第5讲 matlab数据分析与多项式计算

第5讲 MATLAB数据分析与多项式计算 讲 数据分析与多项式计算 5.1 数据统计处理 5.2 数据插值 5.3 曲线拟合 5.4 离散傅立叶变换 5.5 多项式计算

5.1 数据统计处理5.1.1 最大值和最小值MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的 提供的求数据序列的最大值和最小值的 函数分别为max和min,两个函数的调用格式和 函数分别为 和 ， 操作过程类似。 操作过程类似。

1.求向量的最大值和最小值 .求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式，分 求一个向量 的最大值的函数有两种调用格式， 的最大值的函数有两种调用格式 别是： 别是： (1) y=max(X):返回向量 的最大值存入 ，如果 的最大值存入y,如果X :返回向量X的最大值存入 中包含复数元素，则按模取最大值。 中包含复数元素，则按模取最大值。

(2) [y,I]=max(X):返回向量 的最大值存入 ，最大 的最大值存入y, :返回向量X的最大值存入 值的序号存入I,如果X中包含复数元素 中包含复数元素， 值的序号存入 ，如果 中包含复数元素，则按模 取最大值。 取最大值。 求向量X的最小值的函数是 的最小值的函数是min(X),用法和 求向量 的最小值的函数是 ，用法和max(X) 完全相同。 完全相同。 求向量x的最大值 的最大值。 例5-1 求向量 的最大值。 命令如下： 命令如下： x=[-43,72,9,16,23,47]; y=max(x) %求向量 中的最大值 求向量x中的最大值 求向量 [y,l]=max(x) %求向量 中的最大值及其该元素 求向量x中的最大值及其该元素 求向量 的位置

2.求矩阵的最大值和最小值 . 求矩阵A的最大值的函数有 种调用格式， 的最大值的函数有3种调用格式 求矩阵 的最大值的函数有 种调用格式，分 别是： 别是： (1) max(A):返回一个行向量，向量的第 个 ：返回一个行向量，向量的第i个 元素是矩阵A的第 列上的最大值。 的第i列上的最大值 元素是矩阵 的第 列上的最大值。 (2) [Y,U]=max(A):返回行向量 和U,Y向 ：返回行向量Y和 ， 向 量记录A的每列的最大值 的每列的最大值， 向量记录每列 量记录 的每列的最大值，U向量记录每列 最大值的行号。 最大值的行号。

(3) max(A,[],dim):dim取1或2。dim取1时， : 取 或 。 取 时 该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该 完全相同； 该函数和 完全相同 取 时 函数返回一个列向量，其第i个元素是 个元素是A矩 函数返回一个列向量，其第 个元素是 矩 阵的第i行上的最大值 行上的最大值。 阵的第 行上的最大值。 求最小值的函数是min,其用法和 求最小值的函数是 ，其用法和max完全相 完全相 同。 分别求3× 矩阵 矩阵x中各列和各行元素中 例5-2 分别求 ×4矩阵 中各列和各行元素中 的最大值， 的

最大值，并求整个矩阵的最大值和最小 值。

3.两个向量或矩阵对应元素的比较 .函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行 和 函数 还能对两个同型的向量或矩阵进行 比较，调用格式为： 比较，调用格式为： (1) U=max(A,B):A,B是两个同型的向量或矩阵， 是两个同型的向量或矩阵， : 是两个同型的向量或矩阵 结果U是与 是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素 同型的向量或矩阵， 的每个元素 结果 是与 同型的向量或矩阵 等于A,B对应元素的较大者。 对应元素的较大者。 等于 对应元素的较大者 (2) U=max(A,n):n是一个标量，结果 是与 同型 是一个标量， 是与A同型 ： 是一个标量 结果U是与 的向量或矩阵， 的每个元素等于 对应元素和n 的每个元素等于A对应元素和 的向量或矩阵，U的每个元素等于 对应元素和 中的较大者。 中的较大者。 min函数的用法和 函数的用法和max完全相同。 完全相同。 函数的用法和 完全相同 求两个2× 矩阵 矩阵x, 所有同一位置上的较大 例5-3 求两个 ×3矩阵 y所有同一位置上的较大 元素构成的新矩阵p。 元素构成的新矩阵 。

5.1.2 求和与求积 数据序列求和与求积的函数是sum和prod, 数据序列求和与求积的函数是 和 ， 其使用方法类似。 是一个向量， 是一 其使用方法类似。设X是一个向量，A是一 是一个向量 个矩阵，函数的调用格式为： 个矩阵，函数的调用格式为： sum(X):返回向量 各元素的和。 各元素的和。 :返回向量X各元素的和 prod(X):返回向量 各元素的乘积。 各元素的乘积。 :返回向量X各元素的乘积 sum(A):返回一个行向量，其第 个元素是 个元素是A :返回一个行向量，其第i个元素是 的第i列的元素和。 的第 列的元素和。 列的元素和

prod(A):返回一个行向量，其第i个元素是 ：返回一个行向量，其第 个元素是 个元素是A 的第i列的元素乘积 列的元素乘积。 的第 列的元素乘积。 sum(A,dim):当dim为1时，该函数等同于 ： 为 时 sum(A);当dim为2时，返回一个列向量， ; 为 时 返回一个列向量， 其第i个元素是 的第i行的各元素之和 个元素是A的第 行的各元素之和。 其第 个元素是 的第 行的各元素之和。 prod(A,dim):当dim为1时，该函数等同于 ： 为 时 prod(A);当dim为2时，返回一个列向量， ; 为 时 返回一个列向量， 其第i个元素是 的第i行的各元素乘积 个元素是A的第 行的各元素乘积。 其第 个元素是 的第 行的各元素乘积。 求矩阵A的每行元素的乘积和全部元 例5-4 求矩阵 的每行元素的乘积和全部元 素的乘积。 素的乘积。

5.1.3 平均值和中值 求数据序列平均值的函数是mean,求数据序列中值的函数 求数据序

列平均值的函数是 ， 是median。两个函数的调用格式为： 。两个函数的调用格式为： mean(X):返回向量 的算术平均值。 的算术平均值。 :返回向量X的算术平均值 median(X):返回向量 的中值。 的中值。 :返回向量X的中值 mean(A):返回一个行向量，其第 个元素是 的第 列的算术 个元素是A的第 ：返回一个行向量，其第i个元素是 的第i列的算术 平均值。 平均值。 median(A):返回一个行向量，其第 个元素是 的第 列的中 个元素是A的第 ：返回一个行向量，其第i个元素是 的第i列的中 值。 mean(A,dim):当dim为1时，该函数等同于 ： 为 时 该函数等同于mean(A);当dim ; 个元素是A的第 为2时，返回一个列向量，其第 个元素是 的第 行的算术 时 返回一个列向量，其第i个元素是 的第i行的算术 平均值。 平均值。 median(A,dim):当dim为1时，该函数等同于 ： 为 时 该函数等同于median(A);当 ； dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是 的第i行的 为 时 返回一个列向量，其第 个元素是A的第 行的 个元素是 的第 中值。 中值。 分别求向量x与 的平均值和中值 的平均值和中值。 例5-5 分别求向量 与y的平均值和中值。

5.1.4 累加和与累乘积 在MATLAB中，使用 中 使用cumsum和cumprod函数能方便地求得 和 函数能方便地求得 向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量， 向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式 为： cumsum(X):返回向量 累加和向量。 累加和向量。 :返回向量X累加和向量 cumprod(X):返回向量 累乘积向量。 累乘积向量。 :返回向量X累乘积向量 cumsum(A):返回一个矩阵，其第 列是 的第 列的累加和向 列是A的第 ：返回一个矩阵，其第i列是 的第i列的累加和向 量。 cumprod(A):返回一个矩阵，其第 列是 的第 列的累乘积 列是A的第 ：返回一个矩阵，其第i列是 的第i列的累乘积 向量。 向量。 cumsum(A,dim):当dim为1时，该函数等同于 ： 为 时 该函数等同于cumsum(A); ; 行是A的第 当dim为2时，返回一个矩阵，其第 行是 的第 行的累加 为 时 返回一个矩阵，其第i行是 的第i行的累加 和向量。 和向量。 cumprod(A,dim):当dim为1时，该函数等同于cumprod(A); : 为 时 该函数等同于 ； 行是A的第 当dim为2时，返回一个向量，其第 行是 的第 行的累乘 为 时 返回一个向量，其第i行是 的第i行的累乘 积向量。 积向量。 的值。 例5-6 求s的值。 的值

5.1.5 标准方差与相关系数 1.求标准方差 . 在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数 。 中 提供了计算数据序列的标准方差的函数std。 对于向量X, 返回一个标准方差。 对于向量 ，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵 ，

返回一个标准方差 对于矩阵A, std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵 各列或 返回一个行向量， 返回一个行向量 它的各个元素便是矩阵A各列或 各行的标准方差。 函数的一般调用格式为 函数的一般调用格式为： 各行的标准方差。std函数的一般调用格式为： Y=std(A,flag,dim) 其中dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当 其中 取 或 。 时 求各列元素的标准方差； dim=2时，则求各行元素的标准方差。flag取0或1,当 时 则求各行元素的标准方差。 取 或 ， flag=0时，按σ1所列公式计算标准方差，当flag=1时，按 所列公式计算标准方差， 时 所列公式计算标准方差 时 σ2所列公式计算标准方差。缺省 所列公式计算标准方差。 所列公式计算标准方差 缺省flag=0,dim=1。 , 。 对二维矩阵x,从不同维方向求出其标准方差。 例5-7 对二维矩阵 ，从不同维方向求出其标准方差。

2.相关系数 . MATLAB提供了 提供了corrcoef函数，可以求出数 函数， 提供了 函数 据的相关系数矩阵。 据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格 函数的调用格 式为： 式为： corrcoef(X):返回从矩阵 形成的一个相关 ：返回从矩阵X形成的一个相关 系数矩阵。 系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵 X一样。它把矩阵 的每列作为一个变量， 一样。 的每列作为一个变量， 一样 它把矩阵X的每列作为一个变量 然后求它们的相关系数。 然后求它们的相关系数。 corrcoef(X,Y):在这里，X,Y是向量，它们 是向量， :在这里， 是向量 的作用一样。 与corrcoef([X,Y])的作用一样。 的作用一样

例5-8 生成满足正态分布的10000×5随机矩 生成满足正态分布的 × 随机矩 然后求各列元素的均值和标准方差， 阵，然后求各列元素的均值和标准方差， 再求这5列随机数据的相关系数矩阵 列随机数据的相关系数矩阵。 再求这 列随机数据的相关系数矩阵。 命令如下： 命令如下： X=randn(10000,5); M=mean(X) D=std(X) R=corrcoef(X)

5.1.6 排序 MATLAB中对向量 是排序函数是 中对向量X是排序函数是 中对向量 是排序函数是sort(X),函数返 ， 回一个对X中的元素按升序排列的新向量 中的元素按升序排列的新向量。 回一个对 中的元素按升序排列的新向量。 sort函数也可以对矩阵 的各列或各行重新排序， 函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序， 函数也可以对矩阵 的各列或各行重新排序 其调用格式为： 其调用格式为： [Y,I]=sort(A,dim) 其中dim指明对 的列还是行进行排序。若dim=1, 指明对A的列还是行进行排序 其中 指明对 的列还是行进行排序。 , 则按列排； 则按列排；若dim=2,则按行排。Y是排序后的 ，则按行排。 是排序

后的 矩阵， 记录 中的元素在A中位置 记录Y中的元素在 中位置。 矩阵，而I记录 中的元素在 中位置。 对二维矩阵做各种排序。 例5-9 对二维矩阵做各种排序。

5.2 数据插值 5.2.1 一维数据插值 在MATLAB中，实现这些插值的函数是 中 实现这些插值的函数是interp1, , 其调用格式为： 其调用格式为： Y1=interp1(X,Y,X1,'method') 函数根据X,Y的值，计算函数在 处的值。X,Y是 的值， 处的值。 函数根据 的值 计算函数在X1处的值 是 两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值， 两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值， X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是 是一个向量或标量， 是一个向量或标量 描述欲插值的点， 是 一个与X1等长的插值结果 等长的插值结果。 是插值方法， 一个与 等长的插值结果。method是插值方法， 是插值方法 允许的取值有‘ 允许的取值有‘linear’、‘nearest’、‘cubic’、 、 、 、 ‘spline’。 。

注意： 的取值范围不能超出 的给定范围， 的取值范围不能超出X的给定范围 注意：X1的取值范围不能超出 的给定范围， 否则，会给出“ 错误。 否则，会给出“NaN”错误。 错误 用不同的插值方法计算在π/2点的值 点的值。 例5-10 用不同的插值方法计算在 点的值。 MATLAB中有一个专门的 次样条插值函数 中有一个专门的3次样条插值函数 中有一个专门的 Y1=spline(X,Y,X1),其功能及使用方法与 ， 函数Y1=interp1(X,Y,X1,‘spline’)完全相同。 完全相同。 函数 完全相同

某观测站测得某日6:00时至 时至18:00时之间每隔 小时的 时之间每隔2小时的 例5-11 某观测站测得某日 时至 时之间每隔 室内外温度(℃ , 室内外温度 ℃),用3次样条插值分别求得该日室内外 次样条插值分别求得该日室内外 6:30至17:30时之间每隔 小时各点的近似温度 ℃)。 时之间每隔2小时各点的近似温度 至 时之间每隔 小时各点的近似温度(℃ 。 设时间变量h为一行向量 温度变量t为一个两列矩阵 为一行向量， 为一个两列矩阵， 设时间变量 为一行向量，温度变量 为一个两列矩阵，其中 第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下： 第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下： h =6:2:18; t=[18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30]'; XI =6.5:2:17.5 YI=interp1(h,t,XI,‘spline’) %用3次样条插值计算 用 次样条插值计算

5.2.2 二维数据插值 在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数 中 interp2,其调用格式为： ,其调用格式为： Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method') 其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点， 是两个向量， 其中 是两个向量 分别描述两个参数的采样点， Z是与

参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向 是与参数采样点对应的函数值， 是与参数采样点对应的函数值 是两个向 量或标量，描述欲插值的点。 是根据相应的插 量或标量，描述欲插值的点。Z1是根据相应的插 值方法得到的插值结果。 值方法得到的插值结果。 method的取值与一维 的取值与一维 插值函数相同。 也可以是矩阵形式。 插值函数相同。X,Y,Z也可以是矩阵形式。 也可以是矩阵形式 同样， 的取值范围不能超出X,Y的给定范围， 的给定范围， 同样，X1,Y1的取值范围不能超出 的取值范围不能超出 的给定范围 否则，会给出“ 错误。 否则，会给出“NaN”错误。 错误

函数在[0,1]×[0,2]区域内进行插值。 区域内进行插值。 例5-12 设z=x2+y2,对z函数在 ， 函数在 × 区域内进行插值 某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测 例5-13 某实验对一根长 米的钢轨进行热源的温度传播测 表示测量点0:2.5:10(米),用h表示测量时间 试。用x表示测量点 表示测量点 米， 表示测量时间 0:30:60(秒),用T表示测试所得各点的温度 ℃)。试用线 表示测试所得各点的温度(℃ 。 秒， 表示测试所得各点的温度 性插值求出在一分钟内每隔20秒 钢轨每隔1米处的温度 性插值求出在一分钟内每隔 秒、钢轨每隔 米处的温度 TI。 。 命令如下： 命令如下： x=0:2.5:10; h=[0:30:60]'; T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41]; xi=[0:10]; hi=[0:20:60]'; TI=interp2(x,h,T,xi,hi)

5.3 曲线拟合 在MATLAB中，用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式 中 函数来求得最小二乘拟合多项式 的系数，再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的 的系数，再用 函数按所得的多项式计算所给出的 点上的函数近似值。 点上的函数近似值。 polyfit函数的调用格式为： 函数的调用格式为： 函数的调用格式为 [P,S]=polyfit(X,Y,m) 函数根据采样点X和采样点函数值 和采样点函数值Y,产生一个m次多项式 次多项式P 函数根据采样点 和采样点函数值 ，产生一个 次多项式 及其在采样点的误差向量S。其中X,Y是两个等长的向量， 是两个等长的向量， 及其在采样点的误差向量 。其中 是两个等长的向量 P是一个长度为 是一个长度为m+1的向量，P的元素为多项式系数。 的向量， 的元素为多项式系数 的元素为多项式系数。 是一个长度为 的向量 polyval函数的功能是按多项式的系数计算 点多项式的值， 函数的功能是按多项式的系数计算x点多项式的值 函数的功能是按多项式的系数计算 点多项式的值， 将在5.5.3节中详细介绍。 节中详细介绍。 将在 节中详细介绍

已知数据表[t,y],试求 次拟合多项式 次拟合多项式p(t),然后求 例5-14 已知数据表 ，

试求2次拟合多项式 ， ti=1,1.5,2,2.5,…,9.5,10各点的函数近似值。 各点的函数近似值。 各点的函数近似值

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