《常微分方程》答案 习题4.2

《常微分方程》习题答案

习题4.2

1. 解下列方程

(4)x 5x 4x 0 （1）

解：特征方程 4 5 2 4 0有根 1 2， 2 2， 3 1， 4 1

2t 2tt t

ce ce ce ce故通解为x=1 234

23

x 3ax 3ax ax 0 (2)

解：特征方程 3 3a 2 3a2 a3 0

有三重根 a

故通解为x=c1eat c2teat c3t2eat

(5)x 4x 0 （3）

解：特征方程 5 4 3 0

有三重根 0， 4 2， 5 -2 故通解为x c1e

2t

c2e c3t c4t c5

2t2

（4）x 2x 10x 0

解：特征方程 2 2 10 0有复数根 1 -1+3i, 2 -1-3i

故通解为x c1e tcos3t c2e tsin3t (5) x x x 0

解：特征方程 2 1 0有复数根 1 1 故通解为x c1e

1

t2

3i

2

, 2

1 i

, 2

cost c2e

2

1 t2

3sint

2

《常微分方程》习题答案

(6) s a2s t 1

解：特征方程 2 a2 0有根

1 a, 2 -a

当a 0时，齐线性方程的通解为s=c1eat c2e at

~s A Bt

代入原方程解得A B

1

(t 1) 2a

1a2

故通解为s=c1eat c2e at-

11

当a=0时,~s t2( 1t 2)代入原方程解得 1 , 2

6

2

故通解为s=c1 c2t-

12

t(t 3) 6

(7) x 4x 5x 2x 2t 3

解：特征方程 4 5 2 0有根 2,两重

3

2

1

根 1

齐线性方程的通解为x=ce

12t

c2et c3tet

又因为 0不是特征根，故可以取特

x A Bt代入原方程解得A=-4，解行如~

B=-1

故通解为x=ce ce cte-4-t (8) x 2x x t 3

2重根 1 解：特征方程 2 1 0有2重根 1，

2t

t

t

1

2

3

(4)

2

42

故齐线性方程的通解为

《常微分方程》习题答案

x=ce cte ce cte

x At取特解行如~

t

t

t

t

1

2

3

4

2

Bt c

代入原方程解得

A=1，B=0,C=1

故通解为x=ce cte ce cte+t 1

(9)x x cost

解：特征方程 1 0有复数根

t

t

t

t

2

1234

3

1

1 3i 1 i

, 2 , 3 122

故齐线性方程的通解为

x c1e

1 t2

t3cost c2e2sint c3et

22

1

x Acost Bsint代入原方程解得取特解行如~

1,B A=122

故通解为x ce

1

1

t2

t1cost c2e2sint c3et (cost sint)

222

1

(10) x x 2x 8sin2t

解：特征方程 2 0有根 -2, 1

2

12

故齐线性方程的通解为x=ce ce

t

2t

1

2

因为+-2i不是特征根

《常微分方程》习题答案

x Acos2t Bsin2t代入原方程解取特解行如~

26

,B 得A= 5

5

故通解为x=ce ce

t1

2

2t

26

cos2t sin2t55

（11）x x e

t

解：特征方程

1

1 3i 1 i

, 2 , 3 122

3 1 0

有复数根

故齐线性方程的通解为

x c1e

1 t2

t3cost c2e2sint c3et

22

1

1是特征方

1

x Ate代入原方程解得A= 程的根，故~

3

t

故通解为x ce

1

1 t2

tcost c2e2sint c3et

22

1

te +1

3

t

（12）s 2as as e

2

t

解：特征方程

2

2a a2 0

有2重根 -a

当a=-1时，齐线性方程的通解为s=ce cte,

1是特征方程的2重根，x Ate代入故~

t

t

1

2

2

t

《常微分方程》习题答案

原方程解得A=12

t, 通解为s=ce cte 12

t

t

2

1

2

当a -1时，齐线性方程的通解为s=ce cte,

1不是特征方程的根，故~x Ae代入原

at

at

1

2

t

方程解得A=(a 11)

2

故通解为s=ce

1

at

c2te at

+(a 11)e

t2

（13）x 6x 5x e

2t

解：特征方程

2

6 5 0

有根 -1, -5

1

2

故齐线性方程的通解为x=ce

1

t

c2e 5t

x Ae代入原2不是特征方程的根，故~

2t

1方程解得A=21

故通解为x=ce

1

t

c2e 5t

1

e +21

2t

（14）x 2x 3x e

t

cost

2 2 3 0

解：特征方程

有根

《常微分方程》习题答案

-1+2i, -1-2i

故齐线性方程的通解为x cecos

1

2

t

1

2t c2etsin2t

1 i

不是特征方程的根, 取特解行如

54,B 代入原方程解得A=41

41

t

~x (Acost Bsint)e t

故通解为x cecos

1

2t c2etsin2t

54

cost sint)e +(41

41

t

(15) x x sint cos2t

解：特征方程 1 0有根 i, - i

2

12

故齐线性方程的通解为x ccost csint

1

2

x x sint

, i,是方程的解

1

~x t(Acost Bsint)

代入

原方程解得

1~x tcost A= 1 B=0 故22x x cos2t

~x Acos2t Bsin2t

代入原方程解

得

1

x cos2t A=13 B=0 故~

3

故通解为x c1cost c2sint 1tcost 1cos2t

2

3

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