2014实战演练·高三数学参考答案与解析

2014实战演练·高三数学参考答案与解析

南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试

1. {0，2} 解析：本题主要考查集合的基本概念、运算等基础知识，属于容易题． 2. －3＋4i 解析：(1－2i)2＝1－4i＋(2i)2＝－3－4i，共轭复数为－3＋4i. 本题主要考查复数的基本概念和运算、共轭复数等基础知识，属于容易题． 4143. 解析：这组数据的平均数为9，s2＝[(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝. 555本题主要考查统计中方差的计算，属于容易题． 2

4. 解析：记两个红球为A1、A2，两个白球为B1、B2，那么取出的两个球为A1A2、A1B1、A1B2、A2B1、3

42

A2B2、B1B2，共6种情况，其中两球颜色不同的有4种情况，所求概率为＝.

63

本题主要考查古典概型，属于容易题．

a1＋a95. 27 解析：由a3＋a5＋a7＝9，得a5＝3，S9＝39＝a539＝27.

2

本题主要考查等差数列的概念和性质、前n项和公式等简单的计算，属于容易题．

6. 26 解析：画出可行区域，得到最优解是直线3x－y－6＝0与直线x－y＋2＝0的交点(4，6)，代入目标函数得最大值为26.

本题考查线性规划问题，涉及到求直线交点，考查灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于容易题． 7. 3 解析：s＝6＋5＋4＝15，n－1＝3.

本题主要考查算法流程图的基础知识，属于容易题． ππkπππ

8. 解析：f(x)＝sin?2x＋2φ－?，因为函数f(x)为奇函数，故2φ－＝kπ，k∈Z，即φ＝＋.63263??

π

当k＝0时，φ取最小正值. 6

本题主要考查函数图象的移动、三角函数的性质——奇偶性及周期性，属于中等题． 9. ①③④ 解析：本题主要考查空间线线、线面、面面之间的位置关系，属于中等题．

2

10. 解析：由9cos2A－4cos2B＝5，得9(1－2sin2A)＝5＋4(1－2sin2B)，得9sin2A＝4sin2B，即3sinA＝

3

BCsinA2

2sinB.由正弦定理得＝＝.

ACsinB3

本题主要考查三角形中的正弦定理及三角公式的灵活使用等基础知识，属于中等题．

4→→→1→→→→→→→11. － 解析：(解法1)由已知AD＝DC，则D为AC中点，BD＝(BC－AB)，AC＝BC＋AB.BD2AC＝

32

5＋5－4311→→→→1

－即(BC－AB)·(BC＋AB)＝－，故AB2－BC2＝1.又BC＝2，所以AB＝AC＝5，cosA＝＝，所2225235

534→→→→→?1→→?→→→1→

以CE2AB＝(AE－AC)·AB＝?3AB－AC?2AB＝－AC2AB＋AB2＝－53＝－. 3353

(解法2)取BC中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则B(－1，0)、C(1，0)．设A(0，

1m?→?3m?→13m21→→→→?m)，由AD＝DC，得D?2，2?，BD＝?2，2?，AC＝(1，－m)．由BD2AC＝－，得－＝－，解得m＝

2222

14444→→→→

－，?，则CE＝?－，?，AB＝(－1，－2)，所以CE2AB＝－. 2.这样E??33??33?3

本题考查向量的有关概念、向量的数量积等运算能力及灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于中等题．

12. [0，22＋2]

|PF1－PF2|?42?解析：PF1＋PF2＝42，＝2－，

PF1?PF1?a－c≤PF1≤a＋c，a＝22，c＝2，

|PF1－PF2|42

－2－22≤2－≤22－2，∈[0，2＋22]．

PF1PF1

本题考查椭圆的有关概念及性质、函数的单调性及绝对值等基础知识及灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于中等题．

ye2112－y

13. －1 解析：设f(y)＝lny－＋ln，则f′(y)＝－＝.当y∈(0，2)时，f′(y)>0；当y∈(2，＋∞)时，

22y22y

ye2

f′(y)<0，所以y＝2时，f(y)取最大值1，所以f(y)＝lny－＋ln≤1；又由基本不等式得

22

111?4cos2（xy）＋?≥2，当且仅当4cos2(xy)＝22时取等号，即cos(xy)＝， 24cos（xy）?4?4cos（xy）

12

所以log2?4cos（xy）＋4cos2（xy）?≥1，

??

2

1ye2

所以log2[4cos(xy)＋]＝lny－＋ln成立，

224cos2（xy）

y＝2，??1则?21所以cos4x＝－2，ycos4x＝－1. ??cos（xy）＝4，

本题考查函数、三角、基本不等式等基础知识，考查函数与方程、不等式的思想，考查灵活运用相关基础知识解决问题的能力，属于难题．

41

－，－1? 14. ??25?

解析：在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]， [2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根为t一定在区间

25

(3，4)内，g(t)＝t2－6t＋7是二次函数，对称轴方程为

24

72?7241

4＞t＝＞3，g(t)的最小值为g?＝－， ?25?2525

111

直线y＝kx(k＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故

24824

圆相切，

?y＝kx，22由?得(1＋k)x－6x＋8＝0， 2?y＝1－（x－3），

125

取k2＝，得x2－6x＋7＝－1，t

2424

25

所以g(t)＝t2－6t＋7＜－1.

24

本题考查分段函数、函数的周期、直线方程等知识，考查函数与方程、数形结合及转化的思想，考查灵活运用有关基础知识解决问题的能力，属于难题．

15. 证明：(1) 因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以A1B1∥AB.(3分)

而A1B1平面ABD，AB平面ABD， 所以直线A1B1∥平面ABD.(6分)

(2) 因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以BB1⊥平面ABC. 因为AB平面ABC， 所以AB⊥BB1.(8分)

因为AB⊥BC，BB1平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，且BB1∩BC＝B， 所以AB⊥平面BB1C1C.(11分) 又AB平面ABD，

所以平面ABD⊥平面BB1C1C.(14分)

π

16. 解：(1) 因为cos?A＋?＝sinA，

6??

ππ

即cosAcos－sinAsin＝sinA，

6633

所以cosA＝sinA.(4分)

22显然cosA≠0，

否则，由cosA＝0，得sinA＝0，与sin2A＋cos2A＝1矛盾，

3

所以tanA＝.

3

因为0＜A＜π，

π

所以A＝.(7分)

6

1

(2) 因为cosA＝，4b＝c，

4

根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝15b2，

所以a＝15b.(10分)

1

因为cosA＝，

4所以sinA＝1－cos2A＝由正弦定理，得

15. 4

15bb＝， sinAsinB

1

所以sinB＝.(14分)

4

17. 解：(1) C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时，即未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费．(2分)

k

由C(0)＝＝24，得k＝2 400.(4分)

100

k1 800

因此F＝153＋0.5x＝＋0.5x，x≥0.(7分)

20x＋100x＋5

1 8001 800

(2) 由(1)知，F＝＋0.5x＝＋0.5(x＋5)－2.5

x＋5x＋5

1 800≥2·0.5（x＋5）－2.5

x＋5

＝57.5.(10分)

1 800

当且仅当＝0.5(x＋5)＞0，即x＝55时取等号．

x＋5

所以当x为55时，F取得最小值为57.5万元．(14分) (说明：第(2)题用导数求最值的，相应给分)

22

22c2a－b8

18. 解：(1) 由e＝，得2＝2＝，即a2＝9b2，

3aa922xy

故椭圆的方程为2＋2＝1.(3分)

9bb

又椭圆过点M(32，2)，

182

所以2＋2＝1，解得b2＝4.

9bb

x2y2

所以椭圆C的方程为＋＝1.(5分)

364

(2) ① 记△MAF2的外接圆的圆心为T.

1

因为直线OM的斜率kOM＝，

3

所以线段MA的中垂线方程为y＝－3x.

722?

又由M(32，2)、F2(42，0)，得线段MF2的中点为N?. ，2??2

而直线MF2的斜率kMF2＝－1，

所以线段MF2的中垂线方程为y＝x－32. ?y＝－3x，3292?由?解得T?.(8分) ，－

4??4?y＝x－32，

32?2?92?255?从而圆T的半径为＋＝，

2?42－4??0＋4?

22

32??92?125?故△MAF2的外接圆的方程为x－＋y＋＝.(10分)

44??4??

3292

(说明：该圆的一般式方程为x2＋y2－x＋y－20＝0.)

22

② 设直线MA的斜率为k，A(x1，y1)、B(x2，y2)．

由题意知，直线MA与MB的斜率互为相反数，故直线MB的斜率为－k. 直线MA的方程为y－2＝k(x－32)， 即y＝kx＋2－32k.

??y＝kx＋2－32k，由方程?x2y2消去y，整理得

＋＝1，??364

(9k2＋1)x2＋182k(1－3k)x＋162k2－108k－18＝0.(*)

由题意知，方程(*)有两解32，x1，

182k（3k－1）182（3k2－k）

所以x1＝－32＝－32.

9k2＋19k2＋1182（3k2＋k）

同理可得x2＝－32.(13分)

9k2＋1362k1082k2

因此x2－x1＝2，x2＋x1＝2－62.

9k＋19k＋1

又y2－y1＝－kx2＋2＋32k－(kx1＋2－32k) ＝－k(x2＋x1)＋62k

1082k3

＝－2＋122k 9k＋1122k＝2， 9k＋1

122k2y2－y19k＋11

所以直线AB的斜率kAB＝＝＝，为定值．(16分)

x2－x1362k3

9k2＋1

19. 解：(1) 因为函数f(x)＝x－1在区间[－2，1]上单调递增， 所以当x∈[－2，1]时，f(x)的取值范围为[－3，0]．(2分) 而[－3，0][－2，1]，

所以f(x)在区间[－2，1]上不是封闭的．(4分)

3x＋aa－3

(2) 因为g(x)＝＝3＋. x＋1x＋1

① 当a＝3时，函数g(x)＝3，显然{3}[3，10]，故a＝3满足题意； ② 当a＞3时，在区间[3，10]上，函数g(x)单调递减，此时g(x)的取值范围为?

30＋a9＋a??11，4?.

30＋a

≥3，?1130＋a9＋a?[3，10]，得由?解得3≤a≤31，故3＜a≤31；(7分) ，?9＋a4??11

?4≤10，

a－3

③ 当a＜3时，在区间[3，10]上，有g(x)＝3＋＜3，不合题意．

x＋1

综上所述，实数a的取值范围是区间[3，31]．(9分) (3) 因为h(x)＝x3－3x，

所以h′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．

因为当x＜－1或x＞1时，h′(x)＞0；当x＝－1或1时， h′(x)＝0；当－1＜x＜1时，h′(x)＜0，

所以h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，在区间[－1，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增． 从而h(x)在x＝－1处取得极大值2，在x＝1处取得极小值－2.(11分) 解法1：

① 当a＜b≤－1时，因为h(x)在区间[a，b]上单调递增，

3

??h（a）＝a－3a≥a，所以? 3

?h（b）＝b－3b≤b，?

?a（a＋2）（a－2）≥0，?即? ??b（b＋2）（b－2）≤0，??－2≤a≤0或a≥2，解得? 此时无解．

?b≤－2或0≤b≤2，?

② 当a≤－1＜b≤1时，因为h(－1)＝2＞b，与“h(x)在区间[a，b]上封闭”矛盾，即此时无解． ③ 当a≤－1且b＞1时， 因为h(－1)＝2，h(1)＝－2， ??a≤－2，故? ?b≥2.?

3

??h（a）＝a－3a≥a，由? 3

?h（b）＝b－3b≤b，?

???－2≤a≤0或a≥2，?a＝－2，?解得 从而? ?b≤－2或0≤b≤2，?b＝2.??

④ 当－1≤a＜b≤1时，h(x)在区间[a，b]上单调递减，

3

??h（b）＝b－3b≥a，所以?(*) 3

?h（a）＝a－3a≤b.?

?a＝－1，??a＝－1，??a＝0，?

又a、b∈Z，所以?或?或?

???b＝0b＝1b＝1.???

分别代入(*)检验，均不合要求，即此时无解．

⑤ 当－1≤a≤1且b≥1时，因为h(1)＝－2＜a，与“h(x)在区间[a，b]上封闭”矛盾，即此时无解． ⑥ 当1≤a＜b时，因为h(x)在区间[a，b]上递增，

?h（a）＝a3－3a≥a，?所以? 3

?h（b）＝b－3b≤b，???－2≤a≤0或a≥2，即? ?b≤－2或0≤b≤2，?

此时无解．

综上所述，a＝－2，b＝2.(16分) 解法2：

3

??h（a）＝a－3a≥a，

由题意知，? 3

?h（b）＝b－3b≤b，?

??a（a＋2）（a－2）≥0，即? ?b（b＋2）（b－2）≤0，???－2≤a≤0或a≥2，解得?

?b≤－2或0≤b≤2.?

因为a＜b，

所以－2≤a≤0，0≤b≤2.

又a、b∈Z，故a只可能取－2，－1，0，b只可能取0，1，2. ① 当a＝－2时，因为b＞0，故由h(－1)＝2，得b≥2. 因此b＝2.

经检验，a＝－2，b＝2满足题意．

② 当a＝－1时，由于h(－1)＝2，故b＝2，此时h(1)＝－2，不满足题意． ③ 当a＝0时，显然不满足题意． 综上所述，a＝－2，b＝2.(16分) 20. (1) 解：因为{an}是等差数列，

所以an＝(6－12t)＋6(n－1)＝6n－12t(n∈N*)．(2分) 因为数列{bn}的前n项和为Sn＝3n－t，

－－

所以当n≥2时，bn＝(3n－t)－(3n1－t)＝233n1.

??3－t，n＝1，

又b1＝S1＝3－t，故bn＝?(4分) n－1

?233，n≥2.?

(2) 证明：因为{bn}是等比数列，

－

所以3－t＝23311，解得t＝1.

－

从而an＝6n－12，bn＝233n1(n∈N*)． 对任意的n∈N*，

－－

由于bn＋1＝233n＝633n1＝6(3n1＋2)－12，

－－

令cn＝3n1＋2∈N*，则acn＝6(3n1＋2)－12＝bn＋1， 所以命题成立．(7分)

1－3n11

从而数列{cn}的前n项和Tn＝2n＋＝33n＋2n－.(9分)

21－32

??6（3－t）（1－2t），n＝1，

(3) 解：由题意得dn＝?

?4（n－2t）·3n，n≥2.?

＋?2t－3??23n. 当n≥2时，dn＋1－dn＝4(n＋1－2t)·3n1－4(n－2t)·3n＝8?n－2????

37

① 若2t－＜2，即t＜时，dn＋1＞dn.

24

由题意得d1≤d2，即6(3－t)(1－2t)≤36(2－2t)，

－5－97－5＋97解得≤t≤. 44－5＋977因为＜，

44

－5＋97??－5－97

所以t∈??.(12分) ≤t≤

44??3

② 若2≤2t－＜3，

2

79

即≤t＜时，dn＋1＞dn(n∈N，n≥3)． 44

由题意得d2＝d3，即4(2t－2)332＝4(2t－3)333，

7

解得t＝. 4

3

③ 若m≤2t－＜m＋1(m∈N，m≥3)，

2

m3m5

即＋≤t＜＋(m∈N，m≥3)时， 2424

dn＋1≤dn(n∈N，2≤n≤m)；dn＋1≥dn(n∈N，n≥m＋1)．

2m＋3＋

由题意得dm＝dm＋1，即4(2t－m)33m＝4(2t－m－1)33m1，解得t＝. 4

－5－97－5＋972m＋3

综上所述，t的取值范围是{t|≤t≤或t＝，m∈N，m≥2}．(16分)

444

南通市2013届高三第一次调研测试

1. (－∞，－1] 解析：∵ A＝{x|x>－1}，U＝R，∴ ?UA＝(－∞，－1]．

3－2i（3－2i）（－i）

2. 三 解析：z＝＝＝－2－3i.本题考查复数的基本概念及运算、复数的几何意义等

ii（－i）

基础知识，属于容易题．

1

3. 48 解析：正四棱锥的斜高为32＋（7）2＝4，故S侧＝3(634)34＝48.

2

11－

4. 解析：由已知，f(x)是以2为周期的周期函数，故f(2 013)＝f(231 007－1)＝ f(－1)＝41＝.本题考44

查函数关系与函数的性质等基础知识，属于容易题．

5. 否命题 解析：命题p与q符合互为否命题的关系． x2y2c

6. －＝1 解析：圆心(5，0)，也是双曲线的焦点，即c＝5.又e＝＝5，则a＝5，b＝25，故该双520a

22xy

曲线的标准方程为－＝1.本题考查圆的方程、圆锥曲线的方程和几何性质等基础知识，属于容易题．

520

???9a5＝－36，?a5＝－4，?7. ±42 解析：由已知得即?故a5与a7的等比中项为±a5a7＝±42. ?13a7＝－104，??a7＝－8，?

3

8. 解析：由流程图知，当输入x时，各次循环输出的结果分别是2x＋1，2(2x＋1)＋1＝4x＋3，2(4x＋8

??8x＋7≥55，9－63

3)＋1＝8x＋7，此时退出循环．由?解得6≤x≤9，故输出的x不小于55的概率为P＝＝. 9－18?1≤x≤9，?

1→→→→→→→→→→→→→9. 解析：∵ |AB＋AC|＝|BC|，|AB＋AC|＝|AC－AB|，∴ |AB＋AC|2＝|AC－AB|2，即|AB|2＋|AC|2＋2→→→→→→→→→→

2AB2AC＝|AB|2＋|AC|2－2AB2AC，即AB2AC＝0，∴ AB⊥AC，即AB⊥AC.又AB＝1，AC＝3，∴ BC

→→

11BA·BC1→→→→22＝AB＋AC＝2，cosB＝，∴ BA2BC＝|BA||BC|cosB＝1323＝1，故＝.

222→

|BC|

2x－y＋1>0，???

10. －2 解析：因为0＜a＜1，所以原不等式等价于?3y－x＋2>0，即?3y－x＋2>0，画出可行域

??2x－y＋1<3y－x＋2，??3x－4y－1<0.

??2x－y＋1＝0，

(如图)，考查z＝x＋y的取值范围，由?得解为(－1，－1)，从而z>－1－1＝－2，故满足λ＜x

?3y－x＋2＝0，?

?2x－y＋1>0，

＋y的λ的最大值为－2.本题主要考查线性规划知识、等价转化及数形结合等数学思想，属于中等题．

f′（1）f′（1）xf′（1）12f′（1）x1

11. y＝ex－ 解析：由已知得f(0)＝，∴ f(x)＝e－x＋x，∴ f′(x)＝e－

2eee2e

f′（1）

＋x， e

f′（1）f′（1）11

∴ f′(1)＝e－＋1，即f′(1)＝e，从而f(x)＝ex－x＋x2，f′(x)＝ex－1＋x，∴ f(1)＝e－，ee22

11

e－?＝e(x－1)，即y＝ex－.本题主要考查导数的计算、导数的几何意义，考查f′(1)＝e，故切线方程为y－??2?2

等价转化、函数与方程等数学思想，属于中等题．

12. －1.5 解析：因简谐振动的物体的位移s与时间t之间的函数关系为s＝Asin(ωt＋φ)，且由题意，A＝2π2ππ2π

3，＝3，所以ω＝，s＝3sin?t＋φ?.又当t＝0时，s＝3，所以3＝3sinφ，即sinφ＝1，φ＝2kπ＋

32?3?ω

2π10π2ππ3

(k∈Z)，所以s＝3sin?t＋?＝3cos3t.故当t＝5时，s＝3cos3＝－2. 2??3

13. (－1，0)∪(0，2) 解析：由题意，圆心C(－1，0)，点P(x0，2x0)．因为PA＝PB，所以CP⊥AB，从

x0＋12x0而有kCPkAB＝－1，所以2a＝－1，即a＝－.又把y＝ax＋3代入x2＋y2＋2x－8＝0，得(a2＋1)x2＋(6a

2x0x0＋1

x0＋1x0＋133

＋2)x＋1＝0，则有Δ＝(6a＋2)2－4(a2＋1)＝8a(4a＋3)>0，解得a>0或a<－，所以－＞0或－<－.42x02x04

由此解得－1

3x＋y－5x＋3y－73（x－1）＋y－23（y－2）＋x－1y－2x－1

14. (2，3) 解析：∵ m＝＋＝＋＝6＋＋，x－1y－2x－1y－2x－1y－2

y－2x－1y－2x－1

又x>3，y＝x2－1>2，∴ x－1>0，y－2>0，∴ ＋≥2，当且仅当＝时等号成立，即y＝x

x－1y－2x－1y－2

??x＝2，2

＋1，与y＝x－1联立，解得?故m的最小值为8，此时点P(2，3)．本题主要考查函数的性质及基本不

?y＝3.?

等式的运用，考查函数与方程、等价转化等数学思想，属于难题．

15. 证明：(1) 连结A1B和A1C.因为E、F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C的对角线的交点，所以E、F分别是A1B和A1C的中点．所以EF∥BC.(3分)

又BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF∥平面ABC.(6分)

(2) 因为三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱，所以A1A⊥平面ABC，所以BC⊥A1A.故由EF∥BC，得EF⊥A1A.(8分)

又D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以BC⊥AD. 故由EF∥BC，得EF⊥AD.(10分)

而A1A∩AD＝A，A1A、AD平面A1AD， 所以EF⊥平面A1AD.(12分)

又EF平面AEF，故平面AEF⊥平面A1AD.(14分)

sinA＋sinBsinCsinA＋sinB

16. 解：(1) 因为tanC＝，即＝，

cosCcosA＋cosBcosA＋cosB

所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB， 得sin(C－A)＝sin(B－C)．(4分)

所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)．

π

即2C＝A＋B，得C＝.(7分)

3

πππ2πππ

(2) 由C＝，设A＝＋α，B＝－α，0＜A、B＜，知－＜α＜. 333333

因为a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB，(8分)

1－cos2A1－cos2B

所以a2＋b2＝sin2A＋sin2B＝＋ 22

2π2π11

＝1－?cos?＋2α?＋cos?－2α??＝1＋cos2α.(11分)

2??32??3??ππ2π2π1

由－＜α＜，知－＜2α＜，－＜cos2α≤1，

3333233

故＜a2＋b2≤.(14分) 42

17. 解：(1) 由题意，AB＝x，BC＝2－x. 因为x＞2－x，故1＜x＜2.(2分) 设DP＝y，则PC＝x－y.

因为△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y.

1

1－?，1＜x＜2.(5分) 由PA2＝AD2＋DP2，得(x－y)2＝(2－x)2＋y2y＝2??x?(2) 记△ADP的面积为S1，则

1

1－?(2－x)(6分) S1＝??x?

2

x＋?≤3－22， ＝3－??x?

当且仅当x＝2∈(1，2)时，S1取得最大值．(8分)

故当薄板长为2 m，宽为(2－2) m时，节能效果最好．(9分) (3) 记凹多边形ACB′PD的面积为S2，则

1411

1－?(2－x)＝3－?x2＋?， S2＝x(2－x)＋?x??x?22?

1＜x＜2.(10分)

4?－x3＋21?3于是S2′＝－?2x－x2?＝＝0x＝2.(11分) 22x33

关于x的函数S2在(1，2)上递增，在(2，2)上递减． 3所以当x＝2时，S2取得最大值．(13分)

33故当薄板长为2 m，宽为(2－2) m时，制冷效果最好．(14分)

1·（a1－a1）

18. (1) 解：令n＝1，则a1＝S1＝＝0.(3分)

2

n（an－a1）nan(2) 证明：由Sn＝，即Sn＝， ①

22

（n＋1）an＋1

得Sn＋1＝. ②

2

②－①，得(n－1)an＋1＝nan. ③ 于是nan＋2＝(n＋1)an＋1. ④

③＋④，得nan＋2＋nan＝2nan＋1，即an＋2＋an＝2an＋1.(7分) 又a1＝0，a2＝1，a2－a1＝1，

所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以，an＝n－1.(9分)

2p

(3) 解：假设存在正整数数组(p，q)，使b1、bp、bq成等比数列，则lgb1、lgbp、lgbq成等差数列，于是p＝3

1q

＋.(11分) 33q2p1?所以q＝3q??3p－3?.(*)

易知(p，q)＝(2，3)为方程(*)的一组解．(13分)

2（p＋1）2p2－4p?2p?2p12331

??p当p≥3，且p∈N*时，－＝＜0，故数列(p≥3)为递减数列，于是－≤3－＜p＋＋33p333?3?3p13p10，所以此时方程(*)无正整数解．

综上，存在唯一正整数数对(p，q)＝(2，3)，使b1、bp、bq成等比数列．(16分) 19. (1) 解：依题设c＝1，且右焦点F′(1，0)．

2232?23?所以，2a＝EF＋EF′＝（1＋1）＋＋＝23，b2＝a2－c2＝2， 3?3?22xy

故所求的椭圆的标准方程为＋＝1.(4分)

32

(2) 解：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则

2

x2y2x2y2112＋＝1，①＋＝1.② 3232

（x2－x1）（x2＋x1）（y2－y1）（y2＋y1）

②－①，得＋＝0.

32

y2－y12（x2＋x1）4xP2

所以k1＝＝－＝－＝－.(9分)

6yP3x2－x13（y2＋y1）

(3) 证明：依题设，k1≠k2.

设M(xM，yM)，直线AB的方程为y－1＝k1(x－1)，即y＝k1x＋(1－k1)，亦即y＝k1x＋k2，代入椭圆方程

22

并化简得(2＋3k21)x＋6k1k2x＋3k2－6＝0.

－3k1k22k2于是xM＝.(11分) 2，yM＝2＋3k12＋3k21

－3k1k22k1同理xN＝. 2，yN＝2＋3k22＋3k22

2

yM－yN4＋6（k2＋k2k1＋k210－6k2k11）

当k1k2≠0时，直线MN的斜率k＝＝＝.(13分)

xM－xN－9k2k1（k2＋k1）－9k2k110－6k2k1?－3k1k2?2k2直线MN的方程为y－?x－2＋3k2?， 2＝2＋3k1－9k2k1?1?

10－6k2k1?10－6k2k13k1k22k2?

2即y＝x＋??， 2＋

－9k2k1?－9k2k12＋3k12＋3k21?10－6k2k122

0，－?.(15分) 亦即y＝x－.此时直线过定点?3??3－9k2k1

20，－?. 当k1k2＝0时，直线MN即为y轴，此时亦过点?3??2

0，－?.(16分) 综上，直线MN恒过定点，且坐标为?3??

20. 解：(1) 因为f(x)在(1，＋∞)上为减函数，

lnx－1

所以f′(x)＝－a≤0在(1，＋∞)上恒成立．(2分)

（lnx）2所以当x∈(1，＋∞)时，f′(x)max≤0.

lnx－11?2111?21??又f′(x)＝－a＝－?lnx?＋－a＝－?lnx－2?＋－a，

lnx4（lnx）2111故当＝，即x＝e2时，f′(x)max＝－a.

lnx24111

所以－a≤0，于是a≥，故a的最小值为.(6分)

444

2

(2) 命题“若x1、x2∈[e，e]，使f(x1)≤f′(x2)＋a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f(x)min≤f′(x)max

＋a”．(7分)

1

由(1)，当x∈[e，e2]时，f′(x)max＝－a，

4

1

∴ f′(x)max＋a＝. 4

1

问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f(x)min≤”．(8分)

4

1

① 当a≥时，由(1)，f(x)在[e，e2]上为减函数，

4

e21112

则f(x)min＝f(e)＝－ae2≤，故a≥－2.(10分)

2424e

11?211?② 当a＜时，由于f′(x)＝－?lnx－2?＋－a在[e，e2]上为增函数，

44

1

－a，－a?. 故f′(x)的值域为[f′(e)，f′(e2)]，即?4??

(ⅰ) 若－a≥0，即a≤0，f′(x)≥0在[e，e2]恒成立，故f(x)在[e，e2]上为增函数，

1

于是，f(x)min＝f(e)＝e－ae≥e＞，不合．(12分)

41

(ⅱ) 若－a＜0，即0＜a＜，由f′(x)的单调性和值域知存在唯一x0∈(e，e2)，使f′(x0)＝0，且满足：

4

当x∈(e，x0)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(x0，e2)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．

x01

所以，f(x)min＝f(x0)＝－ax0≤，x0∈(e，e2)．

lnx04

11111111

所以，a≥－＞2－＞－＝，与0＜a＜矛盾，不合．(15分)

lnx04x0lne4e2444

11

综上所述，实数a的取值范围为a≥－2.(16分)

24e

苏州市2013届高三调研测试

1. {－1，2} 解析：根据交集的意义得A∩B＝{－1，2}．

1－2i（1－2i）（2－i）0－5i

2. 1 解析：由z(2＋i)＝1－2i，得z＝＝＝＝－i，故|z|＝1.本题主要考查复数

52＋i（2＋i）（2－i）

的基本概念及基本运算、复数的模等基础知识，属于容易题．

1－1

3. 2 解析：样本的平均数为x＝(8＋12＋10＋11＋9)＝10，所以s2＝[(8－10)2＋(12－10)2＋(10－10)2＋

55

(11－10)2＋(9－10)2]＝2.

2

4. 解析：不妨设成等差数列的5个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d(d>0)，则这5个数的和为5a＝5

2

15，即a＝3，从而这5个数中小于3的数有2个，故从这5个数中随机抽取一个数小于3的概率是.

5

1

5. 解析：设过坐标原点作函数y＝lnx图象的切线的切点为(x0，y0)，则y0＝lnx0，切线的斜率为y′|x＝e11111

x0＝，切线方程为y＝x.又切线过切点(x0，lnx0)，所以lnx0＝2x0，解得x0＝e，故切线斜率为＝.本题

x0x0x0x0e主要考查导数的计算、导数的几何意义与切线的求法，属于容易题．

6. 3 解析：因为BB1∥平面ADD1，所以V三棱锥A B1D1D＝V三棱锥B1 AD1D＝V三棱锥B AD1D111

＝S△ADD12AB＝3333233＝3. 332

7. 6.6 解析：由题意，从今年起到第五年的年产值构成首项为1.1，且公比也为1.1的等比数列，所以这

1.13（1－1.15）

个厂五年的总产值为S＝＝113(1.15－1)≈113(1.6－1)＝6.6.

1－1.1

本题主要考查等比数列的概念、等比数列的前n项和等基础知识，属于容易题．

m?m6?6?＝1，?m?≠m，8. 2 解析：当输入m＝6，n＝4时，Int?＝Int＝，∴ Int使c＝6－431?n??4??n?n进入循环体，n4

m?m

＝2，m＝4，n＝2，此时Int?＝2＝，退出循环，输出n的值2. ?n?n

x2y2b2b2

9. 2 解析：将x＝c代入双曲线方程2－2＝1，得y＝±，当△ABC为直角三角形时，有BF＝AF，∴

abaa

＝a＋c，

∴ c2－a2＝a2＋ac，即2a2＋ac－c2＝0，(a＋c)(2a－c)＝0，

c

∴ 2a－c＝0，故离心率e＝＝2.

a

本题主要考查圆锥曲线的方程与几何性质，考查数形结合思想与方程思想，属于中等题．

??x（x＋1），x≥－1，3?1?1?1?3??10. ?－∞，4? 解析：f?2?＝?2＋1?＝，f(x)＝?当x<－1时，f(x)＝－x(x＋1)＝

24?－x（x＋1），x<－1，?

x≥－1，?2?11111

x＋?＋≤f(－1)＝0，此时f(x)

1?1?－∞，1?，所以不等式f?x－1?＜f?1?等价于x－1<1，故此不等式－1≤x≤，所以不等式f(x)≤f?的解集为2??2???4??2?242

3

－∞，?.本题主要考查分段函数、二次函数的性质，解简单的不等式等基础知识，考查函数思想、的解集为?4??

等价转化思想．属于中等题．

17242311. 解析：因为θ为锐角，且sin(θ＋15°)＝∈?，?，所以θ＋15°∈(45°，60°)，2θ＋30°

505?22?4?272?∈(90°，120°)，所以cos(2θ＋30°)＝1－2sin(θ＋15°)＝1－23?5?＝－，从而sin(2θ＋30°)＝

25

24

1－cos2（2θ＋30°）＝，所以cos(2θ－15°)＝cos[(2θ＋30°)－45°]＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋

25

7224217230°)sin45°＝－3＋3＝.

2522525055?2x3＋y3xy2y2?12. ?3，9? 解析：令z＝2＝2·＋2，＝k，则z＝＋k2.因k表示可行域内的点与坐标原点连线

xyyxxk

?2x－y≥0，

?

的斜率，由不等式?x＋y－4≥0，

??x≤3

1?122，2的最值，由z对k求导，z′＝－2表示的平面区域(如图)知≤k≤2.利用导数求函数z＝＋k2，k∈??3?3kk

32

2k－22（k－1）（k＋k＋1）1?＋2k＝2＝，令z′＝0得k＝1，且当k∈?2?3，1?时，z′<0，当k∈(1，2)时，z′>0，kk

2x3＋y3?55?155155

所以当k＝1时，zmin＝3.又当k＝时，z＝，当k＝2时，z＝5，所以当k＝时，zmax＝.故z＝2∈?3，9?.

3939xy

本题主要考查线性规划、导数的计算及应用导数求函数的最值．考查了数形结合、化归等数学思想方法．属于中等题．

13. 60° 解析：如图，已知圆的圆心为C(3，1)，半径为r＝2，直线的倾斜角为120°.因为kOC2kAB3＝2(－3)＝－1，所以OC⊥AB，易知∠xOC＝30°.由图象的对称性知∠AOC＝∠BOC，即∠xOA－∠xOC3

＝∠xOC－∠xOB，所以∠xOA＋∠xOB＝2∠xOC＝60°.本题主要考查直线方程、圆的方程和性质，考查了探索推理能力及数形结合思想，属于难题．

1

14. 解析：设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]．因为|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，所以a2－a·b－2b2＝0，

2

222?2|b|＋|b|－1≥0，?1－2|b|1－2|b|12

?即1－|b|cosθ－2|b|＝0，所以cosθ＝，所以－1≤≤1，即解得≤|b|≤1，故2|b||b|2?2|b|－|b|－1≤0，?

1

|b|的最小值为. 2

本题主要考查向量的数量积、不等式的解法，灵活运用相关知识解决问题的能力，属于难题．

2π

15. 解：(1) 由＝π，得ω＝2.(2分)

ω2π

由最低点为M?，－3?，得A＝3.(4分)

?3?2π3πππ且23＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，0＜φ＜，∴ φ＝.

3226

π

∴ f(x)＝3sin?2x＋?.(7分)

6??π

(2) y＝f(x)＋f?x＋?

4??πππ

＝3sin?2x＋?＋3sin?2?x＋?＋?

6?4?6????ππ

＝3sin?2x＋?＋3cos?2x＋?(9分)

6?6???5π

＝32sin?2x＋?，(11分)

12??

∴ ymax＝32.(12分)

5πππ

此时，2x＋＝2kπ＋，x＝kπ＋，k∈Z.(14分)

12224

16. (1) 证明：∵ BC⊥平面PAB，AD平面PAB， ∴ BC⊥AD.(3分)

∵ PA＝AB，D为PB中点，∴ AD⊥PB.(6分)

∵ PB∩BC＝B，∴ AD⊥平面PBC.(7分)

(2) 解：连结DC，交PE于G，连结FG. ∵ AD∥平面PEF，AD平面ADC， 平面ADC∩平面PEF＝FG， ∴ AD∥FG.(10分)

∵ D为PB中点，E为BC中点，连结DE，则DE为△BPC的中位线，△DEG∽△CPG. DGDE1∴ ＝＝.(12分) GCPC2AFDG1∴ ＝＝.(14分)

FCGC2

17. 解：(1) ∵ ∠ABC＝120°，∠ACB＝θ，∴ ∠BAC＝60°－θ. ∵ ∠BAD＝90°，∴ ∠CAD＝30°＋θ.

∵ ∠ACD＝60°，∴ ∠ADC＝90°－θ.(2分)

ADAC

在△ACD中，∵ ＝，

sin∠ACDsin∠ADC

24cosθ

∴ AC＝＝163cosθ.(5分)

sin60°

ABAC

在△ABC中，∵ ＝，

sin∠ACBsinB

ACsinθ

∴ AB＝＝16sin2θ，即h＝16sin2θ.(7分)

sin120°

BCAC

(2) 在△ABC中，∵ ＝，

sin∠BACsinB

ACsin（60°－θ）

∴ BC＝＝32cosθsin(60°－θ)＝83＋83cos2θ－8sin2θ.(10分)

sin120°

则S＝AB＋BC＝83＋83cos2θ＋8sin2θ＝83＋16sin(2θ＋60°)．(12分) ∵ 30°≤θ≤45°，∴ 120°≤2θ＋60°≤150°. ∴ 当θ＝45°时，S取得最小值为(83＋8) m．(14分)

18. 解：(1) 设F(－c，0)，∵ A(a，0)，B(0，－b)，C(0，b)，

→→

∴ FC＝(c，b)，BA＝(a，b)．

→→

∵ FC2BA＝5，∴ ac＋b2＝5. ①(2分) c1

∵ ＝， ② a2

由①②，得a＝2，c＝1，b＝3.

x2y2

∴ 椭圆E的方程为＋＝1.(5分)

43

(2) 线段FC的方程为y＝3x＋3(－1≤x≤0)，设P(x，y)，

7?247→→?则PA2PB＝x(x－2)＋y(y＋3)＝x(x－2)＋3(x＋1)(x＋2)＝4?x＋8?＋.(8分)

16

773→→

当PA2PB取得最小值时，x＝－，则P?－，?.(10分)

8?88?

→→

(3) 设M(0，m)，由NF＝λFM，得N(－1－λ，－λm)．(12分) 代入椭圆E的方程，得3(－1－λ)2＋4(－λm)2－12＝0. 即4(λm)2＝12－3(1＋λ)2.(14分)

∵ m∈[－3，3]，∴ 0≤4(λm)2≤12λ2. 则0≤12－3(1＋λ)2≤12λ2.

3?3

解得≤λ≤1，即实数λ的取值范围为??5，1?.(16分) 5

??2a1＝A＋B＋1，

19. 解：(1) 分别令n＝1、2，代入条件，得?(2分)

?2a2＋a1＝4A＋2B＋1.?

1A＝，

239

又a1＝，a2＝，解得(4分)

243

B＝.2

13

∵ an＋Sn＝n2＋n＋1， ①

22

13

∴ an＋1＋Sn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)＋1. ②

22

②－①，得2an＋1－an＝n＋2.(6分)

1

则an＋1－(n＋1)＝(an－n)．

21

∵ a1－1＝≠0，

2

11

∴ 数列{an－n}是首项为，公比为的等比数列．(8分)

22

11

an－n＝n，则an＝n＋n.(10分)

22

(2) ∵ 数列{an}是等差数列，∴ 可设an＝dn＋c，

n（d＋c＋dn＋c）d2?d?则Sn＝＝n＋?c＋2?n.

22

3dd

c＋?n＋c.(13分) ∴ an＋Sn＝n2＋??2?2

B－1d3d

则A＝，B＝c＋，c＝1.∴ ＝3.(16分)

22A

20. 解：(1) f(1)≤f(0)，即1－2(1－a)φ(1－a)≤0.

3

当a＞1时，φ(1－a)＝－1，∴ 1＋2(1－a)≤0，a≥；(2分)

21

当a≤1时，φ(1－a)＝1，∴ 1－2(1－a)≤0，a≤. 2

13

综上，a≤或a≥.(4分)

22

(2) 当x＝1时，f(x)＝f(1)．

由题意，x∈[0，1)，f(x)≥f(1)恒成立．(5分) 1° 当a≥1时，

由f(x)≤f(1)，得x2＋2x(x2－a)≥3－2a，即2a(x－1)≤2x3＋x2－3. ①

2x3＋x2－3

∵ x∈[0，1)，①式即2a≥，即2a≥2x2＋3x＋3.(7分)

x－1

上式对一切x∈[0，1)恒成立，∴ 2a≥2＋3＋3，则a≥4.(8分)

2° 当0＜a≤1时，由f(x)≤f(1)，得x2－2x(x2－a)φ(x2－a)≥2a－1. (ⅰ) 当a≤x≤1时，

x2－2x(x2－a)≥2a－1，即2a(x－1)≥2x3－x2－1. ②

2x3－x2－1

∵ x∈[0，1)，②式即2a≤，即2a≤2x2＋x＋1.(10分)

x－1

上式对一切x∈[0，1)恒成立，

∴ 2a≤2a＋a＋1，此式恒成立．(11分) (ⅱ) 当0≤x＜a时，

x2＋2x(x2－a)≥2a－1，即2a(x＋1)≤2x3＋x2＋1. ③

2x3＋x2＋1

∵ x∈[0，1)，③式即2a≤，

x＋1

即2a≤2x2－x＋1.(13分)

11

1) 当a≤，即0＜a≤时，2a≤2(a)2－a＋1，∴ a≤1.

416

1

结合条件得0＜a≤.(14分)

16

1117

2) 当a＞(0＜a≤1)，即 ＜a≤1时，2a≤1－，∴ a≤.

41681617

结合条件得＜a≤.

1616

?

??

7

由1)、2)，得0＜a≤.(15分)

167

综上，得0＜a≤或a≥4.(16分)

16

无锡市2012年秋学期普通高中期末考试试卷

1. {x|0＜x≤1} 解析：集合A＝(0，2)，?UB＝(－∞，1]，A∩?UB＝{x|0＜x≤1}．

1－2i（1－2i）（2－i）2－2－5i

2. －i 解析：＝＝＝－i.

52＋i（2＋i）（2－i）

320

3. 64 解析：3200＝64.本题主要考查统计中的抽样方法及运算能力，属于容易题．

400＋320＋280

4. 17 解析：S＝237＋3＝17.

BCAC2

5. 1 解析：∠B＝30°，根据正弦定理得＝，AC＝3sin30°＝1. 本题主要考查三角形中

sinAsinBsin45°

的正弦定理及三角形内角和公式等基础知识，属于容易题．

6. [－6，2] 解析：a＋b＝(3，2＋k), |a＋b|＝9＋k2＋4k＋4≤5，k2＋4k－12≤0，－6≤k≤2.本题主要考查向量的模及解一元二次不等式；考查转化运算能力．属于中等题．

7. －1≤a≤6 解析：綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，命题p对应的实数集

?a－4≤2，?

合为A＝(a－4，a＋4), 命题q对应的实数集合为B＝(2，3)，BA，?上面两个等号不能同时成立，

??a＋4≥3，

所以－1≤a≤6.本题考查命题及真假判定，考查等价转化的思想．属于中等题．

?x≤0，

?

8. 2 解析：画出区域?y≥0，是一个等腰直角三角形，其面积为8，当直线x＋y＝a与y轴正半轴相交时，

??y－x≤4

a－4

所经过平面区域的面积才可能为7，x＋y＝a与y轴交点坐标为(0，a)，与直线y－x＝4的交点横坐标为，

2

a－41

那么?（4－a）·?＝1，所以a＝2，则t＝2.本题考查线性规划问题，涉及到求直线交点、三角形面积等．属

2?2?于中等题．

9. (x－2)2＋(y＋2)2＝1 解析：圆C1的圆心(－1，1)，半径为1，设圆C2的圆心(a，b)，半径也为1，则b－1

31＝－1，

?a＋1?a＝2，?所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1. ?b＝－2.a－1b＋1?

－－1＝022

2

10. －30 解析：a23＝a1a4，即(a1－4)＝a1(a1－6)a1＝8，a20＝8－(20－1)32＝－30.

11. y2＝3x 解析：过点B作准线的垂线，垂足为D，则根据抛物线定义，BF＝BD，在直角三角形BCD

p

x－?.又AF＝3，中，BC＝2BD，故∠DBC＝60°，所以直线AF的倾斜角为60°，直线AF的方程为y＝3??2?

p3

所以xA＝3－，yA＝3(3－p)．代入抛物线方程得p＝，故抛物线方程为y2＝3x.本题考查抛物线的定义、方

22

程、直线方程．属于中等题．

ππ12. 解析：f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ) －3sin(3x＋φ)＝－2sin?3x＋φ－?66??

πππ

是奇函数，所以φ－＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.又0＜φ＜π，所以k＝0，φ＝.本题考查复合函

666

数的导数、三角函数的性质及三角变换．属于中等题．

13. 85 解析：A、B两点分别位于x轴的上方和下方，在对应法则f：P(m，n)→P′(m，2|n|)变换下，A′、B′的坐标分别为(－2，12)、(6，4)，线段AB与x轴的交点为N(4，0)，点N在对应法则f：P(m，n)→P′(m，2|n|)变换下不变，点M的对应点M′经过的路线的长度为A′N＋B′N＝（4＋2）2＋122＋（6－4）2＋42＝85.本题考查点的坐标及平面上两点间距离问题．考查了数形结合与变换的思想及阅读理解与推理运算能力．属于难题．

（1－t）x－t223t2t2

14. 解析：y＝＝(1－t)－，显然t≠0，函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y′＝2>0，

3xxx

?????

?（1－t）a－t＝a，

a函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调增，所以[a，b](－∞，0)或[a，b] (0，＋∞)，所以?

（1－t）b－t

?b＝b，

0

?（1－t）a－t＝a，

（1－t）x－t

a或?所以方程＝x有两个不同的负实根或两个不同的正实根，即方程x－(1－

x

（1－t）b－t

?b＝b.

22

2

2

2

2

a

1

t)x＋t2＝0有两个不同的负实根或两个不同的正实根，所以Δ＝(1－t)2－4t2>0，－1

3

1?242322?所以方程只能有两个不同的正实根，所以b－a＝（a＋b）－4ab＝－3t－2t＋1＝－3?t＋3?＋≤.

33

本题主要考查函数的性质及应用．考查了函数与方程、不等式的思想及灵活运用相关基础知识解决问题的能力．属于难题．

1

15. 解：(1) f(x)＝(m＋n)·m＝sin2x＋1＋3sinxcosx＋

2

1－cos2x3131＝＋1＋sin2x＋＝sin2x－cos2x＋2

22222

π

＝sin?2x－?＋2，(6分)

6??

2π

∵ ω＝2，∴ T＝＝π.(8分)

2

ππ5πππ

(2) ∵ x∈?，?，∴ ≤2x－≤，(9分)

366?42?

π1

∴ ≤sin?2x－?≤1，(11分) 26??5

∴ ≤f(x)≤3.(12分) 2

ππ

∵ 方程f(x)－t＝0在x∈?，?上有解，

?42?

5?5

∴ ≤t≤3，∴ 实数t的取值范围为??2，3?.(14分) 2

16. (1) 证明：∵ BD⊥平面PAC，PC平面PAC， ∴ PC⊥BD.(2分)

4

在△PAC中，AC＝10，PA＝6，cos∠PCA＝，

5

222

∴ PA＝PC＋AC－2PC3ACcos∠PCA，

即36＝PC＋100－16PC，∴ PC＝8. ∴ AC2＝PC2＋PA2， ∴ PC⊥PA.(4分) 连结MO，

∵ M是PC的中点，O是AC的中点， ∴ PA∥MO，∴ PC⊥MO.(6分) 又BD∩MO＝O，

∴ PC⊥平面BMD.(8分)

2

11

(2) 解：由题意，得VM BCD＝VC MBD＝S△MBDCM＝BD3MO3CM＝14，(10分)

36

11

∵ CM＝PC＝4，MO＝PA＝3，

22

∴ BD＝7，(12分)

∴ 菱形ABCD的边长AB＝AO2＋OB2＝

149.(14分) 2

17. 解：(1) 如图，在等腰梯形CDEF中，DH是高．

11DH412

依题意：DH＝AB＝x，EH＝＝3x＝x，(3分)

22tan∠FED323

413915395

x＋x＋x?x＝xy＋x2，∴ y＝－x.(6分) ∴ ＝xy＋?3?222?62x6

395365

∵ x＞0，y＞0，∴ －x＞0，解之得0＜x＜.

2x65395365?∴ 所求表达式为y＝－x?0＜x＜.(7分)

2x6?5?

33

(2) 在Rt△DEH中，∵ tan∠FED＝，∴ sin∠FED＝，

45

DH155

∴ DE＝＝x3＝x，(9分)

sin∠FED236

25

23x＋x?＝2y＋6x ∴ l＝(2x＋2y)＋23x＋??6?3

39539133913＝－x＋6x＝＋x≥23x＝26，(11分) x3x3x3

3913

当且仅当＝x，即x＝3时取等号，(12分)

x3395

此时y＝－x＝4，

2x6

∴ AB＝3 m，BC＝4 m时，能使整个框架所用材料最少．(14分)

c2331

18. 解：(1) 由题意：2＝，∴ c2＝a2，b2＝a2.(2分)

a444

41

又P(2，1)在椭圆上，∴ 2＋2＝1，∴ a2＝8，b2＝2，

ab22xy

∴ 椭圆C方程为＋＝1.(4分)

82

(2) 设直线PA的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程，得 (1＋4k2)x2－8(2k－1)x＋16k2－16k－4＝0.(6分)

8k2－8k－2－4k2－4k＋1

∵ 方程一根为2，∴ xA＝，yA＝，

1＋4k21＋4k28k2－8k－2－4k2－4k＋1??，∴ A?.(8分)

1＋4k2??1＋4k2?

∵ PA与PB倾斜角互补，∴ kPA＝－kPB，

8k2＋8k－2－4k2＋4k＋1??，∴ 同理可得B??，(10分)

1＋4k2??1＋4k2yB－yA1

∴ kAB＝＝，(12分)

xB－xA2

1

设直线AB的方程为y＝x＋m，即x－2y＋2m＝0，

2

M(－2m，0)，N(0，m)(m＜0)， |2－2＋2m||2m|d＝＝，MN＝4m2＋m2＝5|m|，

551|2m|3

∴ S△PMN＝5|m|＝，

252

66

，m＝(舍去)，(15分) 22

∴ 所求直线AB的方程为x－2y＋6＝0.(16分) 19. 解：(1) ∵ an＋1＝Sn＋1－Sn，

2

∴ (Sn＋1－Sn)(Sn＋1＋Sn－2)＝2，即S2∴ (Sn＋1－1)2－(Sn－1)2＝2，且(S1－1)2＝1， n＋1－Sn－2(Sn＋1－Sn)＝2，∴ m＝－

∴ {(Sn－1)2}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴ Sn＝1＋2n－1.(4分)

(2) ① n＝1时，S1＝1＋1＝2＝b1， n＝5时，S5＝1＋3＝4＝b2，

n＝13时，S13＝1＋5＝6＝b3.(10分)

② ∵ 2n－1是奇数，Sn＝1＋2n－1为有理数，则2n－1＝2k－1，∴ n＝2k2－2k＋1，(12分) 当k＝20时，n＝761；当k＝21时，n＝841；(14分)

∴ 存在N∈[761，840]，当n≤N时，使得在{Sn}中，数列{bk}有且只有20项．(16分) 20. 解：(1) 由P(2，c)为公共切点，可得 f(x)＝ax2＋1(a＞0)，则f′(x)＝2ax，k1＝4a，

g(x)＝x3＋bx，则g′(x)＝3x2＋b，k2＝12＋b，(2分) 又f(2)＝4a＋1，g(2)＝8＋2b，(3分) ??4a＝12＋b，17∴ ?解得a＝，b＝5.(5分)

4??4a＋1＝8＋2b，(2) ① h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，则h′(x)＝3x2＋2ax＋b.

ab

∵ 函数f(x)＋g(x)的单调递减区间为?－，－?，

3??2

ab

∴ x∈?－，－?时，有3x2＋2ax＋b≤0恒成立．(6分)

3??2b

此时x＝－是方程3x2＋2ax＋b＝0的一个根，

32bb∴ 3?－?＋2a?－?＋b＝0，得a2＝4b，(7分)

?3??3?

1

∴ h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1.

4

aaaa

－∞，－?上单调递增，在?－，－?上单调递减，在?－，＋∞?上单调递增， 又函数h(x)在?2?6???2?6?

2

aa

(ⅰ) 若－1≤－，即a≤2时，最大值为h(－1)＝a－；(8分)

24

aaa

－?＝1；(9分) (ⅱ) 若－＜－1＜－，即2＜a＜6时，最大值为h??2?26

aa

－?＝1.(10分) (ⅲ) 若－1≥－时，即a≥6时，最大值为h??2?6

a2??a－4，0＜a≤2，

综上所述，M(a)＝?(11分)

??1，a＞2.

aaaa

－∞，－?上单调递增，在?－，－?上单调递减，在?－，＋∞?上单调递增， ② 由①可知h(x)在?2?6???2?2?

3

aaaaa

－?为极大值，h?－?＝1，h?－?为极小值，h?－?＝－＋1.(13分) ∴ h??2??2??6??6?54

∵ |f(x)＋g(x)|≤3，在x∈[－2，0]上恒成立， 又h(0)＝1，

1

h（－2）≥－3，－a2＋4a－7≥－3，?2?

∴ ??a?即 3

a－h≥－3，???6?－＋1≥－3，54

?4－22≤a≤4＋22，解得?(15分)

?a≤6，

∴ a的取值范围是4－22≤a≤6.(16分)

???

常州市2013届高三上学期期末考试

1. 0 解析：根据集合的定义，a≠1，a≠1，所以a＝a，a＝0. 本题主要考查集合的基本概念、运算等基础知识，属于容易题．

－

（－1＋i）（－1－i）z·z2

2. －i 解析：z＝－1＋i，＝＝＝ －i.本题主要考查复数的基本概念、基

－（－1＋i）－（－1－i）2iz－z

本运算、共轭复数等基础知识，属于容易题．

3. 5 解析：双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，则由直线过点(1，2)，得b－2a＝0，b2＝4a2＝c2－

c

a2，5a2＝c2，＝5.

a

本题考查圆锥曲线的几何量之间关系，属于容易题．

＋

4. 11 解析：0＋1＋2＋22＋?＋2n＝2n1－1，210－1＝1 023，当n＝11时S>1 023，输出n＝11. 本题主要考查算法流程图的基础知识，属于容易题．

1

8C184C25. 解析：概率P＝2＝.本题主要考查古典概型，属于容易题． 15C615

πxπ（x－1）πxπx12π

6. 2 解析：f(x)＝coscos＝cos2sin＝sinπx，最小正周期为T＝＝2.

22222π

本题主要考查三角公式及三角函数的性质，属于容易题．

7. (－∞，2] 解析：函数f(x)＝log2(4－x2)的真数y＝4－x2的值域为(0，4]，而底数2＞1，函数值域为(－∞，2]．

本题考查复合函数的性质及运算求解能力，属于容易题．

8. 7 解析：y′＝3ax2＋2bx，由题知a＋b＋d＝1，－a＋b＋d＝－3，3a＋2b＝3a－2b，从上面三个式子中解出a＝2，b＝0，d＝－1，a3＋b2＋d＝7.

本题考查函数的导数等基础知识，属于容易题．

9. π 解析：由a＋2b＝(2，－4)，3a－b＝(－8，16)，可得a＝(－2，4)，b＝(2，－4)，a＝－b，故两向量共线且反向，故夹角为π.

本题考查向量的坐标运算及向量夹角问题．考查运算求解能力．属于中等题．

10. ①③④ 解析：本题考查立体几何中线线、线面、面面之间的关系，②是错误的，这两条直线相交时才能成立．立体几何中的概念辨析要会举反例．属于中等题．

1

0，? 解析：在同一个直角坐标系中作出函数y＝f(x)、y＝kx的图象，函数y＝f(x)图象最高点坐标11. ??2?2

为A(2，1)，过点O、A的直线斜率为2，x≥2时，f(x)＝单调减且f(x)＞0，直线y＝kx过原点，所以斜率0

x

＜k＜2时，两个函数的图象恰有两个交点．

本题考查分段函数的图象及性质，考查了函数与方程的思想及数形结合、分类讨论的思想．属于中等题．

2·3n－n－212.

4

12122an解析：由2－an＋1＝，得an＋1＝2－＝.

an＋6an＋6an＋6

4

由a1＝，得an>0，

3

11?13111?11?

＋，数列?＋?为等比数列， 所以＝＋，＋＝3??an4?an＋1an2an＋14?an4?1111－－

所以＋＝3n1，＝3n1－，

an4an4

nn3n－n－213－112·

∑ ＝－n＝. 244i＝1ai

本题以数列的递推关系为载体，通过转化构造等比数列，考查了等差、等比数列的前n项和公式．本题主要考查分析问题与解决问题的能力，属于难题．

→

13. 4＋42 解析：M、N两点坐标分别为M(2，0)、N(0，－2)，设点P(x，y)且x2＋y2＝4，PM＝(x－2，→→→

y)，PN＝(x，y＋2) ，PM2PN＝x(x－2)＋y(y＋2)＝x2＋y2－2x＋2y＝4－2x＋2y，解法1：令x＝2cosθ，y＝

π

2sinθ，则4－2x＋2y＝4＋4sinθ－4cosθ＝4＋42sin?θ－?，最大值为4＋42；解法2：令4－2x＋2y＝t，

4??|－4＋t||－4＋t|

则圆心(0，0)到直线4－2x＋2y－t ＝0的距离为d＝，点P(x，y)在圆上，所以d≤2，≤2，4－

4＋44＋4

42≤t≤4＋42，故最大值为4＋42.

本题考查向量、圆、直线与圆的位置关系等基础知识．考查了数形结合的思想，考查了转化的思想．属于

中等题．

?5?5555－－－

14. ?6? 解析：在不等式27y－4x≤1 两边同乘以，得(27y－4x)≤，将 4x＋27y＝代入上式，得(4x

6666??

yx

52745－

＋27y)(27y－4x)≤，所以x－y≤.

64276y2715327y3令t＝x，则t－≤，t≤，t＝x≤，

4t6242

35－－

所以27y≤34x.又4x＋27y＝，

265－131－

所以27y＝－4x＞0，≤34x，4x≥2，x≥，

6522－

－4x6

1

同理可得y≤，

311

所以log27y≤－，log4x≥－，

32

1

所以log27y－log4x≤，

61115

而log27y－log4x≥，当且仅当x＝，y＝时取等号，所以x＋y＝.

6236

本题考查函数与不等式的知识，考查了函数与方程、不等式的思想及灵活运用相关知识解决问题的能力．属于难题．

π

15. 解：(1) ∵ α、β∈?0，?，

2??

ππ∴ －＜α－β＜.

22

1

又tan(α－β)＝－＜0，

3

π

∴ －＜α－β＜0.(4分)

2

10

∴ sin(α－β)＝－.(6分)

10

310

(2) 由(1)可得，cos(α－β)＝.(8分)

103

∵ α为锐角，sinα＝，

5

4

∴ cosα＝.(10分)

5

∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)(12分) 43103?10?910＝3＋3－＝.(14分) 5105?10?50

16. 证明：(1) 因为点M、N分别是PA、PB的中点， 所以MN∥AB.

因为CD∥AB，所以MN∥CD.(2分) 又CD平面PCD，MN平面PCD， 所以MN∥平面PCD.(4分) (2) 因为AD⊥AB，CD∥AB， 所以CD⊥AD.

因为PD⊥底面ABCD，CD平面ABCD， 所以CD⊥PD.

因为AD∩PD＝D，

所以CD⊥平面PAD.(6分) 因为MD平面PAD， 所以CD⊥MD.

又MN∥CD，MN≠CD，

所以四边形MNCD是直角梯形．(8分) (3) 因为PD⊥底面ABCD，

所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角， 从而∠PAD＝60°.(9分)

在Rt△PDA中，AD＝2，PD＝6，PA＝22，MD＝2.

在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝3，CD＝3，CN＝MD2＋（CD－MN）2＝6， 从而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥CN.(11分)

在Rt△PDB中，PD＝DB＝6，N是PB的中点， 则DN⊥PB.(13分)

又PB∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.(14分)

17. 解：(1) 当l＞a＋b＋a2＋b2时，不能构成满足条件的三角形；当l≤a＋b＋a2＋b2时， 设AF＝y，则x＋y＋x2＋y2＝l，

2lx－l2

整理，得y＝.(2分)

2（x－l）l（2x2－lx）1

S＝xy＝，x∈(0，b]．(4分)

24（x－l）

22

l2x－4lx＋l

(2) S′＝2，x∈(0，b]．(6分)

4（x－l）22±2

令S′＝0，得2x2－4lx＋l2＝0，x＝l.(8分)

2

l

因为0＜x＜b＜，

2

2－2?2－2?上单调递增，在?2－2?上单调递减；

所以当2b＜l＜(2＋2)b时，b＞l，S在?0，???ll，b22???2?

2－2

所以当x＝l时，S的极大值也是最大值，

2

3－222

Smax＝l；(10分)

4

2－2bl（2b－l）

当l≥(2＋2)b时，b≤l，S在(0，b]上单调递增，当x＝b时，Smax＝；(12分)

24（b－l）

2－2

故当△AEF的周长l满足2b＜l＜(2＋2)b时，取AE＝l，直角三角形地块AEF的面积S最大，

2

3－222

Smax＝l；

4当△AEF的周长l满足(2＋2)b≤l≤a＋b＋a2＋b2时，取AE＝b，直角三角形地块AEF的面积S最大，

bl（2b－l）Smax＝.(14分)

4（b－l）

→→

18. 解：(1) ∵ AF2＋5BF2＝0，

→→∴ AF2＝5F2B.

∴ a＋c＝5(a－c)，

c2

化简，得2a＝3c，故椭圆的离心率e＝＝.(3分)

a34

(2) 存在满足条件的常数λ，λ＝－.

7

∵ 点D(1，0)为OF2的中点，

∴ c＝2，从而a＝3，b＝5，左焦点F1(－2，0)，

x2y2

椭圆E的方程为＋＝1.(5分)

95

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，

x1－1

则直线MD的方程为x＝y＋1，

y1

x2y2

代入椭圆方程＋＝1，

955－x1x1－1

整理，得2y2＋y－4＝0.(7分)

y1y1y1（x1－1）

∵ y1＋y3＝，

x1－54y1∴ y3＝. x1－5

5x1－9?5x1－9，4y1?.(9分)

从而x3＝，故点P??x1－5?x1－5x1－5?

?5x2－9，4y2?.(10分)

同理，点Q???x2－5x2－5?

∵ 三点M、F1、N共线，

y1y2

∴ ＝， x1＋2x2＋2

从而x1y2－x2y1＝2(y1－y2)．(12分)

4y14y2－x1－5x2－5x1y2－x2y1＋5（y1－y2）7y1－y27y3－y4

从而k2＝＝＝＝3＝k.(15分)

4x1－x241x3－x45x1－95x2－94（x1－x2）

－

x1－5x2－5

44

故k1－k2＝0.从而存在满足条件的常数λ，λ＝－.(16分)

77

19. 解：∵ {an}是等差数列， ∴ a1＋a3＝2a2.

∵ a1＋a2＋a3＝15，∴ a2＝5.(2分)

2

∵ {bn}是等比数列，∴ b1b3＝b2. ∵ b1b2b3＝27，∴ b2＝3.(4分)

(1) 由题设，a1＝b2＝3，从而等差数列{an}的公差等于2， 故等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.(6分)

进而a4＝9，b3＝a4＝9，等比数列{bn}的公比等于3，

－

故等比数列{bn}的通项公式为bn＝3n1.(8分)

3

(2) 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则a1＝5－d，b1＝，a3＝5＋d，b3＝3q.

q

∵ a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列， ∴ (a1＋b1)·(a3＋b3)＝(a2＋b2)2＝64.

设a1＋b1＝m，a3＋b3＝n，m、n∈N*，则mn＝64，

3??5－d＋q＝m，

?

??5＋d＋3q＝n.

整理，得d2＋(m－n)d＋5(m＋n)－80＝0.(10分) ∵ a3＝5＋d，

∴ 欲使得a3最大，必须且只须d最大， ∴ 上面方程必有解，

－（m－n）＋（m－n）2－20（m＋n）＋320

从而d＝(舍去较小者)，

2

n－m＋（m＋n－10）2－36∴ d＝.(12分)

2

欲使得d最大，必须且只须n－m及(m＋n－10)2取最大值， ∵ m、n∈N*，mn＝64，

∴ 当且仅当n＝64且m＝1时，n－m及(m＋n－10)2取最大值．(14分)

63＋761

从而最大的d＝，

273＋761

∴ 最大的a3＝.(16分)

2

20. 解：(1) 若a＝1，则f(x)＝x|x－1|－lnx.

2

12x－x－12

当x∈[1，e]时，f(x)＝x－x－lnx，f′(x)＝2x－1－＝＞0，

xx

所以f(x)在[1，e]上单调增，

所以f(x)max＝f(e)＝e2－e－1.(2分)

(2) 由于f(x)＝x|x－a|－lnx，x∈(0，＋∞)． (ⅰ) 当a≤0时，则f(x)＝x2－ax－lnx，

2

12x－ax－1

f′(x)＝2x－a－＝，

xx

a＋a2＋8

令f′(x)＝0，得x0＝＞0(负根舍去)，

4

且当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，

?a＋a2＋8??a＋a2＋8?

所以f(x)在?0，?上单调减，在?，＋∞?上单调增．(4分)

44????

(ⅱ) 当a＞0时，

2

12x－ax－1

① 当x≥a时，f′(x)＝2x－a－＝，

xx

令f′(x)＝0，

a＋a2＋8?a－a2＋8?，

得x1＝??x＝＜a，舍去44?2?a＋a2＋8若≤a，即a≥1，则f′(x)≥0，所以f(x)在(a，＋∞)上单调增；

4a＋a2＋8若＞a，即0＜a＜1，则当x∈(a，x1)时，f′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)

4

a＋a2＋8?a＋a2＋8???在区间?a，?上单调减，在?，＋∞?上单调增．(6分)

44????

2

1－2x＋ax－1

② 当0＜x＜a时，f′(x)＝－2x＋a－＝，

xx

令f′(x)＝0，得－2x2＋ax－1＝0，记Δ＝a2－8，

若Δ＝a2－8≤0，即0＜a≤22，则f′(x)≤0，故f(x)在(0，a)上单调减； 若Δ＝a2－8＞0，即a＞22，

a－a2－8a＋a2－8

则由f′(x)＝0，得x3＝，x4＝且0＜x3＜x4＜a，

44

当x∈(0，x3)时，f′(x)＜0；当x∈(x3，x4)时，f′(x)＞0；当x∈(x4，a)时，f′(x)＞0，所以f(x)在区间

22?a－a2－8?上单调减，在(a－a－8，a＋a－8)上单调增；在?a＋a2－8?上单调减．(8分) ?0，??，a?4444????

2a＋a＋8?a＋a2＋8???

综上所述，当a＜1时，f(x)单调递减区间是?0，?，f(x)单调递增区间是?，＋∞?；

44????

当1≤a≤22时，f(x)单调递减区间是(0，a)，f(x)单调递增区间是(a，＋∞)；

a－a2－8??a＋a2－8??

当a＞22时，f(x)单调递减区间是?0，?和?，a?，f(x)单调的递增区间是

44????

22?a－a－8a＋a－8?和(a，＋∞)．(10分) ??，44??

(3) 函数f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)．

lnx

由f(x)＞0，得|x－a|＞. (*)

x

lnx

(ⅰ) 当x∈(0，1)时，|x－a|≥0，＜0，不等式(*)恒成立，所以a∈R；

xlnx

(ⅱ) 当x＝1时，|1－a|≥0，＝0，所以a≠1；(12分)

x

lnxlnx

(ⅲ) 当x＞1时，不等式(*)恒成立等价于a＜x－恒成立或a＞x＋恒成立．

xx

2

x－1＋lnxlnx

令h(x)＝x－，则h′(x)＝.

xx2因为x＞1，

所以h′(x)＞0，从而h(x)＞1.

lnx

因为a＜x－恒成立等价于a＜h(x)min，所以a≤1.

x

x2＋1－lnxlnx

令g(x)＝x＋，则g′(x)＝.

xx21

再令e(x)＝x2＋1－lnx，则e′(x)＝2x－＞0在x∈(1，＋∞)上恒成立，e(x)在x∈(1，＋∞)上无最大值．

x

综上所述，满足条件的a的取值范围是(－∞，1)．(16分)

镇江市2013届高三上学期期末考试

1. {2，4} 解析：本题主要考查集合的基本概念、运算等基础知识，属于容易题．

2. 0 解析：a⊥ba2b＝0，即2(1－x)－2＝0x＝0.本题考查向量的有关概念，考查了向量的数量积等运算能力．属于容易题．

223. 解析：由l1∥l2，得13(2－m)＝2mm＝. 33

本题考查平面解析几何中的直线的位置关系，属于容易题．

1

4. 2 解析：显然x＝0不是方程的解，在同一个直角坐标系中作出函数y＝，y＝lg(x＋2)的图象，它们有

x

两个交点．

本题考查基本初等函数的图象应用，属于容易题．

2π

5. 1 解析：振幅为3，所以周期为2，ωπ＝＝π，ω＝1.

2

本题考查三角函数的性质，属于容易题．

1

6. － 解析：由sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k>0，由余弦定理得cosC＝

4

222

a＋b－c4＋9－161

＝＝－. 2ab124

本题考查正弦定理及余弦定理，属于中等题．

a67. 3 解析：a5＝2S4＋3，①a6＝2S5＋3，② ②－①，得a6－a5＝2a5，a6＝3a5，＝3，公比q＝3.

a5

本题考查等比数列的基本量计算，考查转化能力．属于中等题．

1

8. 1－ 解析：本题考查归纳推理能力．本题属于中等题．

（n＋1）·2n1?22?9. (x±1)＋?y－2?＝1

1

解析：抛物线的准线方程为y＝－，

2

11

设圆心坐标为(a，b)，b>0，半径为r，则b＋＝|a|＝r，且a2＝2b，解得a＝±1，b＝，r＝1，

22

1?22?所以圆的标准方程为(x±1)＋?y－2?＝1.

本题考查圆锥曲线的性质及圆的方程问题，属于中等题．

→→→→→→→?2→→1→?→→?1→→?→

10. －12 解析：EF2AC＝(EC＋CD＋DF)·(AB＋BC)＝?3BC－AB－3BC?2(AB＋BC)＝?3BC－AB?2(AB

121→1→2→→→

＋BC)＝BC2－BC2AB－AB2＝3(23)2－3(23)23－(23)2＝－12.

33332

2π→→

注意：题中∠B＝，故AB与BC的夹角为θ.

3

本题考查向量的基本概念及向量的运算，属于中等题．

58a2a8ac11. 解析：PF1－ PF2 ＝2a , PF1＝4PF2，PF1＝ , PF2＝.P在双曲线右支上，则PF1＝≥a＋c，≤

3333a

55，则离心率的最大值为. 33

本题考查圆锥曲线的几何量及圆锥曲线的性质，属于中等题．

12. 42＋2 解析：四边形PACB的周长l＝PA＋AC＋CB＋BP，根据平面几何知识得PA＝BP，AC＝CB，圆方程化为标准式为(x－1)2＋(y－1)2＝1，AC＝BC＝1，△PAC为直角三角形，所以l＝2＋2PA，转化为求PA

|3＋4＋8|

最小，而PA＝PC2－1，PC最小即为圆心C到直线距离，PC最小值为22＝3，所以l最小值为2＋232－1

3＋4

＝2＋42.

本题考查直线与圆的方程及它们之间的位置关系，考查了点到直线的距离，考查了转化的思想．属于中等题．

111

13. 101 解析：sin2 013°sin210°＝sin33°＝sin(3311)°＝sin11°(3－4sin211°)＝2sin11°

222

?3－sin211°?， ?4?

331

－sin211°＝cos211°－sin211° 444

31??3cos11°－1sin11°? cos11°＋sin11°

22?2??2?

＝sin71°cos41°＝sin71°sin49°＝sin71°sin131° ＝sin71°sin(101°＋30°)．

本题考查三角变换，特殊角的三角函数值，对三角变换要求高，难度大．属于难题．

2

14. 解析：x、y为正数，则

3

x?2x?＋43＋122

?y?yx＋4xy＋yxy

＋＝＝.

x?22x＋yx＋2y2x2＋5xy＋2y2x?2?y?＋53＋2

y3?t2＋4t＋11?1＋x

2令t＝>0，f(t)＝2＝?

y2t＋＋5?2t＋5t＋22t??312

≤?1＋4＋5?＝. 2??3

本题考查换元转化思想、基本不等式等知识的综合应用，属于难题． 15. 解：p：1＜2x＜8，即0＜x＜3，(3分) ∵ 綈p是綈q的必要条件， ∴ p是q的充分条件，(5分)

∴ 不等式x2－mx＋4≥0对x∈(0，3)恒成立，(7分)

x2＋44

∴ m≤＝x＋对x∈(0，3)恒成立．(10分)

xx44

∵ x＋≥2x·＝4，当且仅当x＝2时，等号成立．(13分)

xx∴ m≤4.(14分)

16. 解：(1) 设△ABC的角A、B、C所对应的边分别为a、b、c.

→→

∵ AB2AC＝S，

1

∴ bccosA＝bcsinA，(2分)

21

∴ cosA＝sinA，

2

∴ tanA＝2.(4分)

2tanA4

∴ tan2A＝2＝－.(5分) 31－tanA

→→→

(2) |CB－CA|＝3，即|AB|＝c＝3，(6分)

π

∵ tanA＝2，0＜A＜，(7分)

2

255

∴ sinA＝，cosA＝.(9分)

55

∴ sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB 25252310＝2＋2＝.(11分)

525210

cbc

由正弦定理知：＝b＝2sinB＝5，(13分)

sinCsinBsinC

1125S＝bcsinA＝35333＝3.(14分)

225

17. 解：(1) ∵ f(－x)＝a(－x)3－b(－x) ＝－(ax3－bx)＝－f(x)，(2分) ∴ f(x)为奇函数．(3分)

设A(x1，y1)、B(x2，y2)，且x1≠x2， 又f′(x)＝3ax2－b，(5分)

∵ f(x)在两个相异点A、B处的切线分别为l1、l2，且l1∥l2，

2

∴ k1＝f′(x1)＝3ax21－b＝k2＝f′(x2)＝3ax2－b(a＞0)，

2

∴ x21＝x2.

又x1≠x2，∴ x1＝－x2.(6分) 又f(x)为奇函数， ＝?

∴ 点A、B关于原点对称．(7分)

(2) 由(1)知A(x1，y1)、B(－x1，－y1)，

y1∴ kAB＝＝ax21－b.(8分) x1

又f(x)在A处的切线的斜率k＝f′(x1)＝3ax21－b， ∵ 直线l1、l2都与AB垂直，

2

∴ kAB2k＝－1，(ax2(3ax1－b)＝－1.(9分) 1－b)·

22

令t＝ax1≥0，即方程3t－4bt＋b2＋1＝0有非负实根，(10分) ∴ Δ≥0b2≥3.

b2＋1

又t1t2＝＞0，

34b

∴ ＞0b＞0.

3

综上所述，b≥3.(14分)

1

18. 解：(1) 当k＝3，a0＝12时，a1＝(a0＋2)－(a0＋2)＝7，

2

1

a2＝(a1＋2)－(a1＋2)＝6，

31

a3＝(a2＋2)－(a2＋2)＝6.(3分)

4

(2) 由题意知：

1n

an＝(an－1＋2)－(an－1＋2)＝(a－＋2)，(6分)

n＋1n＋1n1

即(n＋1)an＝n(an－1＋2)＝nan－1＋2n.

∵ bn＝(n＋1)an，∴ bn－bn－1＝2n，(7分) ∴ bn－bn－1＝2n， bn－1－bn－2＝2n－2， 

b1－b0＝2.

（2＋2n）

累加得bn－b0＝n＝n(n＋1)．(9分)

2

又b0＝a0，

∴ bn＝n(n＋1)＋a0.(10分)

a0(3) 由bn＝n(n＋1)＋a0，得an＝n＋.(12分)

n＋1

若存在正整数k(k≥3)和非负整数a0，使得数列{an}(n≤k)成等差数列， 则a1＋a3＝2a2，(14分)

1a0a

1＋a0?＋3＋0＝2?2＋?a0＝0，(15分) 即??2??3?4

当a0＝0时，an＝n，对任意正整数k(k≥3)，有{an}(n≤k)成等差数列．(16分) [注：如果验证a0、a1、a2不能成等差数列，不扣分]

x2y2

19. (1) 解：设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．

ab

3

由题意得a＝2，e＝.(2分)

2

∴ c＝3，b＝1，(2分)

x22

∴ 椭圆的标准方程为＋y＝1.(4分)

4

(2) 证明：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

1

将y＝x＋m代入椭圆，

2

化简得x2＋2mx＋2(m2－1)＝0，①

∴ x1＋x2＝－2m，x1x2＝2(m2－1)，(6分)

22

∴ x21＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝4，

∴ P、Q两点的横坐标的平方和为定值4.(7分)

DEm－，－?，PQ中点M?－m，?，(3) 解：解法1：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为?2?2??2?

3

PQ的垂直平分线的方程为y＝－2x－m，(8分)

2

DE3

－，－?满足y＝－2x－m， 圆心?2??22E3

所以－＝D－m，②(9分)

22

圆过定点(2，0)，所以4＋2D＋F＝0，③(10分) 圆过P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 22??x1＋y1＋Dx1＋Ey1＋F＝0，?2 2

?x2＋y2＋Dx2＋Ey2＋F＝0，?

两式相加，得

222

x21＋x2＋y1＋y2＋Dx1＋Dx2＋Ey1＋Ey2＋2F＝0，

x2x21?222??x1＋x2＋?1－4?＋?1－4??＋D(x1＋x2)＋E(y1＋y2)＋2F＝0，(11分)

∵ y1＋y2＝m，

∴ 5－2mD＋mE＋2F＝0. ④(12分)

1

∵ 动直线y＝x＋m与椭圆C交于P、Q(均不与A点重合)，

2

∴ m≠－1.

3（m－1）3335

由②③④解得D＝，E＝m＋，F＝－m－，(13分)

42222

代入圆的方程为

3（m－1）?3335

x2＋y2＋x＋?2m＋2?y－m－＝0， ?242

335333

x2＋y2－x＋y－?＋m(x＋y－)＝0，(14分) 整理，得?422??422

335

x2＋y2－x＋y－＝0，

422

∴ (15分)

333

x＋y－＝0，422?x＝0，??x＝2，?解得?或?(舍)

??y＝1y＝0.??

∴ 圆过定点(0，1)．(16分)

1

解法2：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将y＝x＋m代入的圆的方程：

2

E52?2

x＋?m＋D＋2??x＋m＋mE＋F＝0. ⑤(8分) 4

方程①与方程⑤为同解方程．

2（m2－1）12m

＝＝，(11分) 5Em2＋mE＋Fm＋D＋42

圆过定点(2，0)，

∴ 4＋2D＋F＝0.(12分)

1

∵ 动直线y＝x＋m与椭圆C交于P、Q(均不与A点重合)，∴ m≠－1.

2

3（m－1）3335

解得D＝，E＝m＋，F＝－m－.(13分)

42222

(以下同解法1)

20. (1) 解：定义域x∈R，

2x（x2－x＋1）－x2（2x－1）－x2＋2x

f′(x)＝＝，(1分)

（x2－x＋1）2（x2－x＋1）2f′(x)＞00＜x＜2，f′(x)＜0x＜0或x＞2.(2分)

函数f(x)的单调增区间为(0，2)，单调减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(3分)

41

解法1：f(0)＝0，f(2)＝，当x→∞时，f(x)＝→1，(4分)

31?1?2

1－＋?x?x

当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，f(x)∈[0，1)；

40，?. 当x∈[0，＋∞)时，f(x)∈??3??

??

4

0，?.(5分) ∴ 函数f(x)的值域为??3?114

解法2：当x＝0时，f(0)＝0，当x≠0时，f(x)＝≤， 2＝2

11??11?33

－＋1－＋?x?x??x2?4

4

且f(x)＞0，f(2)＝，

3

4

0，?.(5分) ∴ 函数f(x)的值域为??3?解法3：判别式法(略)

(2) 证明：设A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}， 设x0∈A，则f(f(x0))＝f(x0)＝x0，则x0∈B， ∴ AB.(6分)

xx22

当x≥0时，∵ (x－1)≥02≤12≤xf(x)≤x恒成立．

x－x＋1x－x＋1

当且仅当x＝0、1时，f(x)＝x.(7分)

令t＝f(x)，当且仅当x＝1时，t＝f(x)＝1. 当x＜0时，由(1)f(f(x))＝f(t)＞0， ∴ 当x＜0时，f(f(x))＝x无解．(8分)

当0＜x≠1时，∵ f(f(x))＝f(t)＜t＝f(x)＜x， ∴ 当0＜x≠1时，f(f(x))＝x无解．(9分)

综上，除x＝0，1外，方程f(f(x))＝x无解，∴ A＝B. ∴ {x|f(x)＝x}＝{x|f(f(x))＝x}．(10分)

a2a2nn(3) 证明：① 显然an＋1＝2＝，

1?23an－an＋1?

?an－2?＋4

1

又a1＝，∴ an＞0，

2an＋1an11∴ ＝2＝≤＝1，(11分)

anan－an＋112－1

an＋－1

an

∴ an＋1≤an.若an＋1＝an，则an＝1矛盾． ∴ an＋1＜an.(12分) ② 证法1：

2an－1

an＝2，

an－1－an－1＋1111∴ ＝1－＋2， anan－1an－1111∴ －1＝－＋2， anan－1an－111∴ ＝ 111－1－＋anan－1a2n－1

111

＝＝－，

11?1－1?1－1

an－1?an－1?an－1an－1

11

∴ an－1＝－(n≥2)，(14分)

11－1－1

anan－1∴ Sn＝错误!错误!＝错误!－错误!＝1－错误!.(15分) 1

∵ 0＜an＋1＜an＜，

2an＋1

∴ Sn＝1－＜1.(16分)

1－an＋1

证法2：

a2n－1

∵ an＝2 an－1－an－1＋1

1

＜(13分)

11111－＋－＋an－1a2an－1a2n－1n－1

111

＝＝－ 111?1

－1?－1aan－1an－1?n－1?an－1

1

＝－an－1＋(14分)

11－＋2an－2an－2

1

＝－an－1－an－2＋＝?

11－＋an－3a2n－3

1

＝－an－1－an－2－?－a1＋(15分)

1－1a1

＝1－an－1－an－2－?－a1，

∴ Sn＝a1＋a2＋?＋an＜1.(16分) ＝

1

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