中考数学专题复习专题七类比探究题训练

学习好资料 欢迎下载

专题七 类比探究题

类型一 线段数量关系问题

(2018·河南)(1)问题发现

如图①，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M.填空： ①

AC

的值为________； BD

②∠AMB的度数为________； (2)类比探究

如图②，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点AC

M.请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；

BD(3)拓展延伸

在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝7，请直接写

出当点C与点M重合时AC的长．

【分析】 (1)①证明△COA≌△DOB(SAS)，得AC＝BD，比值为1；

②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理，得∠AMB＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°；

ACOC

(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则＝＝3，由全等三角形的性质得∠AMB的度

BDOD数；

(3)正确画出图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如解图①和②，同理可得△AOC∽△BOD，则∠AMBAC

＝90°，＝3，可得AC的长．

BD【自主解答】

学习好资料 欢迎下载

解：(1)问题发现

①1【解法提示】∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠COA＝∠DOB. ∵OC＝OD，OA＝OB， ∴△COA≌△DOB(SAS)， ∴AC＝BD， ∴AC

＝1. BD

②40°【解法提示】∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO＝∠DBO. ∵∠AOB＝40°， ∴∠OAB＋∠ABO＝140°，

在△AMB中，∠AMB＝180°－(∠CAO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°. (2)类比探究

AC

＝3，∠AMB＝90°，理由如下： BD

在Rt△OCD中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°， ∴

OD3＝tan 30°＝， OC3

OB3同理，得＝tan 30°＝，

OA3∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝BOD， ∴△AOC∽△BOD， ∴

ACOC

＝＝3，∠CAO＝∠DBO. BDOD

∴∠AMB＝180°－∠CAO－∠OAB－MBA＝180°－(∠DAB＋∠MBA＋∠OBD)＝180°－90°＝90°. (3)拓展延伸

①点C与点M重合时，如解图①， 同理得△AOC∽△BOD， AC

∴∠AMB＝90°，＝3，

BD设BD＝x，则AC＝3x， 在Rt△COD中，

学习好资料 欢迎下载

∵∠OCD＝30°，OD＝1， ∴CD＝2， ∴BC＝x－2.

在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝7. ∴AB＝2OB＝27，

在Rt△AMB中，由勾股定理，得AC＋BC＝AB， 即(3 x)＋(x－2)＝(27)， 解得x1＝3，x2＝－2(舍去)， ∴AC＝33；

AC

②点C与点M重合时，如解图②，同理得：∠AMB＝90°，＝3，

BD设BD＝x，则AC＝3x，

在Rt△AMB中，由勾股定理，得AC＋BC＝AB， 即(3x)＋(x＋2)＝(27) 解得x1＝－3，解得x2＝2(舍去)． ∴AC＝23.

综上所述，AC的长为33或23.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

图①

图② 例1题解图

1．(2016·河南) (1)发现

如图①，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.

填空：当点A位于________________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为__________(用含a，b的式子表示)． (2)应用

学习好资料 欢迎下载

点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，如图②所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE长的最大值． (3)拓展

如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

2．(2015·河南)如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. (1)问题发现

AE5①当α＝0°时，＝____；

BD2AE5②当α＝180°时，＝____；

BD2(2)拓展探究

学习好资料 欢迎下载

AE

试判断：当0°≤α<360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．

BD(3)解决问题

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

3．(2014·河南) (1)问题发现

如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. 填空：

①∠AEB的度数为__________；

②线段AD，BE之间的数量关系为______________． (2)拓展探究

如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由． (3)解决问题

如图③，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．

学习好资料 欢迎下载

4．(2018·南阳二模)在△ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接EC. (1)操作发现

若AB＝AC，∠BAC＝90°，当D在线段BC上时(不与点B重合)，如图①所示，请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是______________，______________； (2)猜想论证

在(1)的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断(1)中结论是否成立，并证明你的判断． (3)拓展延伸

如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于________度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C，E重合除外)？此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC＝32时，请直接写出线段CF的长的最大值是____．

5．已知，如图①，△ABC，△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B，E重合)，∠BAC＝∠AED＝90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF. (1)问题发现

学习好资料 欢迎下载

OF

①如图①，＝_______；

EC

OF

②将△AED绕点A逆时针旋转45°，如图②，＝_______；

EC(2)类比延伸

OF

将图①中△AED绕点A逆时针旋转到如图③所示的位置，请计算出的值，并说明理由．

EC(3)拓展探究

将图①中△AED绕点A逆时针旋转，旋转角为α，0°≤α≤90°，AD＝2，△AED在旋转过程中，存在△ACD为直角三角形，请直接写出线段CD的长．

类型二 图形面积关系问题

(2017·河南)如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． (1)观察猜想

图①中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________； (2)探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； (3)拓展延伸

把△ADE绕A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

学习好资料 欢迎下载

图①

图② 例2题图

11

【分析】 (1)利用三角形的中位线定理得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再

22利用三角形的中位线定理得出PM∥CE，继而得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；

11

(2)先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同(1)的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同(1)

22的方法即可得出结论；

(3)先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM＋AN，最后用面积公式即可得出结论． 【自主解答】

解：(1)∵点P，N是BC，CD的中点， 1

∴PN∥BD，PN＝BD.

2∵点P，M是CD，DE的中点， 1

∴PM∥CE，PM＝CE.

2∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝CE， ∴PM＝PN. ∵PN∥BD， ∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCA. ∵∠BAC＝90°， ∴∠ADC＋∠ACD＝90°，

∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°，

学习好资料 欢迎下载

∴PM⊥PN，

(2)由旋转知，∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.

1

同(1)的方法，利用三角形的中位线定理，得PN＝BD，

21

PM＝CE，

2∴PM＝PN，

∴△PMN是等腰三角形， 同(1)的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE， 同(1)的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC.

∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，

∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC. ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB＋∠ABC＝90°， ∴∠MPN＝90°，

∴△PMN是等腰直角三角形，

例2题解图

(3)如解图，同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形， ∴当MN最大时，△PMN的面积最大， ∴DE∥BC且DE在顶点A上面， ∴MN最大＝AM＋AN， 连接AM，AN，

在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，

学习好资料 欢迎下载

∴AM＝22，

在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝52， ∴MN最大＝22＋52＝72，

121121492

∴S△PMN最大＝PM＝×MN＝×(72)＝. 22242

1．(2013·河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°. (1)操作发现

如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是______________；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是______________． (2)猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想． (3)拓展探究

已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E(如图④)．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

学习好资料 欢迎下载

2．已知Rt△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，将∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB(或它们的延长线)于E，F.当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时，如图①所示，试证明1

S△DEF＋S△CEF＝S△ABC.

2

(1)当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，如图②所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若

学习好资料 欢迎下载

不成立，试说明理由．

(2)直接写出图③中，S△DEF，S△CEF与S△ABC之间的数量关系．

3．(2018·郑州模拟)如图①所示，将两个正方形ABCD和正方形CGFE如图所示放置，连接DE，BG. (1)图中∠DCE＋∠BCG＝__________°；设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，则S1与S2的数量关系为______________； 猜想论证：

(2)如图②所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG，连接DE，BG，设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，猜想S1和S2的数量关系，并加以证明；

(3)如图③所示，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，∠B＝30°，把△ABC沿AC翻折得到△AEC，过点A作AD平行CE交BC于点D，在线段CE上存在点P，使△ABP的面积等于△ACD的面积，请写出CP的长．

学习好资料 欢迎下载

4．(2018·驻马店一模)如图①，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN. (1)观察猜想

图①中，PM与PN的数量关系是______________，位置关系是______________； (2)探究证明

将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到图②，AE与MP，BD分别交于点G，H，判断△PMN的形状，并说明理由； (3)拓展延伸

把△CDE绕点C任意旋转，若AC＝4，CD＝2，请直接写出△PMN面积的最大值．

学习好资料 欢迎下载

参考答案

类型一 针对训练

1．解：(1)∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，

∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC＋AB＝a＋b. (2)①CD＝BE，

理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB. AD＝AB??

在△CAD和△EAB中，?∠CAD＝∠EAB，

??AC＝AE∴△CAD≌△EAB，∴CD＝BE.

②∵线段BE长的最大值等于线段CD的最大值，

由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上， ∴线段BE长的最大值为BD＋BC＝AB＋BC＝4；

(3)∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，如解图①， 则△APN是等腰直角三角形， ∴PN＝PA＝2，BN＝AM.

∵点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)， ∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，

学习好资料 欢迎下载

∴线段AM长的最大值等于线段BN长的最大值， ∴当点N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值， 最大值为AB＋AN. ∵AN＝2AP＝22，

∴线段AM的长最大值为22＋3. 如解图②，过点P作PE⊥x轴于点E. ∵△APN是等腰直角三角形， ∴PE＝AE＝2，

∴OE＝BO－AB－AE＝5－3－2＝2－2， ∴P(2－2，2)．

图①

图② 第1题解图

2．解：(1)①当α＝0°时， ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，

∴AC＝AB＋BC＝（8÷2）＋8＝45. ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴AE＝45÷2＝25，BD＝8÷2＝4， ∴

AE255＝＝. BD42

2

2

2

2

②如解图①，当α＝180°时， 得可得AB∥DE， ∵∴

ACBC＝， AEBD

AEAC455＝＝＝. BDBC82

AE

(2)当0°≤α≤360°时，的大小没有变化．

BD

学习好资料 欢迎下载

∵∠ECD＝∠ACB， ∴∠ECA＝∠DCB. ECAC5又∵＝＝，

DCBC2∴△ECA∽△DCB， ∴

AEEC5＝＝. BDDC2

图①

图②

图③ 第2题解图

(3)①如解图②，

∵AC＝45，CD＝4，CD⊥AD，

∴AD＝AC－CD＝（45）－4＝80－16＝8. ∵AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC＝45.

③如解图③，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P， ∵AC＝45，CD＝4，CD⊥AD，

∴AD＝AC－CD＝（45）－4＝80－16＝8， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， 111

∴DE＝AB＝×(8÷2)＝×4＝2，

222∴AE＝AD－DE＝8－2＝6， AE5

由(2)，可得＝，

BD2

2

2

2

2

2

2

2

2

学习好资料 欢迎下载

∴BD＝

6

125＝. 552

125

. 5

综上所述，BD的长为45或

3．解：(1)∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE. 在△ACD和△BCE中， AC＝BC??

?∠ACD＝∠BCE， ??CD＝CE

∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC. ∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°. ∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°， ∴∠BEC＝120°，

∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°. ②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE. (2)∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM. 理由如下：

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°. ∴∠ACD＝∠BCE. 在△ACD和△BCE中， CA＝CB??

?∠ACD＝∠BCE， ??CD＝CE

∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.

∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°. ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝135°，∴∠BEC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°. ∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME. ∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM， ∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.

(3)∵PD＝1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．

学习好资料 欢迎下载

∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上， ∴点P是这两圆的交点． ①当点P在如解图①所示位置时， 连接PD，PB，PA，作AH⊥BP，垂足为H， 过点A作AE⊥AP，交BP于点E. ∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADB＝45°，AB＝AD＝DC＝BC＝2，∠BAD＝90°， ∴BD＝2.∵DP＝1，∴BP＝3. ∵∠BPD＝∠BAD＝90°，

∴点A、P、D、B在以BD为直径的圆上， ∴∠APB＝∠ADB＝45°. ∴△PAE是等腰直角三角形．

又∵△BAD是等腰直角三角形，点B，E，P共线，AH⊥BP， ∴由(2)中的结论可得：BP＝2AH＋PD， ∴3＝2AH＋1， ∴AH＝

3－1

； 2

②当点P在如解图②所示位置时， 连接PD、PB、PA、作AH⊥BP，垂足为H， 过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E， 同理可得：BP＝2AH－PD， ∴3＝2AH－1， ∴AH＝

3＋1

. 2

3－13＋1

或. 22

综上所述，点A到BP的距离为

图①

学习好资料 欢迎下载

图② 第3题解图

4．解：(1)①∵AB＝AC，∠BAC＝90°， 线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴CE＝BD，∠ACE＝∠B， ∴∠BCE＝∠BCA＋∠ACE＝90°，

∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为CE＝BD，CE⊥BD； (2)(1)中的结论仍然成立．证明如下： 如解图①，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴AE＝AD，∠DAE＝90°. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△ACE≌△ABD， ∴CE＝BD，∠ACE＝∠B， ∴∠BCE＝90°，

∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为CE＝BD，CE⊥BD； 3

(3)45°；. 4

过A作AM⊥BC于M，过点E作EN⊥MA交MA的延长线于N，如解图②. ∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴∠DAE＝90°，AD＝AE，

∴∠NAE＝∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA， ∴NE＝AM.

∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠MCE＝90°， ∴四边形MCEN为矩形， ∴NE＝MC，∴AM＝MC， ∴∠ACB＝45°. ∵四边形MCEN为矩形， ∴Rt△AMD∽Rt△DCF， ∴

MDAM

＝，设DC＝x， CFDC

∵在Rt△AMC中，∠ACB＝45°，AC＝32，

学习好资料 欢迎下载

3－x3

∴AM＝CM＝3，MD＝3－x，∴＝，

CFx121323

∴CF＝－x＋x＝－(x－)＋，

332433

∴当x＝时，CF有最大值，最大值为.

243

故答案为45°，；

4

图①

图② 第4题解图

5．解：(1)①∵△ABC，△AED是两个全等的等腰直角三角形， ∴AD＝BC.

∵O为BC的中点，F为AD的中点， ∴AF＝OC.

∵∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝AC，AE＝DE， ∴∠DAE＝∠CBA＝45°， ∴AD∥BC，

∴四边形AFOC是平行四边形， ∴OF＝AC＝

2OF2EC，∴＝； 2EC2

故答案：②∵AO＝2； 2

2

AC，∠BAO＝∠CAO＝45°，∠DAE＝45°， 2

∴∠DAE＝∠CAO. ∵AE＝AC， ∴AF＝AO， ∴

AFAO＝， AEAC

学习好资料 欢迎下载

∴△AFO∽△AEC， ∴

OFAO2＝＝； ECAC2

2. 2

故答案：(2)OF＝2

EC. 2

理由：在等腰直角△ADE中，F为AD的中点， 12

∴AF＝AD＝AE.

22

在等腰直角△ABC中，O为BC的中点， 如解图①，连接AO， ∴AO＝

2

AC，∠BAO＝∠CAO＝45°. 2

∴∠DAE＝45°，

∴∠DAE＝∠CAO，即∠DAO＝∠CAE. ∵AE＝AC， ∴AF＝AO， ∴

AFAO＝， AEAC

∴△AFO∽△AEC， ∴

OFAO2＝＝； ECAC2

(3)∵△ABC和△AED是两个全等的等腰直角三角形， ∴AD＝BC＝2， ∴ED＝AE＝AB＝AC＝1，

当△ACD为直角三角形时，分两种情况：

图①

图②

学习好资料 欢迎下载

图③ 第5题解图

①当AD与AB重合时，如解图②，连接CD. 当△ACD为直角三角形时，AD⊥AC， 即将△ADE绕点A逆时针旋转45°. ∵AD＝2，AC＝1，

∴由勾股定理可得CD＝（2）＋1＝3； ②当AE与AC重合时，如解图③， 当△ACD为直角三角形时，AC⊥CD，

即将△ADE绕点A逆时针旋转90°，此时CD＝AC＝1. 综上所述，CD的长为3或1. 类型二 针对训练

1．解：(1)①△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上， ∴AC＝CD.

∵∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°. ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°，

又∵∠CDE＝∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝∠CDE， ∴DE∥AC；

②∵∠B＝30°，∠C＝90°， 1

∴CD＝AC＝AB，

2∴BD＝AD＝AC，

根据等边三角形的性质，△ACD的边AC，AD上的高相等，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1＝S2； (2)∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到， ∴BC＝CE，AC＝CD，∠DCE＝∠ACB＝90°， ∵∠ACN＋∠ACE＝180°， ∴∠ACN＝∠DCM.

2

2

学习好资料 欢迎下载

∠ACN＝∠DCM，??

在△ACN和△DCM中，?∠N＝∠CMD＝90°，

??AC＝CD∴△ACN≌△DCM(AAS)， ∴AN＝DM，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1＝S2；

第1题解图

(3)如解图，过点D作DF1∥BE交BA于点F1，易求得四边形BEDF1是菱形，∴BE＝DF1，且BE，DF1边上的高相等，

此时S△DCF1＝S△BDE； 过点D作DF2⊥BD.

∵∠ABC＝60°，F1D∥BE交BA于点F2， ∴∠F2F1D＝∠ABC＝60°.

1

∵BF1＝DF1，∠F1BD＝∠ABC＝30°，∠F2DB＝90°，

2∴∠F1DF2＝∠ABC＝60° ∴△DF1F2是等边三角形， ∴DF1＝DF2.

∵BD＝CD，∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点， 1

∴DBC＝∠DCB＝×60°＝30°，

2

∴∠CDF1＝180°－∠BCD＝180°－30°＝150°， ∠CDF2＝360°－150°－60°＝150°， ∴∠CDF1＝∠CDF2. 在△CDF1和△CDF2中， DF1＝DF2??

?∠CDF1＝∠CDF2， ??CD＝CD

∴△CDF1≌△CDF2(SAS)，∴点F2也是所求的点． ∵∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB， 1

∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝×60°＝30°.

2又∵BD＝4，

学习好资料 欢迎下载

1343∴BE＝×4÷cos 30°＝2÷＝，

22343434383

∴BF1＝，BF2＝BF1＋F1F2＝＋＝.

33334383

故BF的长为或.

33

2．解：当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形；设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形1

CEDF的边长为a，

2

1212121

∴S△ABC＝a，S正方形CEDF＝(a)＝a，即S△DEF＋S△CEF＝S△ABC；

2242(1)上述结论成立；理由如下： 连接CD，如解图①所示．

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，

11

∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，

22∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90° ∵∠EDF＝90°， ∴∠1＝∠2， 在△CDE和△BDF中， ∠1＝∠2??

， ?CD＝BD

??∠DCE＝∠B

∴△CDE≌△BDF(ASA)，

1

∴S△DEF＋S△CEF＝S△ADE＋S△BDF＝S△ABC；

2

图①

图② 第2题解图

学习好资料 欢迎下载

1

(2)S△DEF－S△CEF＝S△ABC；理由如下：

2连接CD，如解图②所示，

同(1)得：△DEC≌△DFB，∠DCE＝∠DBF＝135°， ∴S△DEF＝S五边形DBFEC， S△CFE＋S△DBC， 1

＝S△CFE＋S△ABC，

21

∴S△DEF－S△CFE＝S△ABC.

2

1

∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是S△DEF－S△CEF＝S△ABC.

2

3．解：(1)如解图①中，∵四边形ABCD、EFGC都是正方形， ∴∠BCD＝∠ECG＝90°.

∵∠BCG＋∠BCD＋∠DCE＋∠ECG＝360°， ∴∠BCG＋∠ECD＝180°.

图①

图②

图③ 第3题解图

如解图①，过点E作EM⊥DC于点M，过点G作GN⊥BN交BN的延长线于点N， ∴∠EMC＝∠N＝90°.

∵四边形ABCD和四边形ECGF均为正方形， ∴∠BCD＝∠DCN＝∠ECG＝90°，CB＝CD，CE＝CG，

学习好资料 欢迎下载

∴∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2， ∴∠1＝∠3. 在△CME和△CNG中， ∠EMC＝∠GNC??

， ?∠1＝∠3

??EC＝CG

∴△CME≌△CNG(ASA)， ∴EM＝GN.

11

又∵S1＝CD·EM，S2＝CB·GN，

22∴S1＝S2；

故答案为180°，S1＝S2； (2)猜想：S1＝S2，

证明：如解图②，过点E作EM⊥DC于点M，过点B作BN⊥GC交GC的延长线于点N， ∴∠EMC＝∠N＝90°.

∵矩形CGFE由矩形ABCD旋转得到的， ∴CE＝CB，CG＝CD，

∵∠ECG＝∠ECN＝∠BCD＝90°，

∴∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2，∴∠1＝∠3. 在△CME和△CNB中， ∠EMC＝∠BNC??

， ?∠1＝∠3

??EC＝CB

∴△CME≌△CNB(AAS)． ∴EM＝BN.

11

又∵S1＝CD·EM，S2＝CG·BN，

22∴S1＝S2;

(3)如解图③，作DM⊥AC于M，延长BA，交EC于N， ∵AB＝AC＝10 cm，∠B＝30°， ∴∠ACB＝∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝120°，

根据翻折的性质，得∠ACE＝∠ACB＝30°， ∵AD∥CE，

∴∠DAC＝∠ACE＝30°， 1

∴∠BAD＝90°，DM＝AD，

2

学习好资料 欢迎下载

∴BN⊥EC.

∵AD＝tan∠ABD·AB，AB＝10 cm， 10

∴AD＝tan 30°×10＝3 (cm)，

31105∴DM＝×3＝3(cm)．

233

11

∵S△ABP＝AB·PN，S△ADC＝AC·DM，S△ABP＝S△ADC，AB＝AC，

225

∴PN＝DM＝3.

3

在Rt△ANC中，∠ACN＝30°，AC＝10 (cm)， ∴NC＝cos∠ACN·AC＝cos 30°×10＝53(cm)． 5

∵在EC上到N的距离等于3的点有两个，

31020″

∴P′C＝3 cm，PC＝3 cm.

331020

∴CP的长为3 cm或3 cm.

334．解：(1)PM＝PN，PM⊥PN，理由如下： 如解图①，延长AE交BD于O， ∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°. 在△ACE和△BCD中， AC＝BC，??

?∠ACE＝∠BCD＝90°， ??CE＝CD，

∴△ACE≌△BCD(SAS)， ∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，

∵∠EAC＋∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEO， ∴∠CBD＋∠BEO＝90°， ∴∠BOE＝90°，即AE⊥BD，

∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点， 11

∴PM＝BD，PN＝AE，

22∴PM＝PN.

∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，

∴∠NPD＝∠EAC，∠MPA＝∠BDC，∠EAC＋∠BDC＝90°， ∴∠MPA＋∠NPC＝90°，

学习好资料 欢迎下载

∴∠MPN＝90°， 即PM⊥PN.

图①

图② 第4题解图

(2)△PMN为等腰直角三角形，理由如下： 如解图②，设AE交BC于点O. ∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE， ∴∠ACE＝∠BCD， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD. 又∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD， ∴∠BHO＝∠ACO＝90°.

∵点P，M，N分别为AD，AB，DE的中点， 11

∴PM＝BD，PM∥BD，PN＝AE，PN∥AE，

22∴PM＝PN，

∴∠MGE＋∠BHA＝180°， ∴∠MGE＝90°， ∴∠MPN＝90°，

∴PM⊥PN，即△PMN为等腰直角三角形．

1

(3)由(2)可知△PMN是等腰直角三角形，PM＝BD，

2∴当BD的值最大时，PM的值最大，△PMN的面积最大， ∴当B，C，D共线时，BD的最大值为BC＋CD＝6， ∴PM＝PN＝3，

学习好资料 欢迎下载

19

∴△PMN面积的最大值为×3×3＝.

22

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lp7a.html