因数有1、2、3、6，这些因数之和除去它本身即为1+2+3=6，我们将除去他本身，其他的因数之和为它本身的数称之为“完全数”，30以内还有一个“完全数”，请你找到它。

9、已知一个自然数，它最小两个因数的和是4，最大两个因数的和是60，这个自然数是多少？

10、将一个三位数的个位上与百位上数字对调位置，得到一个新的三位数。已知这两个三位数的积等于65125，这两个三位数的和是多少？（思考）

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第六讲 长方体和正方体（一）

?例题精讲：

例1、将下面的硬纸板按虚线折成一个立方体，哪两个面是相对的？

例2、 用8块棱长1厘米的立方体小木块拼成长方体（含正方体），其中表面积最小的是哪个？最小表面积是多少？

例3、 将一个长12厘米，宽9厘米，高5厘米的长方体，切成两个长方体。 （1）两个长方体表面积的总和最大？

（2）两个长方体表面积的总和最小？

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例4、一张长、宽分别为12 dm、10dm的长方形铁皮，在它的4个角各剪去一个边长为2 dm的小正方形，焊接成一个无盖的铁皮箱，这个铁皮箱的容积大约是多少升？

例5、观察计算，玻璃杯中原有500mL水，现在在玻璃杯中放入一个土豆，则玻璃杯的水到了625mL，求土豆的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？

例6、一个长方体形状的玻璃缸，长16厘米，高20厘米，缸内有水，水深15厘米（如右图）。将这个玻璃缸翻转，使它的右面朝下，这时水深是多少厘米？

例7、一块正方体木头，棱长6厘米，在6个面的中央挖一个长、宽、高都是2厘米的洞孔，这时它的表面积、体积各是多少？

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?针对练习：

1、下列哪些图形能拼成正方体？

2、一本数学书的体积大约3000立方厘米，则10本书的体积是 立方厘米，相当于___________立方分米。

3、在原有水500mL的玻璃杯中放一个苹果后，则 玻璃杯的水上升到855mL，则这个苹果的体积为________立方分米。

4、 7.85m3=（ ）dm3 0.6m3=（ ）dm3 650dm3=（ ）m3

4500cm3=（ ）dm3 1.4m3 =（ ）dm3 2.7dm3=（ ）cm3 360cm3=（ ）dm3 2800dm3=（ ）m3 40dm3 =（ ）m3 25dm3=（ ）cm3 5、将一个正方体钢坯锻造成长方体，则正方体与长方体的_________不变。 6、一个菜窖能容纳6立方米白菜，这个菜窖的__________是6立方米。

7、迎迎用几个体积为8cm3的正方体积木做了一个几何体，则这个几何体的体积为多少？

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lpm.html