2018年中考数学难题突破：专题五-实践与应用（含答案）

难题突破专题五 实践与应用

现实生活中存在大量的有关数量关系的问题，需要从所研究的问题中捕捉数量关系，建立相应的数学模型——方程(组)、不等式(组)、函数表达式，再通过对数学模型的研究，使原问题获得解决，为此学生要过好三关：

1．审题关．应用题出题形式多样，如利用对话或图表呈现相关信息．对于文字叙述冗长的问题，要从数学的角度去除无关信息，抓住有用信息，捕捉数量关系，为此学生要提高阅读能力和搜集信息的能力．

2．转化关．在分析数量关系时要抓住反映数量关系的关键词语，如“共”“少”“是”“剩下”等，根据相等、不等关系分别列方程(组)、不等式(组)，根据变量之间的对应关系列函数表达式，切忌混淆数量关系，建立错误的数学模型．

3．解题关．加强解方程(组)、不等式(组)的训练，确保求解正确，充分考虑结果的多样性，使答案简明、准确． 在空间与图形的综合题中，常遇到求未知几何量或探索存在性问题，可通过探索图形性质，寻找未知几何量和已知几何量之间的等量关系或不等关系，列出方程(组)或不等式(组)，利用其有解、无解探索存在性问题，通过求解来求几何量．

类型1 分析数量之间的相等或不等关系，建立方程(组)或不等式(组)

1 某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A，B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：

销售数量 销售时段 销售收入 A种型号 第一周 第二周 3台 4台 B种型号 5台 10台 1800元 3100元 (进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本) (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价．

(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，则A种型号的电风扇最多能采购多少台？

(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

例题分层分析

(1)设A，B两种型号电风扇的销售单价分别为x元，y元，根据3台A种型号、5台B种型号的电风扇收入1800元，4台A种型号、10台B种型号的电风扇收入3100元，可列得方程组____________，从而求出A，B两种型号的电风扇的销售单价．

(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30－a)台，根据金额不多于5400元，可列不等式__________________，从而得到结果．

(3)根据利润为1400元，可列出方程__________，求出a的值，即可判断是否能实现目标．

类型2 分析数量之间的对应关系，建立函数表达式

2 某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任

务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列表达式：y＝

?54x（0≤x≤5），?? ??30x＋120（5

图Z5－1

(1)李明第几天生产的粽子数量为420只？

(2)如图Z5－1，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元．(利润＝出厂价－成本)

(3)设(2)中第m天的利润达到最大值，若要使第(m＋1)天的利润比第m天的利润至少多48元，则第(m＋1)天每只粽子至少应提价多少元？

例题分层分析

(1)把y＝420代入y＝30x＋120，解方程即可求得．

(2)根据图象求得成本p与x之间的函数表达式为：当0≤x≤9时，p＝________；当9＜x≤15时，p＝____________.根据利润等于出厂价减去成本列出等式，然后整理即可得到w与x的函数表达式为：当0≤x≤5时，w＝________；当5＜x≤9时，w＝__________；当9＜x≤15时，w＝________．再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答．

(3)根据(2)得出m＋1＝________，根据利润等于出厂价减去成本得出提价a与利润w的关系式为w＝__________，再根据题意列出不等式，求解即可．

解题方法点析

此类问题考查的是函数在实际生活中的应用，主要是利用函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数表达式．

类型3 函数与方程、不等式之间的关系

3 某农业观光园计划将一块面积为900 m的园圃分成A，B，C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每

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平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株，已知B区域面积是A的2倍，设A区域面积为x m.

(1)求该园圃栽种花卉总株数y关于x的函数表达式．

(2)若三种花卉共栽种6600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？

(3)已知三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，在(2)的前提下，全部栽种共需84000元，请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价．

例题分层分析

(1)设A区域面积为x m，则B区域面积是______m，C区域面积是________m，根据每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株，即可解答．

(2)当y＝6600时，即可得到方程________，解之可得．

(3)设三种花卉的单价分别为a元、b元、c元，根据题意得方程组______________；整理得方程________，根据三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，可得b＝________，c＝________，a＝________，即可解答．

解题方法点析

此类题目需根据题意构建函数模型，然后再与方程、不等式相互转化．

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专 题 训 练

1．某市为提倡节约用水，采取分段收费的方法．若每户每月用水不超过20 m，每立方米收费2元；若用水超过20 m，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费64元，则他家该月用水________m.

2．[2017·沈阳] 某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是________元时，才能在半月内获得最大利润．

3．[2017·河池] 某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．

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(1)排球和足球的单价各是多少元？

(2)若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？

4．[2017·衢州] 五一期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．

图Z5－2

根据以上信息，解答下列问题：

(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2

关于x的函数表达式；

(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．

5．小慧和小聪沿图Z5－3①中景区公路游览．小慧乘坐车速为30 km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系．试结合图中信息回答：

(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？

(2)试求线段AB，GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义．

(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？

图Z5－3

参考答案

类型1 分析数量之间的相等或不等关系，建立方程(组)或不等式(组) 例1 【例题分层分析】

??3x＋5y＝1800，(1)? ?4x＋10y＝3100?

(2)200a＋170(30－a)≤5400

(3)(250－200)a＋(210－170)(30－a)＝1400

解：(1)设A，B两种型号的电风扇的销售单价分别为x元，y元，

???3x＋5y＝1800，?x＝250，

?依题意，得解得? ?4x＋10y＝3100，?y＝210.??

答：A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元．

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