最值问题解题思路奥数

马到成功奥数专题:离散最值

引言：在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手： 1.着眼于极端情形； 2.分析推理——确定最值； 3.枚举比较——确定最值； 4.估计并构造。

离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中，学好它可为解决数论，计数，应用问题等打下扎实的基础。

一、 从极端情形入手

从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。

题目1. 一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？

解：假设摸出的8个球全是红球，则数字之和为（4×8=）32，与实际的和39相差7，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。

用一个绿球换一个红球，数字和可增加（6－4=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4=）1。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在7÷2=3??1，因此可用3个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样8个球的数字之和正好等于39。所以要使8个球的数字之和为39，其中最多可能有（8-3-1=）4个是红球。

题目2. 有13个不同正整数，它们的和是100。问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？ 解：①2+4+6+8+10+12+14+16=72 还要有5个奇数，但和是奇数，100是偶数，所以只能少一个偶数，2+4+6+8+10+12+14=56 100-56=42 42=1+3+5+7+9+17，最多有7个偶数。 ②1+3+5+7+9+11+13+15=64 还要5个偶数，100-64=36 36=2+4+6+8+16 最少有5个偶数。

题目3. 一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量，如果只允许在天平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个。

解：要能称出1克到91克的任意一种整数克重量，要有9个9克、1个5克、1个3克、2个1克，它们的和是91，这样即可。需要9+1+1+2=13个。

题目4. 一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算。为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？

222222-70000*3=12222 按下了3个7 12222-7000*1=5222 按下了1个7

5222-700*7=322 按下了7个7 322-70*4=42 按下了4个7 42-7*6=0 按下了6个7。 3+1+7+4+6=21次

二、枚举法与逐步调整

当我们在有限数中求最大（或最小）值时，枚举法是常用基本方法之一。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。

题目5. 将6，7，8，9，10按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？

解：要使乘积最小，就要每个数尽可能小。对于10，旁边添6和7，这样积小一些。于是有两种添法：

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题目6. 某公共汽车从起点开往终点站，中途共有13个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？ 解法1：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下：

由上表可见，车上最多有56人，这就是说至少应有56个座位。

说明：本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以，我们不能只看表面现象，误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。

解法2：因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站1人），这一人数也和本站上车的人数一样多，因此 车开出时人数=（以前的站数+1）×以后站数 =站号×（15-站号）。 因此只要比较下列数的大小：

1×14， 2×13， 3×12， 4×11， 5×10， 6×9， 7×8， 8×7， 9×6， 10×5，

11×4， 12×3， 13×2， 14×1。

由这些数，得知7×8和8×7是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是56人，所以它应有56个座位。

说明：此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。 题目7.

在如图18-2所示得2*8方格表中，第一行得8个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8。如果再把1、2、3、4、5、6、7、8按适当得顺序分别填入第二行的8个方格内，使得每列两数的8个差数两两不同，那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少？

解：这8个差分别是0，1，2，3，4，5，6，7，和为28，分成两组，每组14。8和7必然填在1，2两个方格内。前两列的差是7和5，第3个如果填6，那么7+5+3超过14，所以只能填5，此时3个差为7、5、2，和为14，第4个格子只能填4，填6就会有重复。数字6只能填在第7格，再凑一凑即可得出87541362。

三、从简单情形入手

解决复杂问题可以从简单问题入手，经过分析得出规律，也就找到了解决复杂问题的方法。 题目8. 从1234567891011?99100中划去100个数字，其他数字顺序不变，求剩下数中的最大数和与最大数位数相同的最小数。

分析与解 将此题简化为从12345678910中划去9个数字.利用枚举法不难得出剩下的两位数最大数为91，最小数为10，也就是在求最大数时，高位上的数字尽可能取大数字；求最小数时，高位上尽可能取小数字。本题中从 12345678910中划去 10个数字剩下9；从 111213?484950中划去76个数字剩下4个9；再从51525354555657585960中划去14个数字剩下尽可能大的数是785960，从而得到所求的最大数 9999978596061?99100。求最小值时，从12345678910中划去9个数字剩下10，从11121314?484950中划去76个数字剩下4个0，再从51525354555657585960中划去15个数字剩下尽可能小的数12340，从而得到所求最小数100000123406162?99100。

题目9. 将1，2，3，?，49，50任意分成10组，每组5个数。在每一组中，数值居中的那个数称为“中位数”。求这10个中位数之和的最大值与最小值。 解：{1，2，3，49，50} {4，5，6，47，48} ?? {28，29，30，31，32} 3+6+??+30=165（最小值）

{1，2，48，49，50} {3，4，45，46，47} ?? {19，20，21，22，23} 48+45+??+21=345（最大值）

四、和一定问题

1＋9＝10 →1×9＝9 2+8=10 →2×8=16 3＋7=10 →3×7=21 4+6=10 →4×6=24 5+5＝10 →5×5=25

由此我们得到，当这两个自然数都取5时积有最大值 25。

成立。也就是和一定时差最小乘积越大。 题目10.

有3条线段a,b,c，线段a长2.12米，线段b场2.71米，线段c长3.53米。如图18-1，以它们作为上底、下底和高，可以作出3个相同的梯形。问第几号梯形的面积最大？

解：由于梯形体积=（上底+下底）*高/2 在和一定的情况下，要使乘积最大，让两个数越接近。可见a+b与c十分接近，所以③的面积最大。

题目11. 如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。为了赚得最多的利润，售价应定为多少？

解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。总共可以获利 （50＋x-40）×（500-10x） =10×（10+X）×（50-X）（元）。

因（10+x）+（50－x）=60为一定值，故当10+X=50－X即X=20时，它们的积最大。 此时，每个的销售价为50＋20=70（元）

题目12. 用3，4，5，6，7，8六个数字排成三个两位数相乘，要求它们的乘积最大。应该怎样排列？

例如，和为10的两个自然数，它们的积的最大值是什么？我们知道和为10的自然数共有5对，每对自然数乘积后又得到5个不同的数，如下表：

【分析与解】十位数字分别是8、7、6，8>7>6,个位数字分别是5，4，3，5>4>3，依据“接近原则”，大小搭配可得83×74×65，三个数最接近因而它们的乘积最大。

综上数例，可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。简单地说就是：数越接近，乘积越大。 ．．．．．．．．

综上数例，可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。简单地说就是：数越接近，乘积越大。 ．．

五、积一定的问题

两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢？ 观察下面的表：

我们不难得出如下的规律：

两个变化着的量，如果在变化的过程中，乘积始终保持不变，那么它们的差越小，和就越小。若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。

题目13. 长方形的面积为 144 cm，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？

解：设长方形的长和宽分别为 xcm和 ycm，则有

xy＝144。

故当x=y=12时，x+y有最小值，从而长方形周长2（x＋y）也有最小值。

题目14. 农场计划挖一个面积为432 m的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？ 解：如图所示，设水池的长和宽分别为xm和ym，则有

xy＝432。

占地总面积为 S=（x＋6）（y＋8）cm。于是

2

2

2

S=Xy+6y+8X＋48＝6y+8X+480。

我们知道6y ×8X=48×432为一定值，故当6y=8X时，S最小，此时有6y=8X=144，故y=24，x=18。

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