第九章 重积分

第九章 重积分

§ 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值

I???x2?y2dxdy 其中D为：x2?y2?4

D ( I???x2?y2dxdy=?.4.2?.?.4.2?D1316?) 32、设D为圆域x2?y2?a2,a?0,若积分

??D?=a?x?ydxdy12，求a的值。

222解：

??D3a?x?ydxdy=2.3?.a a?8

2221413、设D由圆(x?2)2?(y?1)2?2围成,求??3dxdy

D 解：由于D的面积为2?, 故??3dxdy=6?

D4、设D：{(x,y)|3?x?5,0?y?1}，

I1???ln(x?y)dxdy,I2???[ln(x?y)]2dxdy，比较I1, 与I2的大小关系

DD解：在D上，ln(x?y)? [ln(x?y)]2,故I1?I2

5、 设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 x2?y2?1, 和曲面z?[f(xy)]2所围的

立体的体积，可用二重积分表示为V???[f(xy)]2dxdy

D:x2?y2?16、根据二重积分的性质估计下列积分的值

??sin2xsin2ydxdy D:0?x??,0?y??

D (0?22sinxsinydxdy??2) ??D7、设f(x,y)为有界闭区域D：x2?y2?a2上的连续函数，求 lim解：利用积分中值定理及连续性有lim1a?0?a2D8??f(x,y)dxdy

Da?01a?0?a2??f(x,y)dxdy?limf(?,?)?f(0,0)

§ 2 二重积分的计算法

xdxdy，其中D是由抛物线y?x2?1与直线y=2x，x=0所围成的区y?1D域，则I=（ ）

7191 A ： ?ln3?ln2? B ： ln3?ln2?

82829191 C ： ln3?ln2? D ： ln3?ln2?

8482 2、设D是由不等式x?y?1所确定的有界区域，则二重积分??(x?y)dxdy为

1、设I???D （ ）

12A ：0 B： C ： D： 1

333、设D是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分 ??yexydxdy为（ ）

D1111 A：e4?e2?e B ：e4?e2?e?e2

2222111 C ：e4?e D：e4?e2

22214、 设f(x,y)是连续函数，则二次积分?dx??101?x2x?1f(x,y)dy为（ ）

1y?1 A ?0dy??1f(x,y)dx??1dy??1C ?0dy??1f(x,y)dx??1dy??11y?121y?12y2?1f(x,y)dx B ?0dy??1f(x,y)dx

?y2?1f(x,y)dx D ?0dy??12?y2?1f(x,y)dx

5、设有界闭域D1、D2关于oy轴对称，f是域D=D1+D2上的连续函数，则二重

积分??f(x2y)dxdy为（ ）

D A 2??f(x2,y)dxdy B 4??f(x2,y)dxdy

D1D2 C 4??f(x2,y)dxdy D

D112f(x,y)dxdy ??2D26、设D1是由ox轴、oy轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f是域D:|x|+|y|≤1

上的连续函数，则二重积分??f(x2y2)dxdy为（ ）

D A2??f(x2,y2)dxdy B 4??f(x2,y2)dxdy

D1D1 C 8??f(x2,y2)dxdy D

D1122f(x,y)dxdy ??2D17、.设f(x,y)为连续函数，则?dx?f(x,y)dy为( )

00ax A ?dy?f(x,y)dx B ?dy?f(x,y)dx

0y0aaaay C ?dy?f(x,y)dx D ?dy?f(x,y)dx

0000ayax8、求 I???D3x29dxdyD: ，其中 由x=2,y=x,xy=1所围成. () 24y

lnx9、设I=?dx?1 I=?dx?130lnxf(x,y)dy,交换积分次序后I为：

ln330e0f(x,y)dy=?dy?yf(x,y)dx

2x44?x2010、改变二次积分的次序： ?0dx?0f(x,y)dy??2dx?0f(x,y)dy = ?xdx?1x2x1y2dx

11、设 D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1} ,求??ex?ydxdy的值

D 解：??eDx?ydxdy=?dx?e001l1x?ydy?(?edx)(?eydy)?(e?1)2

001x1112设 I=??R2?x2?y2dxdy,其中D是由x2+y2=Rx所围城的区域，求I (?R3)

3D13、计算二重积分??|x2?y2?4|dxdy，其中D是圆域x2?y2?9

D 解：??|x2?y2?4|dxdy=?d??(4?r2)rdr??d??(r2?4)rdr?D00022?22?341? 214、计算二重积分??eDmax{x2,y2}dxdy，其中D={(x,y)| 0≤x≤1,0≤y≤1}

x2 解： ??emax{xD2,y2}dxdy=?dx?exdy??dy?eydx?e?1

000011y215、计算二重积分??Dx?ydxdy，D：x2?y2?1,x?y?1. 22x?y?1x?yr(cos??sin?)4??2d? 解：??2= dxdyrdr?122??02rcos??sin?Dx?y

§ 3 三重积分

1、设?是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则???xdxdydz为

?( )

A ?dx?dy?00111?x?2y0xdz B ?dx?011?y20dz?1?x?2y0xdy

C ?dx?011?x20dy?1?x?2y02

2

xdz D ?dx?dy?xdz

000

1112、设?是由曲面x+y=2z,及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分???f(x,y,z)dxdydz表示为累次积分，I=（ ）

? A ?d??d??2f(?cos?,?sin?,z)dz B ?d??d??2f(?cos?,?sin?,z)?dz

0000002?1?22?2?2 C ?d??d???2f(?cos?,?sin?,z)?dz D ?d??d??f(?cos?,?sin?,z)?dz

0022?222?22000 3、设?是由x2?y2?z2?1所确定的有界闭域，求三重积分???e|z|dv

? 解：???e|z|dv=?e|z|(??11x2?y2?1?z2z2=2?e(1?z)dz?2? dxdy)dz???014、设?是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求???xy2z3dxdydz

?(1/364)

zln(x2?y2?z2?1)5、设?是球域：x?y?z?1，求???dxdydz (0) 222x?y?z?1?2226、计算???(x2?y2)dxdydz 其中?为：平面z=2与曲面x2?y2?2z2所围成的

Q64?) 57、计算???x2zdxdydz其中?是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所围成的闭区域

区域 (

Q(2/27))

8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求lim

1解：lim4???f(x2?y2?z2dxdydz

t?0?tx2?y2?z2?t21=lim4t?0?t1t?0?t4x2?y?z?tf(x2?y2?z2)dxdydz ???222?2?0d??d??f(r)r2sin?dr?lim00t?0?t4?r2f(r)dr0tt4?f'(0)

§4 重积分的应用

1、(1)、由面积x2?y2=2x, x2?y2=4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（ ）

113 A (??2) B (??2) C (??2) D ??2

424(2) 、位于两圆??2sin?与??4sin?之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )

5867 A (0,) B (0,) C (0,) D (0,)

3333(3)、由抛物面z2?y2?4x和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是 （ ）

4557 A (,0,0) B (,0,0) C (,0,0) D (,0,0)

3443(4)、 质量分布均匀(密度为?)的立方体所占有空间区

域:??{(x,y,z)|0?x?1,0?y?1,0?z?1},该立方体到oz轴的转动惯量IZ=( )

124 A ? B ? C ? D ?

3332、求均匀上半球体(半径为R)的质心

813R解：显然质心在z轴上，故x=y=0,z=???zdv? 故质心为(0,0,R)

3V?84、 曲面z?13?x2?y2将球面x2?y2?z2?25分割成三部分，由上至下依次记 这三部分曲面的面积为 s1, s2, s3, 求s1:s2:s3

55 解：S1???dxdy?10? S3???dxdy?20?

222225?x?y25?x?yx2?y?9x2?y?16S2?70?

5、求曲面Rz?xy包含在圆柱x2?y2?R2内部的那部分面积 解：S?x2?y?R2??R2?x2?y22(22?1)?R2 dxdy?R36、求圆柱体x2?y2?2Rx包含在抛物面x2?y2?2Rz和xoy平面之间那部分立

体的体积

123?R32(x?y)dxdy? 解：V??? 2R4x2?y?2Rx 第九章 自测题

一、选择题: （40分） 1、?dx?011?x0f(x,y)dy=( )

1?x0 A?dy?f(x,y)dx B ?dy?0111?x C ?dy?f(x,y)dx D?dy?000110101?yf(x,y)dx

0f(x,y)dx.

D 2、设D为x2?y2?a2,当a?( )时,??a2?x2?y2dxdy??. A 1 B 3331 C 3 D 3 2423、设I???(x2?y2)dxdy,其中D由x2?y2?a2所围成,则I=( B ).

D

A?d??ardr??a B?d??r2?rdr?2400002?a2?a14?a; 22?a2?a2 C?d??r2dr??a3 D?d??a2?adr?2?a4.

00003 4、设?是由三个坐标面与平面x?2y?z=1所围成的空间区域,则

???xdxdydz=( ).

?1111 B ? C D ? .

24482448z2x2y2 5 、设?是锥面2?2?2(a?0,b?0,c?0)与平面x?0,y?0,z?c所围成的

cabxy空间区域在第一卦限的部分,则???dxdydz=( ).

z?1111 Aa2b2c B a2b2b C b2c2a D cab.

36363636 6、计算I????zdv,?为z2?x2?y2,z?1围成的立体,则正确的为( )和（）

A

? A I??d??rdr?zdz B I??d??rdr?zdz C I??d??dz?rdr D I??dz?d??zrdr.

00r0002?112?1102?01010102?rz 7、曲面z?x2?y2包含在圆柱x2?y2?2x内部的那部分面积s?( )

A 3? B 2? C 5? D 22?.

8、由直线x?y?2,x?2,y?2所围成的质量分布均匀(设面密度为?)的平面薄板,关于x轴的转动惯量Ix=( ).

A 3? B 5? C 4? D 6?

二、计算下列二重积分:（20分）

40 1、??(x2?y2)d?,其中D是闭区域:0?y?sinx,0?x??. (?2?)

9D2、??arctand?,其中D是由直线y?0及圆周x2?y2?4,x2?y2?1,y?x所围

Dyx 成的在第一象 限内的闭区域 . (

32

?) 64

3、??(y2?3x?6y?9)d?,其中D是闭区 域:x2?y2?R2 (

D?4R4?9?R2)

4、??x2?y2?2d?,其中D:x2?y2?3. (

D5?.) 2三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）

1、?dy?012y0f(x,y)dx??dy?133?y0f(x,y)dx (?dx?x023?xf(x,y)dy)

2 2、?dx?011?1?x2xf(x,y)dy

22y?y210(?dy?f(x,y)dx??dy?00a1y2f(x,y)dx)

a 3、?d??f(rcos?,rsin?)rdr (?d??f(rcos?,rsin?)rdr)

0000??四、计算下列三重积分:（15分）

1、???ycos(x?z)dxdydz,?:抛物柱面y?x及平面y?o,z?o,x?z???2所围

成的区域 (

1?) 1622、???(y2?z2)dv,其中?是由xoy平面上曲线y2?2x绕x轴旋转而成的曲面与

??2250?) 3xyz五、（5分）求平面???1被三坐标面所割出的有限部分的面积 .

abc122ab?b2c2?c2a2) (211y11六、（5分）设f(x)在[0,1]上连续,试证: ???f(x)f(y)f(z)dxdydz?[?f(x)dx]3

0xx60 平面x?5所围 (

F(x)??f(t)dt,则F?(x)?f(x)0x且F(t)??f(x)dx,F(0)?001

1x?0?x?xf(x)f(y)f(z)dxdydz??f(x)dx?f(y)[F(y)?F(x)]dy?

011y1

1?011111f(x){[(F2(1)?F2(x)]?F(x)F(1)?F2(x)}dx=F3(1)?F3(1)?F3(1)=F3(1)

22626

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lpk8.html