章建跃教授编后漫笔

章建跃简介

章建跃，男，1958年8月4日出生，数学本科，北京师范大学课程与教学论（数学）硕士、发展与教育心理学博士。现任人民教育出版社中学数学室主任、资深编辑。人民教育出版社编审，课程教材研究所研究员。主要研究方向：数学教育心理学，中学数学课程及教材编写，数学课堂教学。社会兼职：中国教育学会中学数学教学专业委员会副理事长、学术委员会副主任（常务）；中国统计教育学会常务。

“创造性使用教材”≠“脱离教材”

章建跃

本期刊登的文章中，有多篇文章不约而同地谈到要重视教材的问题。薛红霞以函数概念的教

学为例，阐述了理解教材编写意图对于实现教学目标、提高课堂教学质量的重要意义；连春兴和王霞阐述了以“学案”引导学生阅读教材、开展探究性学习的做法；而对最容易脱离课本的高考复习，韦华荣也提出要以课本为依据、充分重视课本例习题的观点。这些观点值得重视。

不过，在最近的大量课堂观察中（其中包括全国优质课评比活动中的课），我发现脱离课本进行教学的现象很普遍，这是令人担忧的。

调研表明，出现脱离课本进行教学的原因主要有三个方面： 第一，许多教师认为教材内容“简单”，不足以应付高考；

第二，误解本次课改提倡的“不是教教材，而是用教材教”、要“创造性地使用教材”的真正意图；

第三，许多教师不善于或不愿意花大力气研究教材。 对上述问题，我有如下几点思考：

首先，一定要正确理解“不是教教材，而是用教材教”的内涵，我认为这是针对“照本宣科”而言的，绝对不是提倡大家“脱离教材”进行教学（当然，某些“课改专家”确实提出过“教材仅仅是课程资源的一种”“教师是课程资源的开发主体”等，但实践证明，这些观点过于理想化了）。

其次，“教材太简单，不足以应付高考”的观点是偏颇的。诚然，教材的“基础性”与高考的“选拔性”确有一定的目标差异，但学好教材一定是高考取得好成绩的前提，教师的主要精力应当放在帮助学生熟练掌握教材内容上。

第三，理解教材是当好数学教师的前提，而“理解教材”的第一要义是“理解数学”：了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等。

第四，要仔细分析教材编写意图：教材的结构体系、内容顺序是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习题是精挑细选的。因此，在处理教材时，内容顺序的调整要十分小心（否则容易导致教学目标的偏离），例子可以根据学生基础和当地教学环境替换，但所换的例子要反映教科书的意图，要能承载书上例子的教学任务。

在1999年出版的《数学教育心理学》中我曾说，“教之道在于‘度’，学之道在于‘悟’”。在课标教材实验过程中，许多老师觉得这个“度”不好把握。我认为这主要是对课标教材的研读还不够深入所致，不领悟教材就不可能把握好“度”。

课本、课本，一科之本。课堂教学应“以课本为本”。

二、“经验之中有规律”的教学涵义

章建跃

经验之中有规律，是我们认识问题的一般过程和方法，也阐明了一个简单但很深刻的教学原理。

“经验”是具体的，“规律”则是抽象的。“规律”不是从天而降的，而是从具体经验中经过不断归纳、概括才能得到的。

如何才能培养学生“从经验中发现规律”的能力呢？我想，如下两点很要紧：

首先，要培养学生“从一般规律的高度考察具体事例”的意识，逐步养成“透过现象看本质”的习惯。这是观念问题，是思维习惯问题，也是思想方法问题，需要一个长期的、潜移默化的过程，需要有意识地培养。

其次，要让学生掌握观察事例、从经验中归纳规律、把具体事例中得到的东西概括到全体中去的基本方法，使他们逐步学会归纳、学会抽象、学会概括，进而形成“从经验中发现规律”的能力。

众所周知，“具体”中蕴含的信息具有丰富性、多样性，观察也可以有不同角度，因而从同一事例中可发现不同规律；同时，表面的东西大家都能看到，“藏”在背后的才有“含金量”。所以，面对具体事例，关键是“你怎么看？”这是看问题的角度、高度以及切入点，需要知识的支撑，还需要历练。学生经常出现“不是做不到，而是想不到”的尴尬，主要是他们的阅历还不足以使自己“想得到”。这似乎是一层“窗户纸”，但捅破它却并不容易，需要有数学知识、思想方法的灵活运用能力。例如对于公式1+2+?+n=

，能将右边看成n个

相加的结果，

进而想到是数列1，2，?，n的“等差中项”，是这n个数的“平均数”，并最终形成对

等差数列求和具有一般意义的“利用平均数，将求等差数列的前n项和转化为n个相同数的求和”，这就体现了看问题的高度，需要很好地把握等差数列的性质（特别是“当m+n=p+q时，am+ an = ap + aq”）。把简单的事情搞清楚，并能从中发现规律，这是需要高层次思维和高水平能力的。

再看“二项式定理”的例子。从乘法公式的角度，通过整式运算，学生在初中就知道

(a+b)2=a2+2ab+b2和(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。如何升华这些经验，使之能用于“归纳规律，获得猜想”呢？这里需要一个新的观察角度，要用排列组合的观点分析原始运算过程：

对于(a+b)2=a2+2ab+b2，还原到(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2，分析展开式（从什么角度？），看项数、每一项的次数和系数。因为目标是要得到(a+b)n的展开式，因此要有“从特殊性中寻找一般性”的思想：

n=2时，项数3，次数2，每一项的形式是a2-kbk（k=0，1，2）（这是“一般化”的观点，需要归纳，需要教师引导）。接下来的关键是要用组合知识对“如何获得展开式的某一项”作出解释。

当k=0时，（即都取a）的组合数

=a2，是由2个（a+b）都不选b得到的，相当于从2个（a+b）中取0个b；当k=1时，

=ab，是由一个（a+b）选a，另一个（a+b）选b得到的，由于b选定后，a的选法就唯一确定，因此，ab出现的次数相当于从2个（a+b）中取1个b的组合数，即ab共有

个；当k=2时，

。最终有：

=b2，是由2个（a+b）都选b得到的，相

。

当于从2个（a+b）中取2个b的组合数

显然，学生具备上述分析过程中用到的所有知识，但他们缺“看问题的高度”，不会“从新角度看旧问题”。因此，为了有利于学生找到“规律”，需要进一步提供经验支持，即让学生仿照上述过程独立完成对

，

的展开式的探究。

顺便提及，代数中的公式和定理，绝大部分都是用归纳法由低次到高次，由一元、二元到多元逐步归纳而发现，然后再用归纳论证去确立其正确性。因此，代数教学中，一定要强调让学生积累“归纳地去探索、发现，再归纳地定义、归纳地论证”的经验。

三、“增效、减负”

──数学教师的责任与使命

章建跃

本期我们刊登了我国老一辈数学教育工作者、已近88岁高龄的陈振宣先生的《建议开展增效与减负的大讨论》一文。陈先生是我国改革开放后中学数学教育改革的积极倡导者，也是义无反顾的改革实践者，相信熟悉我国数学教改的读者，对他早在上世纪80年代初提出的在中学数学中引入向量，以向量为抓手改革三角、平面解析几何、立体几何等教学内容的思想及其实践一定记忆犹新。本文他又以一位中学数学教育前辈的高度责任感，针对积重难返的“学习负担过重”问题，呼吁开展“增效与减负”大讨论。

陈先生认为，造成“负担过重”的原因主要有如下几方面：

第一，教材的体系不科学，不能显示知识的内在道理，不能展示知识的“发明本源”，“在教材建设中光做减法，甚至不惜破坏数学的科学体系，硬性规定减少教学课时”而违背了科学发展观；

第二，违背数学教育规律，不重视数学思维方法的教学，以“题海”代替数学思维基本功训练，试图“以多取胜”；

第三，粗制滥造、质量低劣、错误百出的教辅资料泛滥，直接加剧“负担过重”；

第四，考试制度改革、高考命题改革与课程教材改革相分离，迫使学生为高考分数而大量做高考模拟卷，催生了与模拟卷相关的“利益链”；

第五，“数学是进大学的敲门砖”的急功近利思想，导致对数学教育功能的认识偏差，是造成“负担过重”的思想根源。

陈先生的剖析可谓鞭辟入里、一针见血。他还提出了许多扭转负担过重现象的措施，指出关键是要采取切实措施激发学生的学习兴趣、改进学习方法，认为这是一条数学教学的“公理”。

温总理在《政府工作报告》中提出，今年教育要重点抓好的工作之一是推进素质教育，“各级各类教育都要着眼于促进人的全面发展，加快课程、教材、教育方法和考试评价制度改革，把中小学生从过重的课业负担中解放出来，让学生有更多的时间思考、实践、创造。”说明“负担过重”已引起中央的高度关注，并要从教育改革入手解决之。但平心而论，“负担过重”是社会、各级教育管理部门、学校、家长的“合力”所致，教育功利化等现象是我国社会发展现状在教育领域的客观反映，因此解决这一问题难度很大。不过，作为一名着眼于学生发展、懂得教育教学规律的教师，必须意识到这种现象是不正常的。教育的要义是教学生做人、做事，教育应当充满理想化色彩，教育必须远离功利。

实事求是地说，数学学科的题海最大、最深，在造成学生“负担过重”中难辞其咎。同时，大量优秀数学教师的实践表明，只要不断提高自己的教师专业化素养，坚持不懈地改进教学方法，就一定能使学生脱离题海的苦难，学得轻松且成绩卓越。因此，“增效减负”是时代发展赋予广大数学教师的责任和使命。

希望大家积极参与讨论，为增效减负献计献策。愿我们共同努力，不辱使命。

四、从整体性上把握好数学内容

章建跃

刘春艳老师在“平面向量的数量积”教后反思中谈到，由于“整体意识”不够，降低了对引入数量积概念的必要性及其作用的关注度，致使教学就事论事，缺乏应有的瞻前顾后。刘老师的反思切中要害，也是当前课堂教学需要关注的普遍问题。

强调把握好数学内容的整体性，是由数学的学科特点决定的。这种整体性，包括内容的整体结构（概念及其相互联系），以及前后一致的由内容反映的数学思想方法。

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一。将它引入高中数学，主要目的是为了沟通代数、几何与三角函数，使学生在了解向量的几何背景和物理背景，理解向量及其运算的意义的基础上，学会用向量的语言和方法表述和解决几何或物理中的一些问题。

从整体上看，为了解决几何问题，必须先用向量及其运算表示几何元素、相互关系和基本几何量。空间最基本原始的概念是位置，有向线段

描述了A，B两点所标记的两个位置间的

的方向与长

差别；自由向量是将这种“位置差别”定量化的一个基本几何量，其本质内涵是

度，即认为方向相同长度相等的两个向量是相等的。另一方面，从代数角度考虑，“引进一个量就要定义它的运算；定义一种运算就要研究它的运算律”。因此，引进向量后，要定义向量的加法、数乘运算和数量积。这样定义满足了“几何元素的向量表示”的要求：

设直线l的方向向量为e，A是l上的定点，则直线l上任一点X可定量表示为：内的任意一点）；

设e1，e2是平面α上两个不共线向量，A是α上的定点，则α上每一点X可定量表示为：（O是空间任意一点）；

+k1e1+k2e2+te（O是平面

两个不平行向量的“位置差别”由它们的夹角定量表示，向量的模表示了它的长度，而数量积则提供了表达、计算长度、角度的公式。

考察向量运算律的几何意义，可以发现空间的基本性质和几何的基本定理都能有系统地转换成向量代数中的运算律。例如：

平面几何关于平行的基本定理就是平行四边形各种特征性质之间的转换，其“向量表示”就是向量加法的交换律；

相似三角形定理用向量数乘运算来表达就是数乘分配律；

长度和角度的基本定理，即勾股定理和余弦定理，可用向量的数量积来有效地计算，而数量积的分配律则是勾股定理的提升和精简所得，也可以说是勾股定理代数化的最佳形式（项武义）。

总之，向量及其运算提供了表达、计算各种几何量的代数工具，而且向量运算律本身也是一套完美精简的几何基本定理。把握住这些，就执住了向量教学的牛耳。

日常教学，概念一个个地教，定理一个个地学，容易迷失在局部，见木不见林。长此以往就会导致坐井观天、思路狭窄、思维呆板，局限于一招一式的雕虫小技而不能自拔。把握好整体性，对内容的系统结构了如指掌，心中有一张“联络图”，才能把准教学的大方向，才能使教学有的放矢。也只有这样，才能使学生学到结构化的、联系紧密的、迁移能力强的知识。

五、改变习惯从加深理解内容开始

章建跃

本期刊登了王能斌的《对三角函数定义修改的感悟》。文中指出，对于三角函数的定义，许多老师很怀古，钟情于“任意角终边上一点的坐标比值”的定义方法，而对“单位圆上点的坐标就是三角函数”的定义方法不适应，提出种种理由拒绝它。早在2007年之初，我就在《数学通报》上发文，剖析了这些“理由”，这里不再赘述。其实，数学定义是选择的结果。教材的选择，既要考虑定义本身是否简单、易学及对后续学习的影响，还要考虑它是否反映了现代数学的发展和实际应用的需要。人教A版用单位圆上点的坐标定义三角函数，是因为它体现了“三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现”，并能给后续学习带来极大方便，这在王老师的教

学中也得到了证实。这里我想谈的是要以开放的心态，更新自我，通过深入理解内容而实现习惯的改变。

公元前的亚历山大里亚时期，为了建立定量的天文学，以便用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时、计算日历、航海和研究地理等，三角术在希腊定量几何学中应运而生。到托勒密（Ptolemy，公元168年去世）出版《数学汇编》，希腊三角术及在天文学上的应用达到顶峰。这部著作中有大量三角恒等变形问题，包括和（差）角公式、和差化积公式等，证明采用了初等几何方法。三角学的发展与天文学相互交织，且服务于天文学。到十六世纪，三角学开始从天文学里分离出来，并成为数学的一个分支。为了应付航海、天文、测量等实践之需，制作三角函数表成为三角学研究的核心工作。因为在制作过程中需要大量的三角恒等变形，所以三角恒等变形问题占据了重要地位。后来，随着对数的发明，特别是微积分的创立，三角函数表的制作变得轻而易举，繁杂的三角恒等变形不再需要，曾经重要的三角公式也风光不再。因此，在中学数学课程中，三角恒等变形应逐渐退出历史舞台。

那么，三角函数课程应如何与时俱进呢？ 首先，从应用的角度看，应强调三角函数作为描述周期现象的重要数学模型的地位，因为“三角函数与其它学科的联系与结合非常重要，最重要的是它与振动和波动的联系，可以说，它几乎是全部高科技的基础之一”①。要特别重视对y=Asin(ωx+φ)的研究。

第二，“正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接反映。”②所以，要充分发挥单位圆的作用，三角函数课程要用单位圆为载体来组织，要借助单位圆的性质研究三角函数的所有内容。

第三，在思想、方法上，要强调函数的变换（映射）与坐标系的变换及其关系、对称性与不变性等数学的主流思想和方法。例如，把诱导公式作为“关于x轴的轴对称变换T1：

”

和“将θ的终边绕原点逆时针旋转

的旋转变换T2：

”的合成；把和（差）角公式作

为“角α旋转任意角β的旋转变换公式”等。

第四，要强调三角函数与向量、复数、解析几何等的联系与综合。

总之，定义三角函数的最好方式是利用直角坐标系中的单位圆③。抓住三角函数作为刻画匀速圆周运动的数学模型，这就真正抓住了要领，就能以简驭繁。

高分是怎样得到的

章建跃

一年一度的高考刚尘埃落定，新一轮高考大战又如火如荼地展开。

从我国腐败横行的现实考虑，高考虽然残酷但尚算得一片净土，是无权无钱的平民百姓改变命运的少数机会之一，因此高考不能取消。我们可以把高考看成学生人生道路上的炼狱，把追求高分的过程看成一种人生历练。从教学的角度看，关键在于：如何使学生更有效地实现凤凰涅磐、浴火重生？

本期我们有意刊登了较多的“高考研究”文章。从中可见，追求高分，真可谓是“八仙过海，各显神通”：有考题“追根溯源”的；有进行“题型归类”的；有揣摩命题者“心思”的；有分析高考“解题术”的；有贯彻高考题“指示精神”开展高考复习的??。

受老师们的启发，我也想谈谈高考如何得高分的看法。

首先，尽管数学高考题千变万化，但考数学是无法改变的。万变不离其宗，这个“宗”就是高中数学核心知识以及由内容反映的数学思想方法。因此，教好数学特别是千方百计让学生领悟

数学基本概念才是根本，这样才能与数学“声气相通”，才有能力识破“七十二般变化”的“真身”。

其次，应试确实有技巧，但获得技巧的途径有天壤之别。一种是靠大量做题卖苦力，其结果可能是“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”；另一种是靠智慧而实现的“四两拨千斤”，其结果一定是高奏高考的凯旋之歌。

第三，提高学生的解题能力，需要经历一个以数学双基训练为载体的“悟道——得道——进入自由王国”的过程，必须有一个从有“型”到无“型”、从有招到无招的过程，这样才能实现融会贯通，达到随心所欲、见招拆招的境界。当前的问题在于：执著于“型”，执著于“招”，即执著于题型及其对应的技巧，深陷题海不能自拔，无法“悟道”，进入自由王国就更无从谈起，解题能力也就无法精进而上层次了。

当然，“师傅领进门，修行在个人”，学生能上到怎样的层次，要看他自己的造化，但作为人生导师，责任在于点化学生的智慧，使他在现有水平上开悟，帮助他实现人生目标。不过，教师自己开悟才有可能使学生开悟。因此，教师应提升自己的层次，以提高点化学生智慧的能力。

曾经有老师与我说，“章老师，你说得都对。我知道，按你的方法，做十个题目就可以得十分；而我要求学生做五十个题目只能得十一分。虽然你的方法质量、效率高多了，但我仍然会让学生做五十个题目。因为很可能多一分学生就能上重点了，而家长、社会、行政看的是最终结果，不会在乎过程是怎么做的。”确实，改变评价标准与机制，不以一张试卷定乾坤，是解决问题的要件之一。但我们是否有勇气这样做：让学生做十个题目就能得到十一分，甚至是十二分！高考高分就应该这样得到！

过程自然才能使学生“会”

章建跃

最近看到一个“余弦定理”的教学过程：

师：在△ABC中，已知CB=a，CA=b，a≥b。当∠C从小到大变化时，AB的长变化趋势如何？

生：随∠C的增大而增大。

师：特别地，∠C=0°，90°，180°，AB的长等于多少？

生：a－b；

；a+b。

师：把三个结论在形式上写得更接近些，即 ∠C=0°时，AB=∠C=90°，AB=∠C=180°，AB=

；

； 。

你能根据上述三个特例的结果猜想∠C=θ(0°＜θ＜180°)时，AB的长是多少吗？ 生：AB=

。

师：很好。大家能给出证明吗？ 生：??

师：怎么不会呢？我们可以这样来证（教师板书证明过程）。 这段描述引发了我的思考：学生不会的原因是什么？

我认为，上述教学不包含使学生“会”的成分。三个特例的“统一形式”是老师以变魔术的方式变出来的，过程不自然，学生的“猜想”只是照猫画虎。因为过程不自然，所以“猜想”是老师强加给学生的；因为没有体现“内容所反映的数学思想方法”，所以学生得到的“猜想”是没有灵魂的；因为“猜想”不蕴含思想，所以学生不会证明是自然的。

那么，如何才能使学生“会”呢？我认为，在理解余弦定理及其反映的数学思想方法的基础上，再设计自然的过程，就能水到渠成地使学生“会”。可以从两个角度看“自然的过程”：

从解三角形角度，就是“已知三角形的两边及其夹角，求三角形的其他边和角”，解决它的核心思想方法是将它转化为已解决的问题，如解直角三角形、利用正弦定理等。

从向量及其运算角度，就是“在△ABC中，已知向量的长”，解决它的基本思想是利用

，

的长和∠A，如何计算向量

和向量的数量积概念。由此可以发现余弦定理

是勾股定理的推广。

根据上述理解，可按如下思路设计教学过程：

思路1（1）明确问题——在△ABC中，已知AB=c，CA=b和∠A，求BC；（2）有哪些知识可用？——三角形内角和定理，勾股定理，锐角三角函数，正弦定理等；（3）能否将问题转化为已解决的问题？如何转化？

思路2 （1）明确问题——在△ABC中，已知

，

和∠A，求

；（2）有哪

些知识可用？——根据向量加法的三角形法则有，而，再由向量的数量积定义可得结果。

上述思路1反映了“解三角形”的需要，体现了“将新问题化归为旧问题”的思想，学生容易接受，但局限是仅在平面几何中转圈圈，只反映了余弦定理的一个小应用；思路2简单且视野开阔，是“用另一种眼光看问题”，蕴含着“作为相对量的线段”的思想，不仅可以“解三角形”，而且具有深远的发展空间。

回归基础

章建跃

我国数学教学有重视双基和能力培养的传统，这是我国数学教育保持优势的基石。然而，教育功利化所导致的短期行为，使人为技巧化难题和过分强调细枝末节的内容充斥课堂，数学教学=题型教学，教学远离双基，不仅使学生的创新精神和实践能力得不到培养，而且使双基优势逐步丧失。阅读“英国AQA数学A水平考试内容介绍”一文，这种感觉尤为强烈。从文中看到，作为英国大学招收新生的入学标准，考察的内容不仅涉及我们熟悉的初等数学内容（立几等除外），而且还有微积分(含微分方程)、概率统计、向量、矩阵等现代数学内容，知识面之广我们无法企及，大部分考题都是“基础题”，但“对部分知识的考察也有一定的难度”。比较“A水平考试”，反观我们的数学教育，确有危机感。

要改变现状，我认为提高对“基础”的认识是当务之急，先要解决“什么叫基础”“如何落实基础”等问题。

我们知道，“基，始也”，事物发展的起点叫“基”，没有它就是“无源之水”；“基，根本也”，事物的本源叫“基”，没有它就是“无本之木”；“基，基调也”，主要观点、基本思想就是“基调”，没有它会失去方向。中学数学的基础应是那些为学生终生发展奠基的初等数学核心部分，具体内容则需深入研究。当然，要有广与深的辩证统一，广而浅（蜻蜓点水、走马观

花）不行，窄而深（深度挖掘、层层拔高）也不行。但无论怎样，人为制造的繁题、特技等肯定不在此列。

那么，如何落实基础呢？相信大家都有这种感受：知识，教得简单、自然而有思想性，难；教得复杂、造作而形式化，易。解题，讲难题、讲技巧，易；精中求简、回归概念、循循善诱、引人入胜，难。为了教得准、精、简，需在如下几方面努力：

首先，教师“必须要对基础数学的本质和基本思想下一番深切的返璞归真的功夫”（项武义），并在使数学变得易学、好懂，使学生能懂、会用上下苦功，以切实减轻学生负担，真正提高教学质量和效果。

第二，应真正解决学习兴趣问题，如陈振宣先生在“数学教学公理刍议”中所述，通过有丰富数学内涵的情景，将数学定理、公式等的学习融入创造性解决问题中。

第三，提高“思想性”，使学生逐渐掌握数学研究的“基本套路”是当务之急。例如，“不等式基本性质”的教学，要在“数及其运算”的系统中，以“运算中的不变性、规律性就是性质”为基本思想，引导学生运用实数大小的基本事实和实数运算律，一以贯之地推导所有不等式的性质和其他不等式。

第四，解题教学要强调基本概念所反映的思想方法这一根本大法的应用，而不是“对题型、想技巧”。要让学生养成“回到概念去”思考和解决问题的习惯，“把一个比较复杂的问题，‘退’成最简单最原始的问题，把这个最简单最原始的问题想通了、想透了”，然后再归纳、综合而实现飞跃，“这是学好数学的一个诀窍”（华罗庚）。

数学教学应回归基础，在让学生认识数学“基本套路”的过程中，理解数学的基本思想、方法和精神，这样才是数学育人。

教师做教科研要“小中见大”

章建跃

随着高中课改的不断深入，数学教学改革中的各种深层次矛盾不断暴露，促使广大数学教师开展不同形式的教科研。教科研不仅使数学教学的质量和效益有了一定保证，而且使数学教师专业化发展有了坚实的平台。不过，困扰我们的问题是，怎样才能使教科研真正为教学服务？

本期沈金兴老师的“一次概率事件的测试对新课程概率教学的启示”一文，为一线教师结合自己的日常工作开展教科研做出了一定示范。从中可以看到，他所选的课题很具体、很“小”：为了了解学生对不确定现象的理解方式、概率学习的常见错误及原因，为有效进行概率教学提供依据，他借鉴已有研究中的成熟方法，以自己的学生为被试，通过测试收集数据，通过统计分析获得学生概率认知水平发展状况的描述，并以数据为支持，区分出学生的概率概念错误理解的类型，在此基础上提出有理有据的概率教学建议。由于概率是许多教师心里没底、深感棘手的内容，因而这一研究能实在地为概率教学提供指导——学生的概率学习困难有哪些，如何帮助学生理解相关概念，概率教学中应注意哪些问题等。所以，沈老师的研究是“小中见大”的。

一般而言，一线教师搞教科研，两种倾向要防止：

一是大而空。如有些老师以“全球化背景下的数学教育”“建构主义理论指导下的数学教学”“构建系统观念下的数学课堂”“新课程理念下的数学课堂教学模式”??为选题，我想这是很难产生有说服力、有用的成果的，因为这些题目理论性太强，不搞纯理论的人很难对它们形成直接感受，而教科研要在“心动”基础上的“行动”才有效。

二是局限于解题研究中的技巧堆砌。解题研究是一线教师教科研的重要选题，如果围绕“如何解题”、“怎样教会学生解题”等开展研究，通过实证和理论分析，深入讨论解题的功能（如解题与理解数学知识、培养思维能力等的关系）、成功解题的基本条件、解题的基本思维策略、解题的思维过程等，探讨通过科学、有序的解题训练而使学生形成良好的数学认知结构、发展数学能力并进而养成数学地看待和解决现实问题的习惯等的规律，那么研究对教学会有很强的正效

用。但许多教师却热衷于“解法一、解法二??”，沉浸在题型归类上，举的例子是“老面孔”（最近大家都用高考题），所用的“招数”也是“老套路”，这样的研究作用就有限了。

一线教师的长处在于“天天要上课”。只要做有心人，勤于记录教学中的点滴火花，并勤于思考其中的成败得失，积累一段时间后就能形成一定的想法，再进行归纳概括就有基础了，写出的文章也会有观点、见解了。我认为，一线教师只有真心诚意地热爱教科研，使之成为自己的生活常态甚至成为生活方式，专心致志地研究教学，在实践过程中随时随地思考、随时随地发现、随时随地实践、随时随地体验、随时随地领悟、随时随地反省、随时随地概括总结，才能使自己在教师专业化的道路上走得更快、更远。

教学中培养创造能力

章建跃

2009年10月11日，温总理以《教育大计，教师为本》为题，正式发表他教师节前去北京35中听课的点评和讲话。因为有对数学课的点评，自然引起我的格外兴趣。给我印象最深的点评是：“基础课必须给学生以清楚的概念”；“这堂数学课概念清楚、启发教育、教会工具、联系实际，说明我们数学的教学方法有很大的改进”。给我强烈震动的是他对我国教育问题的准确判断：“这些年甚至建国以来培养的人才尤其是杰出人才，确实不能满足国家的需要，还不能说在世界上占到应有的地位。”“中国培养的学生往往书本知识掌握得很好，但是实践能力和创造精神还比较缺乏??我们在过去相当长的一段时间里比较重视认知教育和应试的教学方法，而相对忽视对学生独立思考和创造能力的培养。”

温总理的讲话切中我国教育时弊，其实广大教师也“早就看到了这些问题”。作为“太阳底下最光辉的职业”的从业者，我们在解决这些问题时应做些什么？在无法回避的应试环境中，如何加强对学生独立思考和创造能力的培养？

南京师大附中“数学课堂研究性教和学实验”课题组的做法给我们很大启发。为了使研究性学习落到实处，他们提出“把研究性学习引入常态化的课堂教学”并开展探索。他们区分了研究性教学的类型，结合概念课、习题课、复习课等不同课型的特点，有针对性地开展研究性教学，培养了学生的探究创新能力和协作精神，使学生从模仿记忆学习逐渐向创造性学习发展，取得了较好成效。这表明，只要像温总理说的，“树立先进的教育理念，敢于冲破传统观念的束缚，在??教学内容、教育方法??等方面进行大胆地探索和改革”，在课堂上“创造自由的环境”，“做到学思的联系、知行的统一”，就能使学生学会学习，培养他们的创新思维。

受此启发，我想就概念教学中培养创造能力的问题谈点想法。

数学是基础学科；数学教育的目的是提高学生的数学素养，为学生的终生发展打好基础；数学学习的任务是掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，学会有条理地思考、有逻辑地表达，培育理性精神，学会用数学的眼光看、用数学的头脑想、用数学的手段做。这些都与“基础”紧密相关。基础课必须给学生以清楚的概念！教好概念是重中之重！

数学概念教学能培养学生的实践能力和创新精神吗？当然能！这是因为数学概念高度凝结着数学家的思维，是数学地认识事物的思想结晶，蕴含了最丰富的创新教育素材。数学是玩概念的，数学是用概念思维的，在概念学习中养成的思维方式方法迁移能力最强。所以数学概念教学的意义不仅在于使学生掌握“书本知识”，更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学认识世界的思想真谛，学会用概念思维，进而发展智力和培养能力。

数学教师，一介平民，没有权力和平台去决策国家大事。但你是教学的主导，课堂的一切“你说了算”，你的行为对学生有重大影响。因此，在基础知识教学中融入探究成分，讲逻辑推理之前先让学生进行归纳、类比、猜想等合情推理，把创新精神与实践能力的培养落实在课堂，这是想做就能做、用心能做好的。

国家兴亡，匹夫有责。温总理高度重视教育和对杰出人才的渴望深深地打动着我们，他对我国当前教育的忧虑极大地感染着我们。愿广大教师能与总理气息相通，把危机感化作教育创新的不竭动力，行动起来，为培养人才尤其是杰出人才作出贡献。

课堂教学的两个关键

章建跃

本期刊登了沈顺良老师的原文和我们对该文的修改，试图通过对比，一方面说明如何修改文章，提高写作水平（当然，修改后的文章也未必臻于完善），另一方面，更重要的是想利用修改后的文章说明保证课堂教学质量和效益的两个关键——“自然的过程”和“恰时恰点的问题”。

课堂教学中，“自然的过程”来源于数学知识发生发展过程和学生认知过程的融合，具体表现为对数学概念、原理的不断归纳和概括的过程。沈老师提供的教学案例，从课堂教学整体结构看，在“引入（哥德巴赫猜想）——理解（拼图与前n个正奇数的和）——应用（例题、练习）——小结”等各环节中，围绕“一种观察”，选择若干具体事例，安排了“语言转换”“变形”“不同角度观察”等活动，使学生经历了“突出共性”的过程，学习了观察的方法，这是好的。欠缺的是“过程”不精细，对学生思维的引导不够精确，数学上的实质性思考不到位。而这些不足正是源于对具体事例的数学本质和学生的认知过程的把握还不到位，由此而影响了本课的教学效果，真是“细节决定成败”。例如，“拼图游戏”的教学，因为对拼图的“过程”和“结果”（从数及其运算角度看）的数学含义挖掘不够，对学生在“形”转化为“数”中的困难估计不充分，致使教学出现如下问题：“拼图过程”的“从头至尾”的性质没有得到揭示；“一种观察”没有列出而使“共性”不够突出；“拼图结果”的解释不到位；将“拼图过程和结果”转化为“数及其运算的表示”不够自然；对归纳推理的难点分析太笼统；等。

我们认为，“问题引导学习”应当成为一条重要的教学原则，是改进教学方式的主要平台，而“恰时恰点的问题”则是提高教学质量的关键。“问题”既需要课前预设，也要强调课中生成。课前预设基于教师对数学知识发生发展过程的关键点及其学生理解困难的分析，预设的问题应当围绕当前内容的本质与核心，明确具体、易于理解；课中生成的问题主要源于学生对学习内容的理解偏差，靠教师的教学机智。例如，在对“拼图”的观察中，“观察得到什么？”的数学含义不够清楚，思维指向也不明确，而“观察到什么共性？”有明确的数学含义——共性，指出了观察的目标，有较好的思维导向；同样，例1中，“此问题中你能直接观察吗？”改成“根据上述经验，如何转化问题才有利于我们观察？”，其目的是引导学生回顾“几个事实——一种观察——归纳共性”的经验，从已知条件中转化出“几个事实”，通过观察“看出”它们的“共性”；等。

总之，“自然的过程”和“恰时恰点的问题”是提高课堂教学质量和效益的关键，同时也集中反映了教师的专业化水平，是提高教学能力的抓手，值得我们付出努力。

最后，应当说明，沈老师提出的通过突出“一种观察”而获得一类事物中“几个事实”的共同特征，进而归纳出该类事物的某一性质，抓住了“归纳推理”教学的核心，这是最难能可贵的。我们的“修改”也是在这样的思想指导下进行的再完善。

让学生学真正的数学

章建跃

我以《数学课要教数学》为题写了第6期的“编后絮语”，并认为，以伍鸿熙提出的数学的五个基本原则进行数学教学，是“数学课教数学”的基本要求。下面我想继续这一话题，谈谈如何让学生学真正的数学。

社会中，迅速的运算、高超的技巧已不值得炫耀了。如果还继续沉浸在双基扎实、解题能力强、考试成绩好的自我安慰中，那么结果只能是子子孙孙为别人打工，这绝不是危言耸听！

要把精力集中在核心知识的研究上

章建跃

本期有两篇讨论“零向量”问题的文章。从赵宏伟老师的参考文献中看到，许多老师对这个问题感兴趣。在我平时的调研中也常有老师问及于此。这些都说明“零向量与任一向量平行”“零向量与任一向量垂直”之类的规定，真的困惑了不少老师。对此，我有如下想法与大家交流。

首先，从向量代数的角度看，我们首先感兴趣的是非零向量，它们有好的运算—加法，并由此延伸出数乘向量。为了使它的逆运算（即减法）完满、不留空白，必须引进零向量。这是零向量的核心意义，就像实数集中的0在运算中的地位一样。由于零向量的位置特殊，数学家们约定“零向量的方向不确定”。这样，在处理具体问题时，让它与某一向量平行或垂直都可以。这是一种人为的、合乎习惯的并且方便于应用的规定，就像“0既不是正数，也不是负数”（其实也可以说成是“0既是正数，也是负数”）一样。

其次，向量有它的几何原型—有向线段，而且我们借助于几何图形，用“三角形法则”等定义它的运算，因此“向量集数与形于一身”。在研究了向量的运算及其规律后，回头再看向量运算及其结果的几何意义，就有了解决几何问题的向量法，而且向量法的力量无限。这种力量集中体现在它仅用“向量相加的‘首尾相接法则’”、“向量数乘的意义和运算律”、“向量数量积的意义和运算律”、“平面向量基本定理”等四条基本法则来解决几何问题。这些是中学向量教学应关注的核心问题。

第三，我们应把精力集中在核心的、更重要的内容上。例如：

如何理解函数概念？为什么课标提倡“从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念”？

如何帮助学生建立向量概念？为什么要强调向量的几何背景、物理背景？向量法的特色是什么？

如何与时俱进地理解任意角的三角函数？为什么要强调单位圆的作用？ 为什么说“等差数列是自然数列的变式”？

为什么说“统计的核心思想是归纳的思想”？统计教学为什么要强调让学生亲自动手收集数据？

为什么说“概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义”？为什么在古典概型之前不讲计数原理？

如何理解“瞬时变化率就是导数”？导数的思想及其内涵是什么？

当然，教师在自己深刻理解的基础上，还要将这种理解做出教学表达，其目的是要有利于学生的理解。例如，把“零向量的方向不确定”与“0的符号不确定”作类比，可以帮助学生体会零向量的“味道”。

这篇短文是我在绍兴讲课时写成的。突然有一个联想，对零向量的这种“考证”，是否与当年孔乙己对茴香豆的“茴”有多少种写法的考证一样呢？这个联想对考证零向量的老师确实是大不敬了，望海涵。但无论如何，费那么多的笔墨于零向量，确实不够大气。

注：本文涉及刊物内容详见张景中等《向量教学存在的问题及对策》，载《数学通报》2009年第9期。

要注重系统思维的培养

章建跃

数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维。

系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法??系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思维（见注）给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现。

中学数学中，数、式及其运算，方程与不等式，多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数，等差数列、等比数列，向量，平面几何、立体几何、解析几何，概率、统计，导数、积分等等，都是一个系统。每一个数学概念都可以看成一个小系统。

运用系统思维方式研究数学对象，以三角形为例，可以按如下过程展开：

第一步，定义“三角形”，明确它的构成要素，即三角形有三条边、三个角；

第二步，用符号表示三角形及其构成要素，并以要素为标准对三角形进行分类，即分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，或不等边三角形、等腰三角形；

第三步，研究基本性质，即研究要素之间的关系，得到“三角形两边之和大于第三边”，“三角形内角和等于180°”，“三角形内，大角对大边，等角对等边”等；

第四步，研究“相关要素及其关系”，如“三角形的外角等于不相邻两内角之和”，“三角形三条中线（高、角平分线）交于一点”等；

第五步，三角形的全等（反映空间的对称性，“相等”是重要的数学关系，也可以看成“确定一个三角形的条件”）；

第六步，特殊三角形的性质与判定（等腰三角形、直角三角形）； 第七步，三角形的变换（相似三角形）；

第八步，直角三角形的边角关系（锐角三角函数），解直角三角形。 上述过程在初中阶段完成，是对三角形这一系统本身的研究。高中阶段主要从三角形与向量、三角函数等相互联系、相互作用的角度展开研究，得到正弦定理、余弦定理等。

概括起来就是：

定义——表示——分类（以要素为标准）——性质（要素、相关要素的相互关系）——特例（性质和判定）——联系（应用）；

定性研究（平直性、对称性等）——定量研究（面积、勾股定理、相似等）。

值得指出的是，上述过程具有普适性，既适用于三角形的研究，也适用于其他数学对象的研究，因此体现了系统思维方式的结构性。数学实践活动中，只要紧紧抓住这一结构，再通过横向或纵向的类比与联系，引导学生去认识和把握具体数学对象的要素和功能的关系，就能使他们建立起研究数学对象的结构，并形成完整的认识。例如，在学习“数列”一章时，因为“数列是一种特殊的函数”，所以先要求学生概括函数的研究结构：

函数的定义——表示——图像与性质——应用——基本初等函数（重复“定义——表示——图像与性质——应用”的过程）

再引导学生类比得出数列的研究结构：

数列的定义——表示——性质——应用——特殊的数列（等差数列、等比数列）

教学过程中，由数列是“一列数”，可以引导学生类比“数及其运算”的研究，以“代数学的根源在于代数运算”为指导思想，从运算的角度去发现和提出问题、认识和解决问题。例如“等差数列”的要素是“作差”和“差相等”，前者是“运算”，后者是“结果”。因此引导学生从运算角度观察数列，是等差数列概念教学的关键。通项公式、前n项和公式以及各种性质的教学也如此。

总之，培养系统思维，是为了使学生养成全面思考问题的习惯，避免“见木不见林”，进而使他们在面对数学问题时，能把解题目标、实现目标的过程、解题过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样，“使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才”就能落在实处。

一定要十分重视策略性知识的教学

章建跃

本期我们刊登了“中小学数学核心内容及其教学的研究”课题组的一组研究成果。实事求是地说，这些成果还没有达到成熟的程度，但是非常值得期待的是，课题组在“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”研究基础上，进一步提出的“单元设计基础上的课堂教学设计”的研究思路，并将教学设计的研究内容扩展到中学数学教学的全部课型，特别是关于策略性知识的教学研究。

我国在世纪之交发动的中小学课程改革，基本诉求是实施素质教育，减轻学生负担，提高教学质量。然而，课改发展到今天，人们发现应试教育愈演愈烈，学生负担越来越重，教学质量却越来越差。这种现状，是我国社会功利化需求的体现，课程标准的不当设计也有不可推卸的责任（例如，数学的学科特性没有得到充分尊重，数学概念的逻辑体系不够重视，内容取舍有一定的随意性甚至凭某些人的个人喜好，逻辑推理和运算受到削弱等），但必须承认，我们的课堂教学确实出了问题。其中很要害的是数学课没有把数学教好，没有把“使学生学会思考”作为最核心的教学任务，大家把大量的时间和精力都用于“题型+技巧”的训练了。

数学教学中，为了使学生掌握认识和解决问题的方法，进而“学会思考”，策略性知识的教学必须受到高度重视。正如“第四次研讨会综述”指出的，策略性知识蕴含于数学知识体系中，在数学研究中具有“先行组织者”的作用，是研究具体问题的“指导思想”。策略性知识的教学应该融入在日常教学中。

如何才能更好地融入呢？除了课题组提供的一些教学设计案例外，我这里更愿意提及本期刊登的王承宣的短文“一道2012年高考题的背景探索”。我猜想，作者是一位警官，是一位数学爱好者（看来学数学对当好警察有用），从他的文章中我们看到了策略性知识的力量。我认为，王警官非常懂得“转化”、“特殊化”、“分类讨论”、“数形结合”等各种解决数学问题的策略，而其中最主要的是很好地应用了“从基本知识出发”的思考策略，也可以说是“复杂问题简单化”的策略。运用这一策略，在讨论清楚二次函数y=－x2+x+c的性质后，令人生畏的“高考压轴题”变成了手到擒来的“小菜一碟”，确实令人称道。因此，学好基础知识，并掌握一些基本的思考策略，应付高考就绰绰有余了。

我想，王警官不是教数学的，但他给我们这些教数学的人上了深刻的一课。我们在数学课上教给了学生大量的解题技巧，学生经过模仿性训练似乎也掌握了这些技巧，但在高考考场上，真刀真枪地练的时候，他们仍然是“不知从何下手”。什么原因呢？显然，主要是因为我们并没有教给学生如何思考！

与大师为伍

章建跃

新的一年又开始了，本刊2周岁了。

新年新气象，祝福新年的话从哪儿说起呢？我想套用林革老师文章的标题“培育‘会下金蛋的母鸡’的数学家”，愿大家成为“培育创新人才杰出人才的数学教育家”。如何才能顺利实现这一愿望呢？

还是从怀尔斯说起。少年怀尔斯已着迷于数学，这当然是他的天赋，只是能将天赋发挥到极致，最终解决费马大定理的却不多见。他说：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。”这就是E·T·贝尔写的《大问题》，这本书叙述了费马大定理的历史。怀尔斯看到这本书时的感觉是：“它看上去如此简单，但历史上所有大数学家都未能解决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题。从那个时刻起，我知道我永远不会放弃它。我必须解决它。”

怀尔斯被吸引住了，而且真的把它解决了。他说：“??再没有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如此少有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想??”。

怀尔斯的故事能给我们什么启发呢？“兴趣是最好的老师”“从小培养远大志向”等就不必说了，我们先看“做题目”。怀尔斯的童年回忆表明，他不仅喜欢做题目，而且还喜欢自己编新题目；不仅做课本上的题目，而且还去社区图书馆“找题目”。看来，引导学生自己编一些新题目（如课本题目的变式），特别是接触一些真正的数学问题，而不是埋头于高考模拟题的重复训练，确是培养创新人才的必由之路。

另外，从怀尔斯初次接触费马大定理的过程可见，他的学习并不局限于课本。因此，引导学生读书，特别是阅读大师们写的那些深入浅出、引人入胜的科普著作，是埋下“童年的梦想”的捷径。上世纪60年代初，北京市数学会组织华罗庚先生等一批国内著名数学家撰写的“数学小丛书”，仍是启迪数学思维的好教材。另外，项武义先生的《基础数学讲义》（人民教育出版社2004年4月版），也是一套把数学讲得“精简实用、平实近人和引人入胜”的经典之作，不仅学生可以读，老师也应该读。

令人扼腕叹惜的是，许多老师把太多的精力消耗在那些粗制滥造的教辅资料上，既无端牺牲了自己的幸福人生，也浪费了学生宝贵的青春年华。

阿贝尔说：“一个人要想在数学上有所进步，就必须向大师学习。”能受大师耳提面命的是凤毛麟角，阅读经典著作（对学生而言，经过千锤百炼的教科书也可列入其中）就是与大师气息相通的最佳途径。“经典”的精华在于它所构筑的“体系”及其使用的“方法”，阅读经典的最大好处是可以从中揣摩作者的心路历程，并在内心与大师对话。当然，只看表面文章而不潜心领悟“内容所反映的思想方法”，将无法理解大师心中的数学世界。

愿我们与大师为伍，启迪智慧、发展思维，参透数学育人的法门，在数学教育普度众生的慈航中，使自己成为虔诚的理性精神布道者。

章建跃：数学教学的取势、明道、优术

数学教学中的“取势、明道、优术”，意指教师要顺应数学教改的潮流;懂得数学育人的原则，掌握提高数学教学质量的规律;提高教育教学能力，优化数学教学方法．只有这样，才能使自己的教师专业化发展不断取得进步． 孙子云，“势者，因利而制权也．”这里，“势”是方向，“取势”则是“顺势而为”．善教数学者，首先要能“谋势而动，因势利导”．那么，数学教育发展的大势是什么?我认为，回归数学教育的本来面目，发挥数学的内在力量，实现数学育人的目标，这就是大势所趋．具体而言，就是要为学生的终生发展考虑，着眼于学生的长期利益，充分挖掘数学所蕴含的价值观资源，以培育学生的理性精神、发展学生的逻辑思维能力为核心，使学生在掌握数学知识、学会数学思考的过程中，成为善于认识问题、解决问题的人才．那种离开数学谈数学教育，把人文精神与理性精神对立起来，弱化“运算”“推理”“逻辑”“结构体系”等关键词的做法，是逆势而行，应彻底纠正．数学教改的一个永恒主题是“数学课如何教好数学”，这是一个没有最好只有更好的“循序渐进”厚积薄发的过程，不能投机取巧．试图走捷径，借助于社会转型期各种功利化需求造势，搞割断历史的“改革”，结果必然给数学教育带来不可挽回的损害． 再看“明道”．明即明白、懂得，道即规律、原则．明道者，明白原则、掌握规律也．老子说，“人法地，地法天，天法道，道法自然”．因此，凡“明道”者一定懂得按客观规律办事．“数学是自然的，数学是清楚的”，这也要求广大教师努力掌握数学的内在规律，并按这样的规律展开教学．数学教学首先要遵循“数学的道”，懂得数学研究的“基本套路”．例如，“代数学的根源在于代数运算，?代数学要研讨的就是如何有效、有系统地解决各种各样的代数问题”，“数学推广过程要使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立”，这样，为了使负数能开平方而引入符号“i”，要使i能与实数一起运算，还要满足已有的实数运算律；几何中的公理化思想，即从公理出发，按“定义——表示——分类——性质(判定)”的程序，通过逻辑推理获得几

何性质(如三角形内角和是1800)；解析几何中，[形到数]——[数的运算]——[数到形]的研究思想；等等．数学教学还要掌握“学生思维的道”，按学生的认知规律教学．例如，在学了等差数列后，从“运算”出发，通过类比，可以自然地提出“等比数列”的研究任务、过程和方法；同样的，基本初等函数、圆锥曲线、向量，?都可以按照这种“认知的规律”展开教学．一段时间以来，不注重数学的内在逻辑，为体现“新课程理念”，每课都“从现实出发构建问题情境”，在学生还没有独立思考时就安排“合作学习”、“交流互动”等等，都与“数学教学的明道”背道而驰．改革中，在“反对学科本位主义”的旗号下，试图从数学和数学教育的外部寻找答案，“废默百家，独尊建构主义”等，都不能给数学教改带来福音． 第三是“优术”．“术”的基本解释是方法、技艺，如技术、艺术、学术、战术、心术等，是知识、经验、技术、方法、手段等的集合体，也是解决问题的流程和策略．“术”是“明道”后转化而来的具体操作方法，是可以提高办事效果和效率的技巧．“优术”即提升方法、技艺的水平，积累实用的策略，总结经验并从中发现规律(经验之中有规律)等等．数学教学中，在引人课题、激发兴趣、问题引导、启发思考、有效训练、巩固提高等方面的研究与实践，变革教学方式、改进教学方法、提高教学水平等追求，以及信息技术与数学教学的整合等等，都是“优术”的体现．当前的主要问题是，将“术”局限于“解题技巧”，把教学过程演化成“一个定义，三项注意，几个例题，大量习题”的流程，缺乏“以道为魂”的追求，导致方法、技巧的僵化，“术”失去了变通性，使数学教学的效果、效率双低下．

最后，取势、明道、优术的关系是辩证的．取势务虚，明道求实，虚实结合，方可行事；道为术之魂，术为道之体，以道统术、以术得道才能相得益彰，道不明，术再优也难免功亏一签．取势，远见也；明道，真知也；优术，实效也．取势明道优术并重，则数学育人可如愿成功．

知识能力与素质

章建跃

本期刊登的杨林军老师《摸清问题精心组织务实备考》一文，对北京市组织的高三学生数学学习抽样测试情况做了全面分析。测试反映出高三学生数学学习中存在的问题，例如：在解决体现知识形成过程的问题上表现不佳；审题能力薄弱；不能顺利地进行数学的文字语言、符号语言和图形语言的互译；“通性通法”不落实，基本题丢分严重；代数运算能力较弱；书写不规范，数学语言表达的准确性较差；等。从我对高中数学教学的调研发现，这些问题带有普遍性、顽固性。

高考复习已进入冲刺阶段，如何在短暂的时间内迅速扭转局面，最大限度地提高学生的应试水平呢？我认为还是应该按照考试大纲的要求，根据“基础知识与能力并重”的原则，以“能力立意”为指导思想，复习中始终将知识、能力与素质融为一体通盘考虑，全面提升学生的数学素质。

为什么要知识、能力与素质融为一体通盘考虑呢？我们可以考察一下它们的关系。首先，数学知识与数学能力是“手心手背”的关系，数学能力决定了一个人掌握数学知识的速度与质量；数学知识则为数学能力奠定基础，“无知者无能”，没有数学知识就不可能有数学能力。认知心理学的研究表明，一个人不能“数学地”思考和解决问题的主要原因是缺乏必要的数学知识，“隔行如隔山”就是这个道理。数学概念形成的能力、思维和语言表达的能力要在数学知识学习中有意识地培养，正是由于已掌握的数学知识的广泛迁移，个体才能形成系统化、概括化的数学认知结构，从而形成数学能力。其次，数学知识和数学能力是数学素质的基本要素。数学素质诉诸于实践就表现为数学能力，离开数学能力，数学素质就无从表现、观察、确证和把握。再次，在数学活动中体现的数学素质对数学知识有极大的依赖关系，数学知识在人的整体素质中也居于不可替代的基础地位。个体数学素质的高低，取决于他占有的数学知识的广度与深度，正是在数学知识的学习和使用中，学生才建构了自己的数学认知结构及数学地思考和行为的习惯。总之，从逻

某些特殊问题的研究，例如虚数单位i的性质、复数的“三角形不等式”、棣莫弗公式、单位根ω的性质等等。

上述过程体现了数学发生发展的一个“基本套路”，具有普遍意义。显然，每面对一个数学新对象，如果都能引导学生按“背景—定义—表示—分类—（代数）运算、（几何）性质—联系”的线索展开学习，那么经过长期熏陶，前述数学教育的根本目标就能得到真正落实。

我认为，如果教学中真正体现了数学的逻辑连贯性和思想方法的前后一致性，那么数学将是最好学的课程。遗憾的是，当前教学中，由于缺乏对数学整体性的应有关注，教学内容被人为割裂，局限于一招一式的“解题术”，导致教学过程不自然、学习过程不连续，数学也便成了大量学生费时费力最多却收效甚微的拦路虎。数学教师对此应有高度警觉！

数学思想方法的力量

章建跃

什么叫数学思想方法？它有什么作用？数学家和数学教育工作者对此有诸多论述。通常，大家从“数学思想”和“数学方法”两个角度来阐释，认为数学思想是对数学对象的本质认识，是认识具体数学概念、命题、规律、方法等的过程中提炼概括的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数学活动的指导思想；数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等，是由思想转化而来的具体操作方法，可以提高效果和效率。数学思想和数学方法是紧密联系的。通常，在强调数学活动的指导思想时称数学思想，在强调具体操作过程时则称数学方法。

我们说，数学思想方法如根，它是发现和提出数学问题的源泉，是分析和解决数学问题的根本。没有数学思想方法的教学，就如同一颗枯萎的树，不能生长、开花，更不能结果。例如，大家都知道等式、不等式的基本性质“是什么”，但为什么把它们称为“基本性质”？为什么要研究它们？特别是，如何才能让学生自己发现这些性质？课堂观察发现，很少有老师把这些纳入教学视野，实际上也鲜有老师去思考这些问题。因此教学中一般都把“能用基本性质解决问题”作为目标。我认为，这样的教学缺乏必要的数学思想，是“无根”的教学，学生学到的是没有生长力的知识，“学会思考”更是奢望。实际上，代数学的根源在于代数运算，要研讨的是如何有效、有系统地解决各种各样的代数问题；引进一种新的数（量）就要定义它的运算，定义一种运算就要研究运算律；字母代表数，数满足运算律，所以关于字母的运算也满足运算律；等等。这些就是数学教学中用来指导学生发现和解决代数问题的基本思想。它们是宏观的，但发挥着指路明灯的作用。例如，对字母施加运算，就要研究运算法则；由运算而得到各种代数式，就要进一步研究代数式的运算；运算结果必须保持原有代数式的意义不变，因此就要研究如何保证代数变换的等价性，而等式或不等式的基本性质保证了“运算中的不变性”。所以，称它们为“基本性质”当之无愧，它们根源于运算，体现了运算中的不变性。总之，代数教学中，应让学生体会到，从运算的角度入手，是发现和提出各种代数问题的“基本套路”。

我们说，数学思想方法如手，它是解决问题的直接工具。例如，等差数列、等比数列教学中，首先是如何引导学生发现一列数具有“等差”或“等比”的特征。通常是，举出一些数列的例子，然后问“观察上述数列，你有什么发现？”如果没有“代数学的问题源于代数运算”的思想，就缺乏观察的角度和操作的手段，“发现规律”就成了“撞大运”。而具备这样的思想，学生就能自觉地想到，“算一算，看看能出现什么规律”，由此而得到它们的共同特征就成为必然。实际上，这两类数列的名称就已指明了观察的方向：“等差”意味着“相减”（运算）——“差相等”；“等比”意味着“相除”（运算）——“比相等”。

我们说，数学思想方法如船，在没有解决问题的直接方法时，它可以助你“渡过难关”。例如，复数源于解方程，数学史上，在《重要的艺术》（1545）中，Cardan解决了“把10分为两部分，使其乘积为40”的问题，列出的方程为x(10－x)=40，求得的根是5±

。人们质疑，

负数怎能开平方？是“虚构的数”。想要接受它的人就想给出几何解释，让大家实实在在

地“看到”它，达到“虚数不虚”的目的。三个世纪后，高斯等人给出了“复平面”，给出了复数及其运算的几何意义，再加上在物理学中得到应用，人们终于承认了复数。进一步地，数学家把复数与三角、向量等联系起来，开辟了一片充满生机的数学新天地。显然，“用图形表示复数”的思想，不仅使“虚数”渡过了“虚假”的危机，而且推动了数学的发展。

数学思想方法的力量无限，它蕴含于数学知识中，需要用心挖掘，应成为数学教与学的根、手和船。

如何培养学生提问的能力

章建跃

众所周知，问题意识、提问能力很重要，这是创新的基础。教育的根本目的就是让学生学会提问，使他们成为善于发现和提出问题、分析和解决问题的人才。然而，大量观察发现，培养学生的问题意识、提高学生的提问能力在我国的数学课堂教学中仍然缺乏力度。许多老师都非常想在课堂中培养学生提出问题的能力，但就是不知道该怎么做。学者们在谈到如何培养学生提问能力时，大多是“营造轻松和谐的氛围，使学生敢问”“创设恰当的问题情境，使学生想问”“教给学生提问的方法，使学生善问”等放之四海而皆准的大道理，可操作性不大。

到底该怎么做呢？

我认为，答案还是在数学的内部，特别是要从数学知识所蕴含的思想方法中寻找灵感。这才是根本性的。

例如，本期刊登的“让‘单位圆定义法’发挥更大的教学效益——再谈三角函数定义起始课的教学”一文，作者向学生提出的核心学习任务是：

在单位圆上，探究质点从点A(1，0)出发，匀速运动到单位圆上任意位置P(x，y)时，相关变量有哪些？哪些变量间可以构成函数关系？

这是一个带有“本源性”的问题。我想，提出这个问题，至少涉及对三角函数的如下认识：第一，“正弦函数、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数”，它们的基本性质“乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接反映”；第二，“三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现”，“单位圆定义法”简单、本质而且不失一般性；第三，分析清楚单位圆上的点在匀速圆周运动中涉及的变量及其相互关系，是认识三角函数定义的基础；第四，理解三角函数的定义需要以扎实的函数概念为基础（满足“任意给定一个实数α，在单位圆上有唯一的一个点（x，y）与之对应”）；等等。事实上，从“建立函数模型，解决实际问题”出发，这里的根本问题是：决定单位圆上点的匀速圆周运动的要素有哪些？它们之间的相互关系是什么？

上述过程中，问题还是由教师提出的。如何才能让学生自然地提出问题呢？

我认为，提问，有不同的层次。有凭一时兴趣的“即兴提问”，完全不懂，瞎问；有具备一定的知识基础，从知识的发生发展过程中自然而然地提出问题；更进一步地，在对一个问题深入思考后产生困惑而提出的问题。有含金量的问题，需要有一般的观念来引领，有一定的数学思想作指导，有一定的思维策略作支撑。例如，如果学生知道，“代数学的根源在于代数运算”，那么当他们面对一个代数对象时，就会考虑“如何有效、有系统地进行代数运算”、“运算中有什么规律性”等，这样，学生自主发现一些代数性质、公式等就成为可能。又如，在“几何对象的要素、相关要素之间确定的关系就是性质”的指引下，学生就能很容易地提出长方体性质的猜想（6个面、12条棱、面对角线、体对角线等之间的相互关系）；在“某种位置关系下的两个几何事物（如直线与平面垂直），与其他几何事物（如直线、平面）之间确定的位置关系就是性质”的引导下，他们也能容易地想到，在直线a⊥平面α的前提下：（1）如果b⊥α，那么b∥a；（2）如果b∥α，那么b⊥a；（3）如果b⊥a，那么b∥α；（4）如果b∥a，那么b⊥α；（5）如果β

⊥a，那么α∥β；（6）如果β⊥α，那么a∥β；（7）如果β∥a，那么β⊥α；（8）如果β∥α，那么β⊥a；等等。

总之，数学的特点之一是逻辑的严谨性，它的概念、原理、法则、公式、性质等的提出，都有数学的内在逻辑必然性。以数学知识发生发展过程的内在逻辑为基础，在一定的宏观思想指导下，经过深思熟虑，学生就一定能提出有意义的、高质量的好问题。

注重“基本套路”才是好数学教学

章建跃

关于“好数学教学”，我们已经连续讨论了好几期了。我想不厌其烦地强调“好数学教学”的根本标准是“数学育人”，也就是要在学生的终身发展上产生最大的长期利益。由数学的学科性质所决定，这种“利益”首先体现在学生通过数学学习而发展了逻辑思维能力，并学会了思考，也就是掌握了研究问题的“基本套路”。

什么叫研究问题的“基本套路”呢？熟悉人教A版教科书的老师一定对下面的逻辑图印象深刻：

这就是“基本套路”。如果在教学中，一有机会就引导学生以这个逻辑图为指导展开思考活动，那么经过长期熏陶，就能使学生在潜移默化中养成一种思考习惯。最终，当他们独立面对一个新的研究对象时，就不会感到无从下手，那种“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”的现象也就能杜绝了。更重要的是，“基本套路”是培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力的落脚点。

高中数学中，“基本套路”的教学载体比比皆是。例如，从tan(α＋β)=

出发：

令β＝α（特殊化），有tan2α=；令β＝π（特殊化），有tan(π＋α)=tan α（诱导公式）；

更特殊地，令α＋β＝，有tan α＋tan β＋tan αtan β＝1??我们可以通过“特殊化”而“制造”

出形形色色的三角恒等式，如：已知α＋β＝，求证tan α＋tan β＋tan αtan β＝。当然，

还可以通过“推广”来“制造”，如将“二元”推广到“三元”，有tan(α+β+γ)=

；再令α+β+γ=kπ（k∈Z）（特殊化），又有

tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ；或令α+β+γ=而得tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1；当然还可以推广

到“n元”。

通过这个例子我们可以看到：第一，如果学生掌握了“基本套路”，那么他们自己也能“创造”出许多数学题目来，这样的学习既可以让学生学会思考，也可以让他们学得更主动、更有趣；第二，课标减少三角恒等变换内容和课时、降低变形的难度是非常正确的，在三角恒等变换上花费过多的时间和精力，让学生做一些与数学核心概念关系不大且人为制造的繁难变形，意义不大，的确有浪费学生时间的嫌疑，甚至是一种“与学生过不去”的行为；第三，在三角恒等变换中注重“基本套路”的教学，就是落实课标“引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。鼓励学生独立探索和讨论交流，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒等变换的基本训练”的教学建议，就是发挥了它的教学价值。

十年苦修 一朝得道

章建跃

又到一年收获时。2012年高考将至，人们都希望老师在最后时刻能点石成金，给学生灵丹妙药，让他们成为得分高手。那么，怎样才能使学生具备“得分高手”所应有的化解各种难题的功力呢？我想从数学教学的眼前利益和长期利益两个角度谈谈认识。

显然，就眼前利益而言，数学是考生入大学之门最重要的“敲门砖”，所以数学必须得高分。高考是选拔性考试，试卷中必有学生不熟练乃至陌生的题目，解答这些题目，要靠平时积累的经验，以及从中悟出的解题之道。然而，对“解题之道”的追求，却有两种截然不同的做法：一种是急功近利，让学生在高中入学第一天就“瞄准高考”，日复一日地施以“题型+技巧”的机械训练，结果是因为过分执着于分数，反而使学生“身行道而心不随”，最终心愿难遂；另一种做法，正所谓“十年苦修，一朝得道”，以平常心对待，以“山涧流水不争先”的心态，恪守“行乎当行，止乎当止，任其自然”的教学之道，在“非教非授”之间，营造“感之悟之”的学习环境，使学生“身心皆行道”，最终掌握破解高考难题之法门而取得高分。

然而，即使是上述第二种做法，也只能算是“小乘数学教学”。“大乘数学教学”不仅关注眼前利益，更是着眼于学生的长期利益，而且使眼前利益成为长期利益的一个“驿站”。

我们曾经提出，数学教学的长期利益是“使学生学会做人做事”，“做人”就是有理性精神，“做事”就是会数学地思考。显然，靠目前课堂中用于训练学生的题目是无法实现长期利益的。那么在数学课上到底该让学生学哪些知识，养成怎样的数学精神呢？下面试用丘成桐在公众报告《几何学赏析》中讲述的“几何起源：毕达哥拉斯—柏拉图—欧几里得—傅里叶”说明之：

公元前一世纪，希腊哲学家泰勒斯提出，要创造一个演绎的方法，利用逻辑的思想来统一自然界与几何的现象。这是一个突变，以前哪个国家的文化都没有这种想法。他的学生毕达哥拉斯采取了定理证明的概念，毕达哥拉斯学派认为宇宙的实体有两个：一个是数字，万物皆数，数的存在是有限方面的实体；一个是无限的空间，空间的存在是无限方面的实体。数字跟空间结合而生出宇宙万象。

柏拉图是哲学家也是数学家，他提出了尺规作图三大难题：三等分角、化圆为方、倍立方体，它们直到19世纪伽罗瓦理论出现后才得到完满解决。数学家们发现，这些问题与用尺规构造的数字有密切关系，这些数字必须满足一些以整数为系数的多项式方程，而尺规构造出的数字并不能满足这些方程，因此它们不能用尺规作图来解决。柏拉图提出三个问题只是出于好奇，可解决它们的方法却影响到近代数学与近代科学的发展，伽罗瓦群论成为20世纪、21世纪最重要的理论之一。

欧几里得是柏拉图之后集几何学之大成者。他用柏拉图的学生亚里斯多德发明的三段论，从五条公理出发推导出平面几何的所有定理，开千古科学演绎法之先河，对牛顿力学体系产生了直

接影响。因为人们不太愿意接受平行公理，所以试图用其他四条公理证明之。结果，这一企图没有实现，但导致算术几何的诞生。可以说，平行公理最重要的是影响到算术几何的诞生。

算术几何以后，通过高斯与黎曼，对空间的观念开始完全改变，空间不再是欧氏空间那样简单，而是能变动、能影响日常所见的物理现象的空间。19世纪伟大的法国数学家傅里叶说，数学可以用来决定最一般的规律，同时也可以量度时间、空间、温度，所以数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定。

从上所述可见，逻辑的思想、演绎的方法、数与空间结合而生出宇宙万象的观念、解决尺规作图三大难题过程中体现的抽象思想、欧几里得公理化思想与体系及其体现的以简驭繁观念??这些才是真正的数学之道，它们与学生的长期利益关系更密切。

那么，在你的课堂中，这些体现数学之道的内容出现过多少呢？

教学设计与好数学教学

章建跃

本期刊登了“中小学数学课程核心内容及其教学的研究”课题的一组研究成果，这是“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”研究的继续。这组文章表明，课题组的研究已从概念教学设计发展为针对不同数学学习类型的教学设计。作为课题的组织者，我想就教学设计与好数学教学之间的关系谈点认识。

人们常说，“教学是科学也是艺术”。教学的科学属性表明教学存在着一些普适性规律，是否能自觉运用这些规律，是判断一名教师是否合格的基本标准；同时，按这些规律设计和实施教学，就为教学质量提供了基本保证。因此，是否体现了科学性，就成为判断好数学教学的一个基本标准。

教学的艺术属性说明教学需要丰富的情感、想象力、感染力、高超的技能和“临场发挥”的能力，需要有洞察课堂“生成”的“教学机智”，要能“随机应变”。高超的教学艺术可使学生学得更有激情、更有创造性。艺术讲究个性、特色，是长期经验积累的结晶，因此教学艺术是不断观摩、模仿、领悟并融会贯通而成的教学风格。有个性，有激情，有想象力，能随机应变、因势利导等等，都是从“艺术性”角度判断好数学教学的基本标准。

综上所述，好数学教学是“预设”与“生成”的辩证统一。教学设计是“预设”，应注重科学性；课堂实施是“生成”，要发挥艺术性。

那么，如何才能在教学设计中体现好科学性呢？我认为如下几点值得重点考虑：

第一，明确目的。数学教学是有目的、有计划、有组织地进行的一种传承已有数学知识的活动，因此教学设计应以帮助学生学习、促进学生完成学习任务为目的，要“为学而设”：预设学生的问题、体验、感悟、答案、错误、疑惑 ??。

第二，理清任务。教学设计的任务就是回答如下问题：学生要去的“目的地”在哪里？采取怎样的方式、方法，组织哪些活动把学生带到“目的地”？学生已经到达“目的地”了吗？

第三，在“理解数学”的基础上设置教学目标。学生在数学课程中获得的发展以“学会数学”为前提，因此“数学课要教数学”，而“教数学”的含义就是以知识教学为载体，把知识中反映的数学思想、方法教给学生，并用知识中蕴含的价值观资源熏陶学生。

第四，在区分学习类型的基础上确定教学类型。认知心理学细致区分了学习类型（如加涅的学习结果分类，奥苏伯尔的同化理论），而且认为不同学习类型的性质、过程和条件各不相同，所对应的教学类型也不相同。因此，准确区分学习类型并进而确定教学类型，是科学地进行教学设计的必要条件。

第五，在任务分析的基础上确定教学过程和教学方法。教学设计中的任务分析包括（见注）①通过对教材和学生分析，确定单元或课时教学目标；②对教学目标中的学习结果进行分类；③根据学习条件分析揭示实现教学目标所需要的先行条件，即使能目标及其顺序关系；④确定与教学目标有关的学生起点状态。根据任务分析所揭示的学习类型和条件，才能恰当地确定教学步骤和方法。

第六，根据教学目标和学习任务分析编制检测工具。要根据教学目标设计课时检测题以检测课堂教学效果；要根据任务分析中揭示的子目标，精心设计提问、练习等，检测学习情况，诊断学生困难，发现教学问题，为改进教学提供依据。

总之，有好的教学设计才有好的数学教学。在教育心理学理论指导下，把“活”做精细，是搞好教学设计的必由之路。

让学生解好题

章建跃

学数学离不开解题。通过解题，学生可以加深概念的理解，深化对概念联系性的认识，优化数学认知结构，训练数学思维，提高分析和解决问题的能力。然而，所有这些解题目标都必须建立在“解好题”的基础上！

本期开篇，我们在“研究性学习”栏目一字未改地刊登了两位高一学生曹越琦、刘志宇的文章。之所以强调“一字未改”，是想让大家感受一下优秀学生的研究能力、文字表达能力。实事求是地讲，每期的投稿中，大量文章是不如两位同学的，虽然他们的文章可能是个案，但我想借此说明，我们老师应树立正确的学生观，特别是要对学生的学习能力有充分的信任。

这篇文章忠实地记录了他们花费四个月研究“简单多面体表面积与体积之间关系”的心路历程，从研究问题的确定，得到初步结论后的推广，推广中遇到的困难和挫折，再到反思和重新确定问题，概括出“生长”的定义，并进而抽象出一个具有普遍意义的问题，直至得出一个一般性结论，这确实是一个完整的研究过程。从中我们看到了两位同学在学习任务繁重下的坚持，面对曲折不气馁而勇于克服困难的勇气，更让我们看到他们如何逐步改进思路，经过不断抽象，概括出一个简单但有研究价值的问题，并用高中数学课程中不涉及的微积分知识加以解决，他们的独立思考、自主学习和创新精神历历在目。总之，尽管还不能断言他们得到的结论是否有用，但可以肯定的是，在此过程中，他们的发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力一定得到了锻炼和提高。可以相信，这样的研究经历不仅有利于他们领悟数学研究的真谛，掌握数学学习规律，学会独立思考，更轻松地学会课本中的数学知识，而且也有利于他们解题能力的提高，从而取得更加优异的数学成绩。

再看虞涛老师的“不妨这样认识双曲线”。虞老师围绕“渐近线”这一双曲线特有的属性，为我们构建了一个研究双曲线问题的框架。应当说，“从另一个角度看问题”是数学研究的“基本套路”，对于深入认识有关数学问题很有好处，同时也是培养学生的数学思维品质，提高他们的数学能力的有效方法，因而也是使学生学会学习的重要手段。不过，如果从“自然的，水到渠成的”要求出发，像前面两位同学那样，在过程中不断提出问题、改进问题并最终明确问题，逐步达到“返璞归真，至精至简”，不断完善研究方法，并精益求精地得出结论，那么我们还需要在虞老师构建的研究框架下，进一步地思考如何提出问题。例如，为什么要定义“有向距离”（就像为什么要定义“生长”概念一样）？为什么要在给“定义”之前先证明“命题1”和“命题2”？“研究框架”是如何构建出来的？为什么说“推导出双曲线的一般方程”就使知识具有系统性和完整性了？这里的“推理1，2，3”为什么不叫“推论”？该怎样证明（只用“由命题1和2及其证明可以得到”是不够的）？第三部分“研究有关的曲线与方程”，为什么要研究这些曲线与方程？它们具有典型性和丰富性吗？第四部分的“不妨思考”是怎样想到的？??总之，其中还有许多需要填补的“空当”，而这些“空当”可能是更具“思维的教学”价值的！

总之，从数学角度衡量，“好题”应具有以下“品质”：与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系性，解题方法自然、多样，具有自我生长的能力等；从培养思维能力的角度，则应有：问题是自然的，对学生的智力有适度的挑战性，题意明确、不纠缠于细枝末节，表述形式简洁、流畅、好懂等。

与学生认知基础相适应的教学才是好数学教学

章建跃

教学必须与学生的认知基础相适应。这是常识，相信没人对此有异议。但问题是，“学生的认知基础”的含义到底是什么？如果教师对此没有基本把握，那么十有八九会发生课堂教学行为失当。我们先来看大量课堂中都会出现的情景：

在“对数函数及其性质”的教学中，老师一般会让学生做类似如下的题目：

（1）已知函数（2）已知函数

的定义域为R，求实数a的取值范围； 的值域为R，求实数a的取值范围。

学生会模仿性地做第（1）题，而对第（2）题却很困惑，甚至觉得与第（1）题是一样的。这时，老师就会说，这个题目涉及复合函数，应该这样解：令u=x2+2x+a，则y=log2u。要使函数的值域为R，则u=x2+2x+a要取尽所有的正实数，所以u=x2+2x+a的图像与x轴必须要有交点，即Δ=4－4a≥0，解得a≤0。

效果如何呢？调查发现，大部分学生都心存疑惑：“如果有交点，u就会取到0和负数，但对数的真数不能取0和负数呀！”

面对学生的疑问，许多老师感到困惑：这个题目涉及的知识点学生都是学过的，解题过程也很简单，怎么就理解不了呢？产生这种已获得原因正是因为对“学生的认知基础”把握不准。

从认知心理学的观点看，“认知基础”主要是指已有的知识经验和反映知识经验组织质量的认知结构。也就是说，除“知识点”外，还包括“知识点”的组织质量，如理解的准确性、相关知识之间联系的丰富性和联系通道的顺畅性等。这样，在解题教学中，到底应该让学生解怎样的题目，就不能仅仅考虑是否学过“知识点”，还要考虑学生对知识理解的准确性，以及是否与相关知识建立了丰富而顺畅的联系。而要达到“准确”、“联系丰富、顺畅”，则需要大量时间和循序渐进的训练。特别地，解综合题，除需要对相关数学知识及其蕴含的思想方法的准确理解，更重要的是数学能力的准备，这是“软实力”，需要长期训练，不是学过知识点就可以游刃有余的。

回过头来看第（2）题。解决本题，知识点的准备：熟练掌握二次函数、对数函数的性质；复合函数的知识（主要是对于y=f(g(x))，u=g(x)的值域与y=f(u)的定义域的关系）；常用逻辑用语中的有关知识（实际上，Δ=4－4a≥0是一个充分而不必要条件）；等等。数学能力方面：具备处理复合函数的一般方法——弄清复合过程，实现问题转化；有处理“含有参变量问题”、充分利用中间变量“上传下达”的丰富经验；掌握数形结合思想，善于利用图形辅助以弄清其间的逻辑关系；等等。显然，对刚入学不久的高一学生，这样的认知基础是不具备的。让学生解这样的题目，就如同要求一个刚刚蹒跚学步的孩子快速奔跑一样的荒唐。

需要指出的是，让学生解超出自己认知基础、不在思维最近发展区内的题目，既是教师“理解学生”的水平不高，也是教师不自信，甚至是不负责任。这样的教学，其结果会让学生产生“我不是学数学的料”的错觉，使他们失去学数学的快乐，丧失自信心，最终害怕数学甚至恨数学。这样的题目，即使讲解清楚、到位，学生也知道了这道题的解法，但不太可能实现“举一反三”，所以教师只能通过讲解大量“题型”，并让学生进行机械重复模仿以掌握解答各种题型的“技巧”，由此自然会使学习负担越来越重。

总之，我们必须牢记，只有真正地从学生的认知基础出发进行教学，使题目处于学生思维最近发展区内，让学生能“跳一跳够得着”，这样的解题教学才会有效。

顺便一提，第（2）题是典型的人为制造的题目，不仅为难学生，其实也是老师自讨苦吃！

数学教学要“准”“精”“简”

章建跃

第三期的选稿、审稿终于完成时，长长地舒了一口气。由于本刊尚属初创，稿源不足，除了部分约稿外，其余的稿件选择余地不大，因此有的既定栏目只能“留空”，而“课堂教学研究”等栏目的稿件又稍嫌多了。这样的“不平衡”希望能在广大读者的关注下很快得到改观。另外，时逢春节，本期排版、编校方面也由于人手不够等原因而肯定存在瑕疵。就像一个婴儿蹒跚学步一样，本刊在初创阶段出现的不足，希望得到读者的谅解。

因为本期关于课堂教学研究的文章多了，所以对这方面的问题谈点个人想法。数学教学研究，如何提高课堂教学质量和效益始终是核心问题。在“大众教育”的前提下，大面积提高数学教学质量更是关键。为此，数年前，本人曾提出提高课堂教学质量的“三、二、一”：

?三个理解——理解数学、理解学生、理解教学； ?两个关键——提好的问题、设计自然的过程； ?一个核心——概括。

其依据是本人长期、大量的数学课堂观察。从数学教师的专业化角度看，导致教学质量不高的因素主要有：首要的是教师自己的数学理解不到位，导致教得不“准”——或者是没有围绕概念的核心，或者教错了；由此产生的连带问题是教得不“精”——让学生在知识的外围重复训练，耗费学生大量时间、精力却达不到对知识的深入理解，教得不“简”——在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化了；第三，违反学生的认知规律，典型做法是：基础知识教学搞“一个定义，三项注意”，学生没有经历知识发生发展过程的机会，没有经过自己独立思考而概括出概念和原理的机会，解题教学搞“一步到位”，在学生没有必须的认知准备时就要他们做高难度的题目。最近的调研发现，这些问题有越来越严重的趋势。

总之，提高课堂教学质量，任重道远。希望广大数学教师能贡献自己的智慧，把自己实践中的经验教训总结出来，以有说服力的案例方式参与讨论。

关注学生的感受最重要

章建跃

大家都认同“关注学生的感受最重要”这一命题，因为学习终究是学生自己的事情。课堂教学中，如果我们的教学不能打动学生，学生对我们的讲解无动于衷，那么他们就不可能有心领神会的心灵共鸣，我们讲得再精彩也只能是无功而返。所以，时刻观察学生的一举一动、表情神态，采取一定措施了解他们对新知识的理解程度，并根据他们的表现及时调整教学进程，就成为考察教师专业化发展水平的指标之一。那么，怎样才能有效地得到学生学习状况的信息，从而准确把握学生的感受呢？

本期刊登的“‘古典概型’教学应该侧重什么”和“一例程序框图的教学思考”两文给我很多启发。从他们的文章中可以看到，教师准确理解概念并作出教学解读，教学过程中认真观察和忠实记录学生的反应——特别是出现理解偏差的地方，课后做好教学反思（必要时对学生做针对性访谈），是准确把握学生学习感受的三个重要环节。

强调教师对概念的理解和教学解读，是因为教师可以从这一过程中大致了解学生的概念理解心路历程，从中获得把握学生学习感受的启发。事实上，概念的教学解读必须关注到学生的感受，这样才能使教学预设成为教学实践的有效线索。例如，学习“古典概型”，重要的是理解它的两个特征。在解释“标准化考试中，为什么多选题比单选题更难猜对”时，学生有两种回答：因为选项不确定，可能选两个，也可能选三个，选错一个就错了；基本事件的总数多了，选错的可能性就大了。这种回答隐藏着什么问题呢？学生是在用古典概型的特征作判断吗？我认为，教师能否关注到这些，取决于他自己对这一问题的理解深度。如果理解不到位，那么他就不会意识到强调“假定考生不会做”和“选择其中任何一个答案的可能性相等”的重要性，这必然会给古典概型的教学埋下隐患。

对学生的概念理解偏差作忠实记录，其意义在于为教学反思提供依据，这一点不用多说。这里着重说说课后反思问题。对学生学习感受的分析应当成为反思的重点之一。例如，在阅读“判

断整数（大于2）是否为质数”的程序框图时，鲁老师他们发现，学生对判断框中的“或

”后的走向有疑惑：“”成立后怎么还问“

或

”是一个式子成立还是两个都成立呢？“

或

”是否成立？经过分析，他们不仅找到了原因，而且形成了化解

的方法：先为学生架一座“桥”——将“自然语言”直接翻译成用文字语言描述的“程序框图”，

再在后续的学习中逐步完善。反思后的教学设计充分关注了学生的感受，教学的效益一定会大大提升。

“关注学生的感受”，其本质是“学生是主体”的学生观在教师教学行为上的反映。观念变为行动的过程，实质是教学行为习惯养成的过程，常常需要我们的终身努力。

闻思修 得智慧

章建跃

本期我们集中刊登了关于高中数学课标教材必修模块的一组实验经验交流文章。薛红霞、张曜光、李学军、李昌官、吴明华都是一线教研员，其他都是一线教师，他们是本次课改的亲历亲为者，可说是尝遍课改的酸甜苦辣，因而对课改是最有发言权的，因此这组文章可以算得上是“闻思修”而得的智慧成果。

众所周知，本次课改是为了适应我国社会发展新需要，以提高教育质量为核心，全面推进素质教育，切实减轻学生负担，努力提高青少年思想道德、科学文化和健康素质，着力培养青少年的社会责任感、创新精神和实践能力，因此其大方向是完全正确的。但是，由于种种原因，课改实施过程中存在许多不尽如人意的地方。一段时间以来，急功近利倾向甚至把课改引入歧途，严重损害了课改的声誉。对此，有各种不同的态度。怨天尤人者有之，我行我素者有之，盲目跟风者有之。而大多数老师则是理性思考、谨慎行动，薛红霞等老师的文章就是例证。

教育改革不以人的意志为转移。客观地说，当前我国数学教学确实存在许多需要改进的地方，其中特别突出的是数学教学缺少亲和力，问题意识淡薄，重结果轻过程，讲逻辑不讲思想，重题型、技巧轻通性通法引导。因此，需要广大数学教育工作者“闻思修”以获得走向课改成功的智慧，使改革的成果惠及学生，达到学得轻松、愉快而成效显著。

由于思维惯性所致，人们面对新事物的第一反应是排斥。然而明智的做法是静心听闻，而且要善听、会听，听到“无声之声”。所谓兼听则明，这样才能了解改革的真实意图，才能“闻所成慧”。

在深入了解改革意图后，还要“三思而后行”。因为改革的理想要变成现实，必须结合现实，需要我们根据当地教育发展的水平、教师自身状况、生源情况等进行周密思考，以确定改革的具体方案和步骤。如果我们能做到上下求索、反省内观，那么就能“思所成慧”了。

修，就是实践。真正的改革发生在课堂，改革的成功有赖于“苦修、乐修、真修、内修、共修、自修”。千里之行始于足下，“思所成慧”而获得的改革蓝图，只有经过实践才能变为现实，也只有经过实践才能获得修正前行的机会，这也就是“修所成慧”了。

数学教育改革需要全体数学教育工作者的智慧。一线教师，无论你是否愿意，总是处于课改的滚滚洪流中，我们可以把它看成是专业化成长的机遇，“闻、思、修，照着这个方法做，一定有成果。”

注：本文标题采自《星云大师谈智慧》，文中多处引用大师妙语。如有不当，敬请见谅。

探究式学习的天时地利人和

章建跃

本世纪初开始的这一轮课改，“探究式学习”被放在改革的突出位置。《普通高中数学课程标准（实验）》提出，“高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”。广大数学教师对教学中如何引导学生开展探究式学习进行了深入研究。本期中，有众多的文章涉及这一话题，因此我想对这一问题谈谈自己的想法。

探究式学习的实施需要天时、地利与人和。

首先讲“天时”。当今世界，经济全球化和知识经济步伐不断加快。为了掌握21世纪社会经济发展的战略制高点，我国正竭力倡导从模仿创新转向自主创新，培育自身的科技原创力。相应地，要求教育“以培养学生的创新精神和实践能力为重点”。因此，强调探究式学习顺应了我国社会经济科技发展的要求，大力加强探究式学习“适逢其时”。

其次看“地利”。是否具有探究式学习的“地利”，主要看学习内容是否适宜于探究。一般而言，解题教学适宜于用探究式学习方式，都应当安排学生的自主探究活动。这里主要讨论数学基础知识的探究式学习问题。应当说，大部分数学概念、性质、法则、公式、定理等，都适宜于用探究式学习方式。例如“不等式的性质”，可以让学生“类比等式的性质”提出猜想，并利用实数大小的“基本事实”加以证明，这就是一个探究式学习过程；“平面向量基本定理”，可以在“用向量及其运算表示几何元素”的思想指引下，借助建立直角坐标系的方法、两条相交直线确定一个平面等经验，让学生探究而获得结论；“诱导公式”也可以在“三角函数是（单位）圆的几何性质的代数表示”的思想下，让学生通过探究终边关于坐标轴、原点以及直线y=x对称的两个角的关系，进而得到所有公式；等。显然，数学思想方法在自主探究中有关键作用，但常常需要教师的启发引导。

当然，并不是所有学习内容都适宜于探究，有的甚至不需要探究。例如，数学中某些原始性的概念定义，没有多少“开放性”，不必探究。这样的内容，重要的是让学生了解来龙去脉，理解其引入的必要性、合理性，因此采用教师讲授或让学生看书的方式即可。例如，直线与平面垂直的定义，通过生活中的事例，让学生感受到定义与自己的经验相吻合，从而确认其合理性，然后由教师叙述定义，这样安排教与学的过程是合适的。这里，用“说得清道得明”的几何关系（即“直线与直线垂直”），来定义“无法说清”的几何关系（即“直线与平面垂直”），这是一种公理化思想，教师必须向学生交待清楚，而学生则只要采用接受式学习方式即可。而关于概念的名称、符号、某些规定（如0！=1，0与任意向量平行）等，直接告诉学生可矣。

再次看“人和”。探究式学习的“人和”，就是师生所共同营造的“探究氛围”。这种氛围，一方面有赖于学生“探究式学习的心向”，另一方面也有赖于教师的“探究型教学的意识”。如果学生缺乏“遇事问个为什么”“打破沙锅问到底”的习惯和勇气，那么探究式学习就失去了内因；同样的，如果教师只注重给学生灌输现成数学结论，不给学生独立思考、自主探究的机会，那么探究式学习也就失去了其生存的时间和空间。当然，“人和”气象的出现，还需要一个位于学生思维最近发展区内的、蕴涵当前学习内容本质的问题情境，作为探究式学习的“引子”、“平台”，使探究式学习得以展开、深入，开花结果。

最后，学习是知与行相统一的主动行为，接受式和探究式是学习的两种基本形态．以学生发展为本的教学，应体现接受和探究的相辅相成，要协调与平衡认知与情感、指导与自主、能动与受动、抽象思维与形象思维、动手实践与大脑意识活动、独立思考与合作交流等各种因素，进而使学习成为一个完整的认识过程。

探究式学习的天时地利人和

章建跃

本世纪初开始的这一轮课改，“探究式学习”被放在改革的突出位置。《普通高中数学课程标准（实验）》提出，“高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”。广大数学教师对教学中如何引导学生开展探究式学习进行了深入研究。本期中，有众多的文章涉及这一话题，因此我想对这一问题谈谈自己的想法。

探究式学习的实施需要天时、地利与人和。

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