2014年广西高考数学考前静悟篇

1 2014年广西高考数学考前静悟篇

云帆高考命题研究中心 编制

专题三 高考易错点分类例析——最后的查缺补漏

集合、逻辑用语、函数与导数

易错点1 遗忘空集致误

例1 已知A ＝{x ∈R |x <－1或x >4}，B ＝{x ∈R |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是________．

错解 由A ∪B ＝A 知，B ?A ，∴?

???? 2a ≤a ＋32a >4或a ＋3<－1，解得a <－4或2

错因分析 由并集定义容易知道，对于任何一个集合A ，都有A ∪?＝A ，所以错解忽视了B ＝?时的情况．

正解 由A ∪B ＝A 知，B ?A .①当B ≠?时，有?

????

2a ≤a ＋32a >4或a ＋3<－1，解得a <－4或2a ＋3，解得a >3.综上可知，实数a 的取值范围是a <－4或a >2.

易错突破 造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质．当题目中出现A ?B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 时，注意对A 进行分类讨论，即分为A ＝?和A ≠?两种情况讨论．

补偿练习1 (1)已知集合A ＝????

??－1，12，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则所有实数m 组成的集合是( ) A ．{0，－1,2} B.??????－12，0，1 C ．{－1,2} D.????

??－1，0，12 答案 A

解析 当m ＝0时，B ＝?，符合题意；当m ≠0时，B ＝??????1m ，若B ?A ，则1m ∈????

??－1，12， ∴m ＝－1或m ＝2.故m ＝0，或m ＝－1，或m ＝2.

(2)已知集合A ＝{x |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0，p ∈R }，若A ∩R *＝?，则实数p 的取值范围为____________． 答案 (－4，＋∞)

解析 由于A ∩R *＝?，先求A ∩R *≠?的情况有????? Δ＝p ＋2 2－4≥0，－p ＋22>0，即????? p ≥0或p ≤－4，p <－2，解得p ≤－4. 故当A ∩R *＝?时，p 的取值范围是(－4，＋∞)．

易错点2 忽视元素互异性致误

例2 已知集合A ＝{1，x,2}，B ＝{1，x 2}，若A ∪B ＝A ，则x 的不同取值有________种情况．

( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

错解 由x 2＝2，解得x 1＝2，x 2＝－ 2.由x 2＝x ，解得x 3＝0，x 4＝1.

∴选D.

错因分析 当x ＝1时，集合A 、B 中元素不满足互异性，错解中忽视了集合中元素的互异性，导致错误． 正解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ?A .

∴x 2＝2或x 2＝x .由x 2＝2，解得x ＝±2，由x 2＝x ，解得x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，x 2＝1，集合A 、B 中元素不满足互异性，所以符合题意的x 为2或－2或0，共3种情况，选C.

易错突破 由集合的关系求参数的值应注意元素性质的具体情况，对求出的参数值要进行验证． 补偿练习2 若A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2，1}，且A ∪B ＝{1,3，x }，则这样的x 为________． 答案 ±3或0

解析 由已知得B ?A ，∴x 2∈A 且x 2≠1.①x 2＝3，得x ＝±3，都符合．②x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1，而x ≠1，∴x ＝0.综合①②，共有3个值．

易错点3 忽视区间的端点致误

例3 记f (x )＝ 2－x ＋3x ＋1

的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )] (a <1)的定义域为B .若B ?A ，则实数a 的取值范围是________．

错解 由2－x ＋3x ＋1

≥0，得x <－1或x ≥1.∴A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．由(x －a －1)(2a －x )>0得(x －a －1)(x －2a )<0.且a <1，∴2a 12

或a <－2.∴a ∈????12，1∪(－∞，－2)．

2 错因分析 从B ?A 求字母a 的范围时，没有注意临界点，区间的端点搞错．

正解 ∵2－x ＋3x ＋1≥0，得x －1x ＋1

≥0，∴x <－1或x ≥1，即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．∵(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0.∵a <1，∴a ＋1>2a ，∴B ＝(2a ，a ＋1)．∵B ?A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1，

即a ≥12或a ≤－2，而a <1，∴12

≤a <1或a ≤－2.故所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪????12，1. 补偿练习3 设A ＝{x |1a }，若A B ，则a 的取值范围是__________．

答案 (－∞，1]

解析 因为A ?B 且A ≠B ，利用数轴可知：a ≤1.

易错点4 对命题否定不当致误

例4 命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是 ( )

A ．若x ，y 都是偶数，则x ＋y 是奇数

B ．若x ，y 都不是奇数，则x ＋y 不是偶数

C ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 都不是奇数

D ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数

错解 C

错因分析 “x ，y 都是奇数”的否定中包含三种情况：“x 是奇数，y 不是奇数”，“x 不是奇数，y 是奇数”，“x ，y 都不是奇数”，误把“x ，y 都不是奇数”作为“x ，y 都是奇数”的否定而错选C.

正解 “都是”的否定是“不都是”，答案选D.

易错突破 对条件进行否定时，要搞清条件包含的各种情况，全面考虑；对于和参数范围有关的问题，可以先化简再否定．

补偿练习4 已知集合M ＝{x |a 2x ＋2x －3ax －1

<0}，若2∈，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≥12

解析 若2∈M ，则2a 2＋12a －1

<0，即(2a －1)(2a 2＋1)<0，∴a <12，∴当2∈M 时，a 的取值范围为a ≥12. 易错点5 充分条件、必要条件颠倒致误

例5 若p ：a ∈R ，|a |<1，q ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则

p 是q 的 ( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

错解 B

错因分析 由p ?q 应得p 是q 的充分条件，错解颠倒了充分条件、必要条件．

正解 将两条件化简可得p ：－1

易知p ?q ，且q ?p ，

故p 是q 的充分不必要条件，选A.

易错突破 在解题时熟练运用以下几种方法即可减少失误：

(1)定义法：直接利用定义进行判断；

(2)逆否法(等价法)：“p ?q ”表示p 等价于q .要证p ?q ，只需证它的逆否命题綈q ?綈p 即可，同理要证p ?q ，只需证綈q ?綈p 即可，所以p ?q ，只需綈q ?綈p .

(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 都是集合，那么若p ?q ，则p 是q 的充分不必要条件；若p ?q ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ＝q ，则p 是q 的充要条件，尤其对于数的集合，可以利用小范围的数一定在大范围中，即小?大，会给我们的解答带来意想不到的惊喜．

(4)举反例：要说明p 是q 的不充分条件，只要找到x 0∈{x |p }，但x 0?{x |q }即可．

补偿练习5 已知条件p ：|x ＋1|＞4，条件q ：x ＞a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ( )

A ．(－3，＋∞)

B ．[3，＋∞)

C ．(－∞，3)

D ．(－∞，－3]

答案 B

解析 由题意知，条件p ：x ＜－5或x ＞3，条件q ：x ＞a ，所以綈p ：－5≤x ≤3，綈q ：x ≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以a ≥3.

易错点6 忽视函数定义域致误

例6 函数y ＝log (x 2－5x ＋6)的单调递增区间为____________．

错解 ????－∞，52

错解分析 忽视了函数定义域，应加上条件x 2－5x ＋6>0.

正解 由x 2－5x ＋6>0知{x |x >3或x <2}．令u ＝x 2－5x ＋6，则u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数， ∴y ＝log (x 2－5x ＋6)的单调递增区间为(－∞，2)．

12 12

3 易错突破 在研究函数问题时，不论什么情况，首先要考虑函数的定义域，这是研究函数的最基本原则． 补偿练习6 若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函

数，则实数k 的取值范围是 ( )

A ．(12，32)

B ．(1，32)

C ．(12，32]

D ．[1，32

) 答案 D

解析 由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ，由f ′(x )＝0，解得x ＝12

. 所以函数f (x )在(0，12]上单调递减，在[12，＋∞)上单调递增．故有???

0≤k －1＜12，k ＋1＞12，解得1≤k ＜32. 易错点7 忽视二次项系数为0致误

例7 函数f (x )＝(k －1)x 2＋2(k ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数k 的取值集合是__________．

错解 由题意知Δ＝4(k ＋1)2＋4(k －1)＝0.即k 2＋3k ＝0，解得k ＝0或k ＝－3.∴k 的取值集合是{－3,0}． 错因分析 未考虑k －1＝0的情况而直接令Δ＝0求解导致失解．

正解 当k ＝1时，f (x )＝4x －1，其图象与x 轴只有一个交点????14，0.

当k ≠1时，由题意得Δ＝4(k ＋1)2＋4(k －1)＝0，即k 2＋3k ＝0，解得k ＝0或k ＝－3.∴k 的取值集合是{－3,0,1}． 易错突破 对多项式函数或方程、不等式，如果含有参数，一定首先考虑最高次项系数为0的情况． 补偿练习7 函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围是( )

A ．(－∞，1]

B ．(－∞，0]∪{1}

C ．(－∞，0)∪{1}

D ．(－∞，1) 答案 B

解析 当m ＝0时，x ＝12

为函数的零点；当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f (x )＝mx 2－2x ＋1＝0有一个正根一个负根，即mf (0)＜0，即m ＜0.故选B.

易错点8 分段函数意义不明致误

例8 已知：x ∈N *，f (x )＝?????

x －5 x ≥6 f x ＋2 x <6 ，则f (3)= ． 错解 ∵f (x )＝????? x －5 x ≥6 f x ＋2 x <6 ，∴f (x ＋2)＝(x ＋2)－5＝x －3，故f (x )＝?????

x －5 x ≥6 x －3 x <6 ，∴f (3)＝3－3＝0. 错因分析 没有理解分段函数的意义，f (x )＝x －5在x ≥6的前提下才成立，f (3)应代入x <6化为f (5)，进而化成f (7)．

正解 ∵f (x )＝?????

x －5 x ≥6 f x ＋2 x <6 ，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2. 补偿练习8 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝?????

log 21－x ，x ≤0f x －1 －f x －2 ，x >0，则f (2 013)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2

答案 B

解析 f (2 013)＝f (2 012)－f (2 011)＝f (2 011)－f (2 010)－f (2 011)＝－f (2 010)＝f (2 007)＝f (3)＝－f (0)＝0. 易错点9 函数单调性考虑不周致误

例9 函数f (x )＝?????

ax 2＋1，x ≥0，a 2－1 e ax ，x <0

在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是________． 错解 (－∞，1)∪(1，＋∞)

错因分析 忽视了函数在定义域分界点上函数值的大小． 正解 若函数在R 上单调递减，则有?????

a <0，a 2－1>0，a 2－1 e 0≥1，

解之得a ≤－2；

若函数在R 上单调递增，则有????? a >0，a 2－1>0，

a 2－1e 0≤1，解得1

4 补偿练习9 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)

( )

A.????13，23

B.????13，23

C.????12，23

D.????12，23 答案 A 解析 f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上递增，∴f (2x －1)

. 易错点10 混淆“过点”与“切点”致误

例10 求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．

错解 ∵y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3×12－2＝1，∴切线方程为：y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.

错因分析 混淆“过某一点”的切线和“在某一点处”的切线，错把(1，－1)当做切点．

正解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝3x 20－2.

∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．

又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，

整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1，或x 0＝－12

. 故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －(－18＋1)＝(34－2)(x ＋12

)，即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.

易错突破 过曲线上的点(1，－1)的切线与曲线的切点可能是(1，－1)，也可能不是(1，－1)．本题错误的根本原因就是把(1，－1)当成了切点．解决这类题目时，一定要注意区分“过点A 的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同．虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．

补偿练习10 已知曲线S ：y ＝－23

x 3＋x 2＋4x 及点P (0,0)，则过点P 的曲线S 的切线方程为____________． 答案 y ＝4x 或y ＝358

x 解析 设过点P 的切线与曲线S 切于点Q (x 0，y 0)，则过点P 的曲线S 的切线斜率y ′|x ＝x 0＝－2x 20＋2x 0＋4，

又k PQ ＝y 0x 0，所以－2x 20＋2x 0＋4＝y 0x 0

， ① 点Q 在曲线S 上，y 0＝－23

x 30＋x 20＋4x 0， ② 将②代入①得－2x 20＋2x 0＋4＝－23x 20＋x 0＋4，化简得43x 20－x 0＝0，所以x 0＝0或x 0＝34

， 若x 0＝0，则y 0＝0，k ＝4，过点P 的切线方程为y ＝4x ；若x 0＝34，则y 0＝10532，k ＝358

， 过点P 的切线方程为y ＝358x .所以过点P 的曲线S 的切线方程为y ＝4x 或y ＝358

x . 易错点11 函数极值点概念不清致误

例11 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________.

错解 －7或0

错因分析 忽视了条件的等价性，“f ′(1)＝0”是“x ＝1为f (x )的极值点”的必要不充分条件．

正解 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得

?????

f ′ 1＝3＋2a ＋b ＝0， ①f 1＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ② 联立①②得????? a ＝4，b ＝－11，或?????

a ＝－3，

b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．

当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去． 综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7.

易错突破 对于可导函数f (x )：x 0是极值点的充要条件是在x 0点两侧导数异号，即f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0的左右的符号：“左正右负”?f (x )在x 0处取极大值；“左负右正”?f (x )在x 0处取极小值，而不仅是f ′(x 0)＝0.f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的必要而不充分条件．对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f ′(x 0)＝0，又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根．

补偿练习11 已知函数f (x )＝x 44＋b 3x 3－2＋a 2x 2＋2ax 在点x ＝1处取极值，且函数g (x )＝x 44＋b 3x 3－a －12

x 2－ax 在区间(a －6,2a －3)上是减函数，求实数a 的取值范围．

解 f ′(x )＝x 3＋bx 2－(2＋a )x ＋2a ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a ，

5 当b ＝1－a 时，f ′(x )＝x 3＋(1－a )x 2－(2＋a )x ＋2a ＝(x －1)(x ＋2)(x －a )，

如果a ＝1，那么x ＝1就只是导函数值为0的点而非极值点，故b ＝1－a 且a ≠1.

g ′(x )＝x 3＋bx 2－(a －1)x －a ＝x 3＋(1－a )x 2－(a －1)x －a ＝(x －a )(x 2＋x ＋1)．

当x

故所求a 的范围为－3

易错点12 导数与函数单调性关系不准致误

例12 函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．

错解 (－∞，94

) 错因分析 求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响，容易认为函数f (x )的导数在区间

[2，＋∞)上大于零，忽视了函数的导数在[2，＋∞)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性．

正解 由题意，知f ′(x )＝3x 2－2ax －3，令f ′(x )≥0(x ≥2)，得a ≤32(x －1x

)． 记t (x )＝32(x －1x )，当x ≥2时，t (x )是增函数，所以t (x )min ＝32×(2－12)＝94，所以a ∈(－∞，94

]． 经检验，当a ＝94

时，函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数． 补偿练习12 已知函数322()23()3

f x x ax x x R =

-+∈ （Ⅰ）若1a =，点P 为曲线()y f x =上的一个动点，求以点P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （Ⅱ）若函数()y f x =在(0,)+∞上为单调增函数，试求a 的最大整数值．

解：（Ⅰ）设切线的斜率为k ，则22'()2432(1)1k f x x x x ==-+=-+，

∵x R ∈，∴当1x =时，k 取得最小值1， 又∵5(1)3f =，则5(1,)3P .

故所求切线方程为：513

y x -=-即3320x y -+= （Ⅱ）2'()243f x x ax =-+要使函数()y f x =在(0,)+∞上为单调增函数，

则对任意(0,)x ∈+∞都有'()0f x ≥恒成立，

即对任意(0,)x ∈+∞都有22430x ax -+≥324x a x

?≤+对(0,)x ∈+∞恒成立，

由于324x x +≥=

，当且仅当2x =时取“＝”

，所以2a ≤，则a 的最大整数值为１．

三角函数与平面向量

易错点13 忽视角的范围致误

例13 已知sin α＝55，sin β＝1010

，且α，β为锐角，则α＋β＝________. 错解 ∵α、β为锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010

.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝55×31010＋255×1010＝22.又0<α＋β<π.∴α＋β＝π4或α＋β＝34

π. 错因分析 错解中没有注意到sin α＝55，sin β＝1010

本身对角的范围的限制，造成错解． 正解 因为α，β为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010

. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又因为0<α＋β<π，所以α＋β＝π4. 易错突破 对三角函数的求值问题，不仅要看已知条件中角的范围，还要挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围；本题中(0，π)中的角和余弦值一一对应，最好在求角时选择计算cos(α＋β)来避免增解．

补偿练习13 已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0 (a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈????－π2，π2，则tan α＋β2的值是________．

答案 －2

解析 因为a >1，tan α＋tan β＝－4a <0，tan α·tan β＝3a ＋1>0，所以tan α<0，tan β<0.又α，β∈???

?－π2，π2，

6 所以α＋β∈(－π，0)，则α＋β2∈????－π2，0.又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－4a 1－3a ＋1 ＝43，又tan(α＋β)＝2tan

α＋β21－tan 2α＋β2

＝43，整理，得2tan 2α＋β2＋3tan α＋β2－2＝0，解得tan α＋β2＝－2或tan α＋β2＝12

(舍去)． 易错点14 图象变换混乱致误

例14 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22

(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)．

错解 右 π4或右 π12

错因分析 y ＝22

(cos 3x －sin 3x )＝sin ????π4－3x ＝sin ????－3????x －π12.题目要求是由y ＝sin ????－3x ＋π4→y ＝sin(－3x )．右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12

平移方向错了． 正解 y ＝22

(cos 3x －sin 3x )＝sin ????π4－3x ＝sin ????－3????x －π12，要由y ＝sin ????－3????x －π12到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可，因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12

个单位． 易错突破 函数图象的左右平移是自变量x 发生变化，如ωx →ωx ±φ(φ>0)这个变化的实质是x →x ±φω

，所以平移的距离并不是φ.

补偿练习14 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( )

A ．y ＝sin ????2x －π10

B ．y ＝sin ????2x －π5

C ．y ＝sin ????12x －π10

D ．y ＝sin ????12x －π20 答案 C

解析 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10

个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin ????x －π10；再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是y ＝sin ????12x －π10.故选C. 易错点15 解三角形多解、漏解致误

例15 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且a ＝1，c ＝ 3.

(1)若C ＝π3，求A ；(2)若A ＝π6

，求b ，c . 错解 (1)在△ABC 中，a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝12，∴A ＝π6或5π6. (2)由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin A a ＝32，∴C ＝π3，由C ＝π3知B ＝π2

，∴b ＝a 2＋c 2＝2. 错因分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在

求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中又因为没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin A a ＝32

，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2

，解得b ＝2.这样就出现漏解的错误． 正解 (1)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即sin A ＝a sin C c ＝12. 又a 时，B ＝π2，∴b ＝2；当C ＝2π3时，B ＝π6

，∴b ＝1.综上所述，b ＝2或b ＝1. 易错突破 已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．

补偿练习15 在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．

解 由正弦定理得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32.又因为AB >AC ，所以C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，

7 于是S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×1＝2 3.当C ＝120°时，A ＝30°，于是S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×12＝ 3.故△ABC 的面积是23或 3.

易错点16 向量夹角定义不明致误

例16 已知等边△ABC 的边长为1，则BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝________.

错解 ∵△ABC 为等边三角形，∴|BC →|＝|CA →|＝|AB →|＝1，向量AB →、BC →、CA →间的夹角均为60°.

∴BC →·CA →＝CA →·AB →＝AB →·BC →＝12.∴BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝32

. 错因分析 数量积的定义a·b ＝|a|·|b |·cos θ，这里θ是a 与b 的夹角，本题中BC →与CA →夹角不是∠C .两向量的

夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角，如图BC →与CA →的夹角应是∠ACD .

正解 如图BC →与CA →的夹角应是∠ACB 的补角∠ACD ，即180°－∠ACB ＝120°.

又|BC →|＝|CA →|＝|AB →|＝1，所以BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos 120°＝－12

. 同理得CA →·AB →＝AB →·BC →＝－12.故BC →·CA →＋CA →·AB →＋AB →·BC →＝－32

. 易错突破 在判断两向量的夹角时，要注意把两向量平移到共起点，这样才不至于判断错误．平面向量与三角函数的结合，主要是指题设条件设臵在向量背景下，一旦脱去向量的“外衣”，实质上就变成纯三角问题．

补偿练习16 在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.

答案 152

解析 方法一 在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，

∴AD ＝7，cos ∠BAD ＝32＋72－122×3×7

＝5714，∴AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|·cos ∠BAD ＝3×7×5714＝152

. 方法二 ∵AD →＝AB →＋BD →，∴AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋AB →·BD →＝|AB →|2＋|AB →||BD →|·cos 120°＝9＋3×1×????－12＝152

. 易错点17 忽视向量共线致误

例17 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．

错解 ∵cos θ＝a·b |a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1.因θ为锐角，有cos θ>0，∴2λ＋15·λ2＋1

>0?2λ＋1>0， 得λ>－12

，λ的取值范围是????－12，＋∞. 错因分析 当向量a ，b 同向时，θ＝0，cos θ＝1满足cos θ>0，但不是锐角．正解 ∵θ为锐角，∴0

又∵cos θ＝a·b |a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1且2λ＋15·λ2＋1≠1，∴??? 2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得?????

λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是????

??λ|λ>－12且λ≠2. 易错突破 在解决两向量夹角问题时，一般地，向量a ，b 为非零向量，a 与b 的夹角为θ，则①θ为锐角?a·b >0且a ，b 不同向；②θ为直角?a·b ＝0；③θ为钝角?a·b <0且a ，b 不反向．

补偿练习17 设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3

.若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的范围．

解 ∵2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0且2t e 1＋7e 2≠λ(e 1＋t e 2)(λ<0)．由(2t e 1＋

7e 2)·(e 1＋t e 2)<0得2t 2＋15t ＋7<0，∴－7

.若2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ<0)，∴(2t －λ)e 1＋(7－tλ)e 2＝0. ∴????? 2t －λ＝07－tλ＝0，即t ＝－142，∴t 的取值范围为－7

例18 已知数列{a n }对任意的n ∈N *都满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8－5n ，则数列{a n }的通项公式为

________．

错解 ∵a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8－5n ，∴a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8－5(n －1)，

8 两式相减，得2n －1a n ＝－5，∴a n ＝－52

n －1. 错因分析 当n ＝1时，由题中条件可得a 1＝3，而代入错解中所得的通项公式可得a 1＝－5，显然是错误的．其原因是：两式相减时，所适用的条件是n ≥2，并不包含n ＝1的情况．只有所求的通项公式对n ＝1时也成立，才可以这样写，否则要分开写．

正解 当n ≥2时，由于a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8－5n ，那么a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8－5(n －1)，

两式对应相减可得2n －1a n ＝8－5n －[8－5(n －1)]＝－5，所以a n ＝－52n －1.而当n ＝1时，a 1＝3≠－52

1－1＝－5， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝????? 3， n ＝1，－52

n －1， n ≥2. 易错突破 本题实质上已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项a n 与S n 的关系中，a n ＝S n －S n －1，成立的条件是n ≥2，求出的a n 中不一定包括a 1，而a 1应由a 1＝S 1求出，然后再检验a 1是否在a n 中，这是一个典型的易错点．

补偿练习18 已知数列{a n }的前n 项之和为S n ＝n 2＋n ＋1，则数列{a n }的通项公式为__________．

答案 a n ＝?????

3，n ＝1，2n ，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝n 2＋n ＋1－(n －1)2－(n －1)－1＝2n ，∴a n ＝?????

3，n ＝1，2n ，n ≥2. 易错点19 忽视等比数列公比的条件致误

例19 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40等于( )

A ．150

B ．－200

C ．150或－200

D ．400或－50

错解 C

错因分析 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200. 正解 记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30，

b 1，b 2，b 3，b 4是以公比为r ＝q 10>0的等比数列．∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70，

∴r 2＋r －6＝0，∴r ＝2，r ＝－3(舍去)，∴S 40＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝10 1－24

1－2

＝150. 易错突破 在等比数列中，公比的条件在使用中要注意隐含条件，S n 中q ≠1；构造新数列要注意新数列的公比和原公比的关系，如等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比为q 10>0. 补偿练习19 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q ＝________.

答案 1或－1

解析 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1，∴S 3＋S 6＝S 9成立．②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9，

得a 11－q 31－q ＋a 11－q 61－q ＝a 11－q 9

1－q

∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0.∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1.

易错点20 数列最值意义不清致误

例20 已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n

的最小值为________． 错解 233－1

错因分析 忽视了n 为正整数，直接利用基本不等式求最值，要注意和函数最值的区别．

正解 a n ＝n 2－n ＋33，∴a n n ＝n ＋33n －1.又f (x )＝x ＋33x

－1(x >0)在[33，＋∞)上为增函数，在(0，33]上为减函数．又n ∈N *，f (5)＝535，f (6)＝212，∴????a n n min ＝f (6)＝212

. 易错突破 研究数列的最值问题时，往往借助函数的思想利用导数研究数列的单调性来解决．关于正整数n 的对勾函数，使其取最值的点就是在离单调区间分界点距离最近的那两个点中取得，代入检验，便可确定最值．

补偿练习20 若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则数列{na n }中数值最小的项是第________项．

答案 3

解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －(n －1)2＋10(n －1)＝2n －11.

可以统一为a n ＝2n －11(n ∈N *)故na n ＝2n 2－11n ，该关于n 的二次函数的对称轴是n ＝114

， 考虑到n 为正整数，且对称轴离n ＝3较近，故数列{na n }中数值最小的项是第3项．

易错点21 数列递推关系转化不当致误

9 例21 已知函数f (x )＝2x x ＋1，数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝f (a n )，b n ＝a n 1－a n

，n ∈N *，求数列{b n }的通项公式． 错解 ∵f (x )＝2x x ＋1，∴a n ＋1＝f (a n )＝2a n a n ＋1

，∴a n ＋1a n ＋a n ＋1－2a n ＝0，a n (a n ＋1－2)＋a n ＋1＝0. 错因分析 递推关系转化不当，无法求出b n .

正解 ∵f (x )＝2x x ＋1，∴a n ＋1＝f (a n )＝2a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝12＋12a n .∴1a n ＋1－1＝12(1a n －1)，又b n ＝a n 1－a n

， ∴1b n ＝1a n －1，∴1b n ＋1＝12·1b n ，∴b n ＋1＝2b n ，又b 1＝a 11－a 1

＝2，∴{b n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴b n ＝2n .

易错突破 解决递推数列问题的基本原则是根据递推数列的特征进行转化．掌握以下几类递推关系的转化，可极大地提高解题效率．

①a n ＋1＝qa n ＋k 形式可用待定系数法：a n ＋1＋λ＝q (a n ＋λ)；

②a n ＋1＝ma n a n ＋n

形式可用取倒数法； ③观察法，如a n ＋1＝2(1＋1n )2a n ?a n ＋1n ＋1 2＝2·a n n 2. 补偿练习21 在数列{}n a 中，11a =，122n

n n a a +=+． （Ⅰ）设12

n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．

易错点22 忽视基本不等式的应用条件致误

例22 函数y ＝x ＋2x －1

的值域是________． 错解 [22＋1，＋∞)

错因分析 错解中直接使用基本不等式，而忽视了应用条件x －1>0时的情况被忽视．

正解 当x >1时，y ＝x ＋2x －1＝x －1＋2x －1＋1≥2 x －1 ·2x －1

＋1＝22＋1，当且仅 当x －1＝2x －1，即x ＝1＋2时等号成立；当x <1时，－y ＝－x ＋21－x ＝1－x ＋21－x

－1 ≥2 1－x ·21－x －1＝22－1，∴y ≤1－22；当且仅当1－x ＝21－x

，即x ＝1－2时等号成立． ∴原函数的值域为(－∞，1－22]∪[1＋22，＋∞)．

易错突破 利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正，二定，三相等”的条件．本例由于忽

视了x －1的正、负问题，导致结果错误．在应用基本不等式a ＋b 2

≥ab 时，首先应考虑a ，b 是否为正值． 补偿练习22 函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，

10 则1m ＋1n

的最小值为________． 答案 2

解析 因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)，由题意，知点A 在直线mx ＋ny －2

＝0上，所以，m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2.而1m ＋1n ＝12(1m ＋1n )×(m ＋n )＝12(2＋n m ＋m n )，因为mn ＞0，所以n m ＞0，m n

＞0.由基本不等式，可得n m ＋m n ≥2 n m ×m n ＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)，所以1m ＋1n ＝12×(2＋n m ＋m n )≥12

×(2＋2)＝2，即1m ＋1n

的最小值为2. 易错点23 解含参数不等式讨论不当致误

例23 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.

错解 原不等式化为a (x －1a

)(x －1)<0.∴当a >1时，不等式的解集为????1a ，1.当a <1时，不等式的解集为????1，1a . 错因分析 解本题容易出现的错误是：(1)认定这个不等式就是一元二次不等式，忽视了对a ＝0时的讨论；

(2)在不等式两端约掉系数a 时，若a <0，忘记改变不等号的方向；(3)忽视了对根的大小的讨论，特别是等根的讨论；(4)分类讨论后，最后对结论不进行整合．

正解 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}．

当a ≠0时，不等式化为a ????x －1a (x －1)<0.当a <0时，原不等式等价于???

?x －1a (x －1)>0，不等式的解集为{x |x >1或x <1a }；当01时，1a <1，不等式的解集为{x |1a

???－∞，1a ∪(1，＋∞)；当a ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)；当0

?1，1a ；当a ＝1时，不等式的解集为?；当a >1时，不等式的解集为????1a ，1.

易错突破 解形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式，应对系数a 分a >0，a ＝0，a <0进行讨论，还要讨论各根的大小，最后根据不同情况分别写出不等式的解集．

补偿练习23 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ?[1,4]，求实数a 的取值范围．

解 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，有Δ＝(－2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)．①当Δ<0，即－10，即a <－1或a >2时，设方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2，且x 1

那么M ＝[x 1，x 2]，则M ?[1,4]?1≤x 1.综上，可得M ?[1,4]时，a 的取值范围是?

???－1，187. 易错点24 线性规划问题最值意义不明致误

例24 设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝

22

围成的三角形区域(包含边界)为D ，点P (x ，y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________． 错解 32

2 错因分析 没有理解线性规划中目标函数的几何意义，认为目标函数一定在最高点处取到最大值，最低点时取到最小值．

正解 －22

易错突破 对于线性规划问题中的目标函数z ＝ax ＋by ，可以化成y ＝－a b x ＋z b

的形式，z b

是直线的纵截距，当b <0时，z 的最小值在直线最高时取得． 补偿练习25 已知－1

答案 (3,8)

11

解析 画出不等式组?

????

－1

2

＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，有z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－

2)时，有z max ＝2×1＋3×2＝8， 故z 的取值范围为(3,8)．

立体几何

易错点25 线面夹角求的是余弦值或线面距离转化错误

例25（10年全国卷Ⅰ理7/文9）正方体ABCD －1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 （ ）

A.

3

B.3

C.

2

3

D.3

补偿练习25（12年全国卷文8/理4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =2

，1CC =E 为1CC 的中

点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（ ）

A.2

D.1 易错点26 线面关系定理条件把握不准致误

例26 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点．

(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1；(2)求证：EF ⊥B 1C .

错解 (1)连接BD 1，∵E 、F 分别为DD 1、DB 的中点．∴EF ∥D 1B ，

∴EF ∥平面ABC 1D 1.(2)AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ，∴AC ⊥平面BDD 1，∴EF ⊥AC . 错因分析 推理论证不严谨，思路不清晰．

正解 (1)连接BD 1，如图所示，在△DD 1B 中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点，则EF ∥D 1B .

?

???

?EF ∥D 1B

D 1B ?平面ABC 1D 1EF ?平面ABC 1D 1?EF ∥平面ABC 1D 1. (2)ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体?AB ⊥面BCC 1B 1

??????B 1C ⊥AB

B 1

C ⊥BC

1 AB ，BC 1

?平面ABC 1

D 1

AB ∩BC 1

＝B

?

???

??B 1C ⊥平面ABC 1D 1 BD 1?平面ABC 1D 1

?

???

??B 1C ⊥BD 1 EF ∥BD 1?EF ⊥B 1C . 易错突破 证明空间线面位臵关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第(2)问是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等．

补偿练习26 如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.

(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .

证明 (1)方法一 因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD . 在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠BAD . 又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，所以BD 2＝3AD 2.所以AD 2＋BD 2＝AB 2，所以AD ⊥BD . 又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1?平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD . 方法二 因为DD 1⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ，所以BD ⊥D 1D . 如图，取AB 的中点G ，连接DG .在△ABD 中，由AB ＝2AD ， 得AG ＝AD .又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形， 所以GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB .又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°， 所以∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°，

所以BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.

又AA 1?平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD .(2)如图，连接AC 、A 1C 1.

设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝1

2

AC .

由棱台的定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知，A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，

12 所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA 1.又因为EA 1?平面A 1BD ，CC 1?平面A 1BD ，所以CC 1∥平面A 1BD .

解析几何

易错点27 忽视倾斜角的范围致误

例27 经过点(－2,3)，倾斜角是直线3x ＋4y －5＝0倾斜角一半的直线的方程是________．

错解 设所求直线的倾斜角为α，则tan 2α＝－34，∴tan α＝－13

或tan α＝3. 故所求直线的方程为x ＋3y －7＝0或3x －y ＋9＝0.

错因分析 错解中只注意了直线倾斜角的关系，而忽视了直线倾斜角的范围，导致增解．

正解 由tan 2α＝－34，可得π2<2α<π，∴π4<α<π2，故tan α＝－13

(舍去)或tan α＝3，因此所求直线的方程为3x －y ＋9＝0.

易错突破 在求直线倾斜角的过程中，如果遇到一些不确定的变量(如斜率、字母、角度等)时，要根据倾斜角的范围进行合理的分类，确定出相应的倾斜角．

补偿练习27 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1

上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________． 答案 3π4

≤α<π 解析 设曲线在点P 处的切线斜率为k ，则k ＝y ′＝－4e x 1＋e x 2＝－4e x ＋1e x ＋2，因为e x >0，所以由基本不等式得k ≥－42e x ·1e

x ＋2＝－1.又k <0，所以－1≤k <0，即－1≤tan α<0，所以3π4≤α<π. 易错点28 忽视直线斜率的特殊情况致误

例28 a 为何值时，(1)直线l 1：x ＋2ay －1＝0与直线l 2：(3a －1)x －ay －1＝0平行？

(2)直线l 3：2x ＋ay ＝2与直线l 4：ax ＋2y ＝1垂直？

错解 (1)直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0的方程可变形为y ＝－12a x ＋12a 与y ＝3a －1a x －1a

， ∴当－12a ＝3a －1a 且12a ≠－1a ，即a ＝16

时，两直线平行． (2)当－2a ???

?－a 2＝－1时，两直线垂直，此方程无解，故无论a 为何值时，两直线都不垂直． 错因分析 (1)没考虑斜率不存在即a ＝0的情况；(2)没有考虑l 3的斜率不存在且l 4的斜率为0也符合要求这种情况．

正解 (1)①当a ＝0时，两直线的斜率不存在，直线l 1：x －1＝0，直线l 2：x ＋1＝0，此时，l 1∥l 2.

②当a ≠0时，l 1：y ＝－12a x ＋12a ，l 2：y ＝3a －1a x －1a ，直线l 1的斜率为k 1＝－12a

， 直线l 2的斜率为k 2＝3a －1a ，要使两直线平行，必须??? －12a ＝3a －1a ，12a ≠－1a ，解得a ＝16

. 综合①②可得当a ＝0或a ＝16

时，两直线平行． (2)方法一 ①当a ＝0时，直线l 3的斜率不存在，直线l 3：x －1＝0，直线l 4：y －12

＝0，此时，l 3⊥l 4. ②当a ≠0时，直线l 3：y ＝－2a x ＋2a 与直线l 4：y ＝－a 2x ＋12，直线l 3的斜率为k 3＝－2a

，直线l 4的斜率为k 4＝－a 2，要使两直线垂直，必须k 3·k 4＝－1，即－2a ·???

?－a 2＝－1，不存在实数a 使得方程成立． 综合①②可得当a ＝0时，两直线垂直．

方法二 要使直线l 3：2x ＋ay ＝2和直线l 4：ax ＋2y ＝1垂直，根据两直线垂直的充要条件，必须A 1A 2＋B 1B 2＝0，即2a ＋2a ＝0，解得a ＝0，所以，当a ＝0时，两直线垂直．

易错突破 求直线方程，特别是研究含参数的直线方程问题时，一定要对直线斜率的存在性进行讨论，这是避免出错的重要方法．

补偿练习28 已知直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和直线l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，试求θ的值，使得：(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.

13 解 (1)A 1B 2－A 2B 1＝0，即1－2sin 2θ＝0，∴sin 2θ＝12，∴sin θ＝±22

.由B 1C 2－B 2C 1≠0，即1＋sin θ≠0， 即sin θ≠－1，∴θ＝k π±π4，k ∈Z ，∴θ＝k π±π4

，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)由A 1A 2＋B 1B 2＝0，即2sin θ＋sin θ＝0，得sin θ＝0.

∴θ＝k π，k ∈Z ，∴θ＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.

易错点29 忽视曲线中的隐含条件致误

例29 已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，且过定点A (1,2)作圆的切线有两条，求a 的取值范围．

错解 将圆C 的方程配方有(x ＋a 2)2＋(y ＋1)2＝4－3a 24.∴圆心C 的坐标为(－a 2，－1)，半径r ＝4－3a 22

. 当点A 在圆外时，过点A 可以作圆的两条切线，∴|AC |>r ，即 1＋a 22＋2＋1 2>4－3a 22

， 化简得a 2＋a ＋9>0，Δ＝1－4×9＝－35<0，∴a ∈R .

错因分析 错解中只考虑了点A 在圆C 外部，而忽视了圆C 的方程是圆的一般式方程，x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0表示圆的条件没有考虑．

正解 将圆C 的方程配方有(x ＋a 2)2＋(y ＋1)2＝4－3a 24，∴4－3a 24

>0，① ∴圆心C 的坐标为(－a 2，－1)，半径r ＝4－3a 22

. 当点A 在圆外时，过点A 可作圆的两条切线，∴|AC |>r ，即 1＋a 22＋2＋1 2>4－3a 22

， 化简得a 2＋a ＋9>0.②由①②得－2330.本题的失分原因是忽视了这个条件．在解决此类问题时，可以直接判断D 2＋E 2－4F >0，也可以配方后，判断方程右侧大于0，因为右侧相当于r 2.对于曲线方程中含有参数的，都要考虑参数的条件．

补偿练习29 设椭圆的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32

，已知点P ????0，32到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程．

解 依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝34，∴b 2a 2＝14，即a ＝2b . 设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋????y －322＝a 2????1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94

＝－3????y ＋122＋4b 2＋3. 若b <12

，则当y ＝－b 时，d 2有最大值，从而d 有最大值． 于是(7)2＝????b ＋322，从而解得b ＝7－32>12，与b <12

矛盾． 所以必有b ≥12，此时当y ＝－12时，d 2有最大值，从而d 有最大值．所以4b 2＋3＝(7)2，解得b 2＝1，a 2＝4.于是所求椭圆的方程为x 24

＋y 2＝1. 易错点30 忽视圆锥曲线定义中的条件致误

例30 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________． 错解 x 2－y 28

＝1 错因分析 错误运用双曲线定义出错．本题中，|MC 2|－|MC 1|＝2，与双曲线定义相比，左边少了外层绝对值，因此只能是双曲线的一支．如果不注意，就会得出错误的结果，即点M 的轨迹方程为x 2－y 28

＝1. 正解 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .

根据两圆外切的条件，得

|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |.因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|

－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2.

所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数．

又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28

＝1(x <0)．

14

易错突破 应注意平面内到两个定点F 1，F 2的距离之差等于定长2a (a >0)的点的轨迹不是双曲线；当定长2a <|F 1F 2|时，表示的只是双曲线的一支；当2a ＝|F 1F 2|时，表示的是一条射线；当2a >|F 1F 2|时，点的轨迹不存在．

补偿练习30 “－3

m ＋3

＝1表示椭圆”的 ( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 答案 B

解析 要使方程x 2

5－m ＋y

2

m ＋3

＝1表示椭圆，应满足?????

5－m >0m ＋3>0

5－m ≠m ＋3

，解得－3

是“方程x 25－m ＋y 2

m ＋3

＝1表示椭圆”的必要不充分条件．

易错点31 离心率范围考虑不周致误

例31 双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离

心率的取值范围为________．

错解 如图，设|PF 2|＝m ，∠F 1PF 2＝θ (0<θ<π)，由条件得|PF 1|＝2m ， |F 1F 2|2＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θ，且||PF 1|－|PF 2||＝m ＝2a .

所以e ＝2c

2a ＝m 2＋2m 2－4m 2cos θm

＝5－4cos θ.又－1

错因分析 漏掉了P 在x 轴上的情况，即∠F 1PF 2＝π时的情况．

正解 设|PF 2|＝m ，∠F 1PF 2＝θ (0<θ≤π)，当点P 在右顶点处时，θ＝π.e ＝c a ＝2c 2a ＝3m

m

＝3.

当θ≠π，由条件，得|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|2＝m 2＋(2m )2－4m 2

cos θ，且||PF 1|－|PF 2||＝m ＝2a .

所以e ＝2c

2a ＝m 2＋2m 2－4m 2cos θm

＝5－4cos θ.又－1

易错突破 对圆锥曲线上点的特殊位臵(如顶点)不能忽略，综合考虑所有可能情况求离心率范围．

补偿练习31 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (b >a >0)，直线l 过点A (a,0)和B (0，b )，且原点到直线l 的距离为3

4

c (c 为半

焦距)，则双曲线的离心率为________．

答案 2

解析 因为直线l 过点A (a,0)和B (0，b )，所以其方程为x a ＋y

b

＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.

又原点到直线l 的距离为34c ，所以ab a 2＋b

2＝3

4c .又a 2＋b 2＝c 2，所以4ab ＝3c 2，即16a 2(c 2－a 2)＝3c 4.

所以3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a >0，e 2

＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2>a 2＋a 2

a

2＝2.所以e 2＝4，故e ＝2.

易错点32 忽视Δ>0致误

例32 已知双曲线x 2－y 22

＝1，过点B (1,1)能否作直线m ，使m 与已知双曲线交于Q 1，Q 2两点，且B 是线段Q 1Q 2

的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

错解 设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，代入双曲线方程得?

??

x 2

1－y 212

＝1， ①

x 22－y 2

22

＝1. ② ①－②化简得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2 x 1＋x 2y 1＋y 2

.∵中点B (1,1)，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.∴满足题设的直线存在，

且方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.

错因分析 错解中没有判断直线2x －y －1＝0和双曲线x 2－y 22＝1是否相交． 正解 设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，代入双曲线方程得?

??

x 21

－y 212

＝1， ①x 2

2－y 2

22

＝1. ②

15 ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝12(y 1＋y 2)(y 1－y 2)．∵B (1,1)为Q 1Q 2的中点，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2

＝2.∴直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立????? y ＝2x －1，x 2－y 22＝1

消去y 得2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，∴所求直线不存在．

易错突破 用点差法求直线方程时，只是承认了直线与曲线相交，而事实上，存在不相交的可能，所以在求出直线方程后，应利用判别式判断直线与曲线是否相交．当然，就本题来讲，也可以不用点差法求解．直接设直线的方程，利用待定系数法求解．遇见直接用直线与曲线方程联立解方程组的问题，就比较容易联想用判别式求解．

补偿练习32 21．设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为(02)A ，,右焦点F

与点B 的距离为2．

（1）求椭圆的方程； （2）是否存在经过点（0,－3）的直线l ,使直线l 与椭圆相交于不同两点M,N 满足|||AM AN = ?若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由。

解：(1) 依题意,设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ,则其右焦点坐标为22,)0,(b a c c F -=, 由=||FB 2,

2=,

即2(24c +=,故22=c .又∵2=b , ∴212a =, 从而可得椭圆方程为14

1222=+y x . (2)由题意可设直线l 的方程为3-=kx y (0)k ≠, 由||||=知点A 在线段MN 的垂直平分线上,由?????=+-=14

1232

2y x kx y 消去y 得12)3(322=-+kx x , 即可得方程01518)31(22=+-+kx x k …（*） 当方程（*）的06014415)31(4)18(222>-=?+--=?k k k ，即12

52>k 时方程（*）有两个不相等的实数根. 设),(11y x M ,),(22y x N ,线段MN 的中点),(00y x P ,则12,x x 是方程（*）的两个不等的实根,故有

2213118k k x x +=+.从而有22103192k

k x x x +=+=,22220031331)31(393k k k k kx y +-=++-=-=. 于是,可得线段MN 的中点P 的坐标为)313,319(2

2k k k P +-+，又由于0k ≠,因此直线AP 的斜率为k

k k k k k 965319231322

21--=+-+-=,由AP MN ⊥,得19652-=?--k k k ，即9652=+k ， 解得12

5322

>=k ，∴36±=k ，∴综上可知存在直线l ：336-±=x y 满足题意. （2）方法二：设存在直线l ，斜率为k ,则联立方程223123x y y kx ?+=?=-? 得：22(13)18150k x kx +-+=，由△＝12（12k 2－5）＞0，设11(,)M x y 、22(,)N x y 由韦达定理得122122181315

13k x x k x x k ?+=??+??=?+?

， 又22||||=，则22222121)2()2(-+=-+y x y x ，移项得：k ＝1212x x y y --＝－21214

x x y y ++-＝－2121()10x x k x x ++-＝－2110(13)18k k k

+-，解得k ＝±3， 此时△＞0适合题意，故存在直线y

=±3x －3满足

16 题意.

概率与统计

易错点33 抽样方法理解不清致误

例33 某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，

从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是 ( )

A ．简单随机抽样法

B ．抽签法

C ．系统抽样法

D ．分层抽样法

错解 A

错因分析 没有理解三种随机抽样的概念，本质特点没有抓住．

正解 显然总体差异明显，并且按比例进行抽样，是分层抽样，选D.

易错突破 简单随机抽样常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样法常常用于总体个数较多时；分层抽样常常用于总体由差异明显的几部分组成，主要特征是分层并按比例抽样．分层抽样是高考考查的一个热点，因为在实际生活中有差异的抽样比其他两类抽样应用空间大．

补偿练习33 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直

方图(如图所示)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500,3 500)月收入段应抽出________人．

答案 40

解析 根据图可以看出月收入在[2 500,3 500)的人数的频率是(0.000 5＋0.000 3)×500＝ 0.4，故月收入在[2 500，3 500)的应抽出100×0.4＝40(人)．

易错点34 基本事件概念不清致误

例34 先后抛掷三枚硬币，则出现“两个正面，一个反面”的概率为________．

错解 所有基本事件有：三正，两正一反，两反一正，三反；∴出现“两正一反”的概率为14

. 错因分析 没有理解基本事件的概念，所列举出的事件不是等可能的．

正解 所有的基本事件有：(正，正，正)(正，正，反)(正，反，正)(反，正，正)(正，反，反)(反，正，反)(反，

反，正)(反，反，反)八种，而“两正一反”事件含三个基本事件，∴P ＝38

. 易错突破 对于公式P (A )＝m n

(n 和m 分别表示基本事件总数和事件A 包含的基本事件数)，仅当所述的试验结果是等可能出现时才成立．解题时要充分理解古典概型的定义，验证基本事件的有限性及等可能性． 补偿练习34 掷两枚骰子，求事件A 为出现的点数之和等于3的概率．

解 掷两枚骰子可能出现的情况：(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，基本事件总数为6×6＝36.

在这些结果中，事件A 只有两种可能的结果(1,2)，(2,1)，∴P (A )＝236＝118

. 易错点35 互斥事件概念不清致误

例35

求：（Ⅱ）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？

20.解：（Ⅰ）设A =“每天不超过20人排队结算”, 则()0.10.150.250.250.75p A =+++= （Ⅱ）每天超过15人排队结算的概率为，10.250.20.052++=

， 一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为070711122C ????- ? ????? 一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为6

1

711122C ????- ???????

17 一周7天中，有两天出现超过15人排队结算的概率为25

2711122C ????- ? ????? 一周7天中，有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率为；

0716250127771111119911110.75222222128p C C C ??????????????=--+-+-=>?? ? ? ? ? ? ?????????????????

所以，该商场需要增加结算窗口.补偿练习35 在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种

不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．

(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；

(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．

解 设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A ，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B ，随机选取两种的情况为(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，…，(4,5)，共15种．

(1)芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)，(1,3)．故P (A )＝215

. (2)芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有1种：(0,2)．故P (B )＝1－???

?115＋115＝1315

. 答 所选用的两种不同添加剂的芳香度之和等于4的概率为215

，所选用的两种不同添加剂的芳香度之和不小于3的概率为1315

.

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