导数及其应用高考题精选（含答案）

导数及其应用高考题精选

1.（2010 ·海南高考·理科T3）曲线y?程为（ ）

（A）y?2x?1 （B）y?2x?1 （C）y??2x?3 （D）y??2x?2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.

【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.

【规范解答】选A.因为 y??率k?y?x??1?x在点??1,?1?处的切线方x?22，所以，在点??1,?1?处的切线斜(x?2)22?2，y?1?2(x?1)，y?2x?1，所以，切线方程为即2(?1?2)故选A.

2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y（单位：

3万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y??x?81x?234，

13则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ） (A) 13万件 (B) 11万件 (C) 9万件 (D) 7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值.

【规范解答】选C，y'??x2?81,令y??0得x?9或x??9（舍去），当x?9时y'?0；当x?9时y'?0，故当x?9时函数有极大值，也是最大值，故

选C.

3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x,y=x围成的封闭图形面积为（ ） （A）

1 1223 (B)

1 4 (C)

1 3 (D)

7 12 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标，再利用定积分求面积.

【规范解答】选A,由题意得: 曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0)，

1,故选A. 1244.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y=x上，?为

e?123（?1-?1=(1,1)，故所求封闭图形的面积为?10x-x)dx=1314曲线在点P处的切线的倾斜角，则?的取值范围是（ ） (A)[0,) (B)[,) (,42?4???3?24] (D) [3?,?) 4【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。

【思路点拨】先求导数的值域，即tan?的范围，再根据正切函数的性质求?的范围。 【规范解答】选D.

4,xe?1?4ex?4ex?4?4?y'?x?????1(e?1)2(ex)2?2ex?1ex?1?212exx?2xee1当且仅当ex＝x，即x?0时“＝”成立。e又y'?0,??1?y'?0。y?设倾斜角为?，则?1?tan??0,又???0，??，?3?????。故选D445.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）?2dx等于（ ）

A、?2ln2 B、2ln2 C、?ln2 D、ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算.

1【思路点拨】记住的原函数.

x41【规范解答】选D .?2dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.

x1x

【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.

6.（2010·江苏高考·Ｔ8）函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k?N?，若a1=16，则a1+a3+a5的值是________

【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。

【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由y?0，即可求得切线与x轴交点的横坐标。

【规范解答】由y=x2(x>0)得，y??2x，

所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：

y?ak2?2ak(x?ak),

当y?0时，解得x?所以ak?1?ak， 2ak,a1?a3?a5?16?4?1?21. 2【答案】21

7.（2010·江苏高考·Ｔ１4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平

2(梯形的周长）,则行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S?梯形的面积S的最小值是____ ____。

【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。

【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x，然后用x分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示，利用函数的观点解决. 【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x，

(3?x)24(3?x)2S???(0?x?1)2 则：1331?x?(x?1)??(1?x)22方法一：利用导数的方法求最小值。

4(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)4(3?x)2S?(x)??S(x)?? 2，(1?x2)2331?x4(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)4?2(3x?1)(x?3)???? 2222(1?x)(1?x)331S?(x)?0,0?x?1,x?，

311?S(x)?0,x?[,1)时，S?(x)?0,递增； x?(0,]当时，递减；当

331323x?故当时，S的最小值是。 33方法二：利用函数的方法求最小值

4t241111S??2??令3?x?t,t?(2,3),?(,)，则：3?t?6t?83?8?6?1 t32t2t131323?,x?故当时，S的最小值是。 t833【答案】

323 3【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。

8.（2010·陕西高考理科·Ｔ１3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为 ；

【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。 【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可

【规范解答】阴影部分的面积为S阴影??03x2dx?x30?1.所以点M取自阴影部分的概率为P?1答案：

311S阴影11?? S长方形3?139．（2010 ·海南高考·理科T13）设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函

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