北京中考数学试题及答案

2008

年北京市高级中等学校招生考试数学试卷

考

生

须

知：

1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共8页．全卷共九

道大题，25道小题．

2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．

3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写区（县）名称、毕

业学校、姓名、报名号和准考证号．

4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（机读卷共32分）

考

生

须

知：

1．第Ⅰ卷从第1页到第2页，共2页，共一道大题，8道小题．

2．考生须将所选选项按要求填涂在答题卡上，在试卷上作答无效．

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个

．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．

1．6-的绝对值等于（）

A．6B．

1

6

C．

1

6

-D．6-

2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（）

A．5

0.21610

?B．3

21.610

?C．3

2.1610

?D．4

2.1610

?

3．若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离

4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（）A．50，20 B．50，30 C．50，50 D．135，50

5．若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（）

A．

1

5

B．

2

5

C．

1

2

D．

3

5

7

．若20x +=，则xy 的值为（ ）

A ．8-

B ．6-

C ．5

D ．6

8．已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）

2008年北京市高级中等学校招生考试

数 学 试 卷

二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．在函数121

y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 10．分解因式：32a ab -= ． 11．如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点，

若2cm DE =，则BC = cm ．

12．一组按规律排列的式子：2b a -，53b a ，83b a -，11

4b a

，…（0ab ≠）

，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．

三、解答题（共5道小题，共25分）

13．（本小题满分5分） 1012sin 45(2)3-??+-π- ???

． 解：

C A E D

B O

P M O M ' M P A ． O M ' M P B ． O M ' M P C ．

O M ' M P D ．

14．（本小题满分5分）

解不等式5122(43)x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来．

解：

15．（本小题满分5分）

已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =． 求证：AC CD =． 证明：

16．（本小题满分5分） 如图，已知直线3y kx =-经过点M ，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标．

解：

17．（本小题满分5分）

已知30x y -=，求222()2x y x y x xy y

+--+的值． 解：

四、解答题（共2道小题，共10分）

18．（本小题满分5分）

如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=

，AD =

BC =求DC 的长．

解：

A C E D

B

y A B C D

19．（本小题满分5分）

已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．

（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．

解：（1）

（2）

五、解答题（本题满分6分）

20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：

请你根据以上信息解答下列问题：

（1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？

（2）补全图2，并根据统计图和统计表说明．．．．．．．．．．．

，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响．

解：（1）

A 图1 “限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料．．购物袋的人数统计图 “限塑令”实施后，使用各种 购物袋的人数分布统计图 其它 ％ 46% 24%

（2）

六、解答题（共2道小题，共9分）

21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：

京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？ 解：

22．（本小题满分4分）

已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG BC ∥交AC 于点G ．DE BC ⊥于点E ，过点G 作GF BC ⊥于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG DE GF ，，按图1所示方式折叠，点A B C ，，分别落在点A '，B '，C '处．若点A '，B '，C '在矩形DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C '''△（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．

（1）若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A B C D ，，，恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A B C '''的面积；

（2）实验探究：设AD 的长为m ，若重叠三角形A B C '''存在．试用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积，并写出m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．

解：（1）重叠三角形A B C '''的面积为 ；

（2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为 ；m 的取值范围为 ．

图1

图2 A B 备用图 A B 备用图

七、解答题（本题满分7分）

23．已知：关于x 的一元二次方程2

(32)220(0)mx m x m m -+++=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且

212y x x =-，求这个函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，

2y m ≤．

（1）证明：

（2）解：

（3）解：

八、解答题（本题满分7分）

24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点．

（1）求直线BC 及抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；

（3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数． 解：（1）

（2）

x

（3）

九、解答题（本题满分8分）

25．请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC

的值．

小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及

PG PC

的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形

ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出

PG PC

的值（用含α的式子表示）． 解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；PG PC = ． （2）

D A B

E

F C P

G 图1 D C G P A B

F 图2

2008年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷答案及评分参考

阅卷须知：

1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名．

2．第Ⅰ卷是选择题，机读阅卷．

3．第Ⅱ卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

第Ⅰ卷（机读卷共32分）

第Ⅱ卷（非机读卷共88分）

三、解答题（共5道小题，共25分）

13．（本小题满分5分）

1

1

2sin45(2π)

3

-

??

+-- ?

??

213

=+-····················································································4分

2 =．···································································································5分14．（本小题满分5分）

解：去括号，得51286

x x

--

≤． ····································································1分移项，得58612

x x

--+

≤． ···········································································2分合并，得36

x

-≤． ·······················································································3分系数化为1，得2

x-

≥． ·················································································4分

··················································································································· 5分

15．（本小题满分5分）

证明：AB ED ∥，

B E ∴∠=∠． ·

······························································································ 2分 在ABC △和CED △中，

AB CE B E BC ED =??∠=∠??=?

，，

， ABC CED ∴△≌△． ·

··················································································· 4分 AC CD ∴=． ·

······························································································ 5分 16．（本小题满分5分）

解：由图象可知，点(21)M -，在直线3y kx =-上， ·

············································· 1分 231k ∴--=．

解得2k =-．································································································ 2分 ∴直线的解析式为23y x =--． ······································································· 3分 令0y =，可得32

x =-． ∴直线与x 轴的交点坐标为302??- ???

，． ······························································· 4分 令0x =，可得3y =-．

∴直线与y 轴的交点坐标为(03)-，． ·

································································ 5分 17．（本小题满分5分） 解：22

2()2x y x y x xy y +--+ 22()()

x y x y x y +=-- ························································································· 2分 2x y x y

+=-． ··································································································· 3分 当30x y -=时，3x y =． ·············································································· 4分 原式677322y y y y y y +===-． ··············································································· 5分

四、解答题（共2道小题，共10分）

18．（本小题满分5分）

解法一：如图1，分别过点A D ，作AE BC ⊥于点E ，

DF BC ⊥于点F ． ·

···································· 1分 ∴AE DF ∥．

又AD BC ∥，

∴四边形AEFD 是矩形．

EF AD ∴== ····································· 2分 AB AC ⊥，45B ∠=

，BC =

AB AC ∴=．

12

AE EC BC ∴===

DF AE ∴==

CF EC EF =-=···················································································· 4分 在Rt DFC △中，90DFC ∠=，

DC ∴=== ·

············································ 5分 解法二：如图2，过点D 作DF AB ∥，分别交AC BC ，于点E F ，． ···················· 1分 AB AC ⊥，

90AED BAC ∴∠=∠=． AD BC ∥， 18045DAE B BAC ∴∠=-∠-∠=． 在Rt ABC △中，90BAC ∠=，45B ∠=

，BC =

sin 454242

AC BC ∴=== ································································· 2分 在Rt ADE △中，90AED ∠=

，45DAE ∠=，AD =

1DE AE ∴==．

3CE AC AE ∴=-=． ·

················································································· 4分 在Rt DEC △中，

90CED ∠=

，

DC ∴===． ·

························································ 5分 19． （本小题满分5分）

解：（1）直线BD 与O 相切． ········································································ 1分 A

B C

D F

E

图2 A B C

D

F

E 图1

证明：如图1，连结OD ．

OA OD =，

A ADO ∴∠=∠．

90C ∠=， 90CBD CDB ∴∠+∠=．

又CBD A ∠=∠， 90ADO CDB ∴∠+∠=． 90ODB ∴∠=． ∴直线BD 与O 相切． ················································································· 2分

（2）解法一：如图1，连结DE ． AE 是O 的直径， 90ADE ∴∠=．

:8:5AD AO =，

4cos 5

AD A AE ∴==． ······················································································ 3分 90C ∠=，CBD A ∠=∠，

4cos 5

BC CBD BD ∴∠==． ··············································································· 4分 2BC =， 52

BD ∴=． ······································································ 5分 解法二：如图2，过点O 作OH AD ⊥于点H ． 12

AH DH AD ∴==． :8:5AD AO =， 4cos 5AH A AO ∴==． ··················· 3分 90C ∠=，CBD A ∠=∠，

4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ································· 4分 2BC =，

52

BD ∴=． ································································································· 5分 五、解答题（本题满分6分）

解：（1）补全图1见下图． ·············································································· 1分

A

A

图1 “限塑令”实施前，平均一次购物使

用不同数量塑料．．购物袋的人数统计图

9137226311410546373003100100

?+?+?+?+?+?+?==（个）． 这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个． ································· 3分 200036000?=．

估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． ········································· 4分

（2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为25%． ······························· 5分 根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献． ································································································· 6分

六、解答题（共2道小题，共9分）

21．解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x 千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时(40)x +千米． ········································································· 1分 依题意，得3061(40)602

x x +=+． ···································································· 3分 解得200x =． ······························································································ 4分 答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． ······························ 5分

22．解：（1）重叠三角形A B C '''． ··················································· 1分

（2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''2)m -； ······················· 2分

m 的取值范围为843

m <≤． ··········································································· 4分 七、解答题（本题满分7分）

23．（1）证明：2(32)220mx m x m -+++=是关于x 的一元二次方程，

222[(32)]4(22)44(2)m m m m m m ∴?=-+-+=++=+．

当0m >时，2

(2)0m +>，即0?>． ∴方程有两个不相等的实数根． ········································································ 2分

（2）解：由求根公式，得(32)(2)2m m x m

+±+=． 22m x m

+∴=或1x =． ·················································································· 3分 0m >，

222(1)1m m m m

++∴=>． 12x x <，

11x ∴=，222m x m +=． ················································································ 4分

21222

221m y x x m m

+∴=-=

-?=． 即2

(0)y m m

=

>为所求． ·

······················ 5分 （3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出

2

(0)y m m

=>与2(0)y m m =>的图象．

····························································· 6分 由图象可得，当1m ≥时，2y m ≤． ··········· 7分 八、解答题（本题满分7分） 24．解：（1）

y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后经过y 轴上的点C ，

(03)C ∴，．

设直线BC 的解析式为3y kx =+．

(30)B ，在直线BC 上，

330k ∴+=． 解得1k =-．

∴直线BC 的解析式为3y x =-+． ··································································· 1分

抛物线2

y x bx c =++过点B C ，，

9303b c c ++=?∴?

=?

，

． 解得43b c =-??

=?，

．

∴抛物线的解析式为243y x x =-+． ······························································· 2分

（2）由2

43y x x =-+．

可得(21)(10)D A -，

，，． 3OB ∴=，3OC =，1OA =，2AB =．

可得OBC △是等腰直角三角形．

45OBC ∴∠=

，CB =

如图1，设抛物线对称轴与x 轴交于点F ，

1

12

AF AB ∴=

=．

x

图1

0)

过点A 作AE BC ⊥于点E ．

90AEB ∴∠=．

可得BE AE ==

CE =

在AEC △与AFP △中，90AEC AFP ∠=∠=，ACE APF ∠=∠，

AEC AFP ∴△∽△．

AE CE

AF PF

∴

=

，1PF =． 解得2PF =．

点P 在抛物线的对称轴上，

∴点P 的坐标为(22)，或(22)-，．·

···································································· 5分 （3）解法一：如图2，作点(10)A ，关于y 轴的对称点A '，则(10)A '-，． 连结A C A D ''，，

可得A C AC '==OCA OCA '∠=∠． 由勾股定理可得2

20CD =，2

10A D '=． 又2

10A C '=，

222

A D A C CD ''∴+=．

A DC '∴△是等腰直角三角形，90CA D '∠=，

45DCA '∴∠=．

45OCA OCD '∴∠+∠=． 45OCA OCD ∴∠+∠=．

即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45． ························································· 7分

解法二：如图3，连结BD ．

同解法一可得CD =

AC =

在Rt DBF △中，90DFB ∠=，1BF DF ==，

DB ∴==

在CBD △和COA △中，

x

图2

x

图3

1DB AO ==

3BC OC ==

CD CA == DB BC CD AO OC CA

∴

==． CBD COA ∴△∽△．

BCD OCA ∴∠=∠． 45OCB ∠=，

45OCA OCD ∴∠+∠=．

即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45． ························································· 7分

九、解答题（本题满分8分）

25．解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是PG PC ⊥；

PG PC

= ································································································· 2分 （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．

证明：如图，延长GP 交AD 于点H ，连结CH CG ，． P 是线段DF 的中点，

FP DP ∴=．

由题意可知AD FG ∥．

GFP HDP ∴∠=∠．

GPF HPD ∠=∠，

GFP HDP ∴△≌△．

GP HP ∴=，GF HD =．

四边形ABCD 是菱形， CD CB ∴=，60HDC ABC ∠=∠=．

由60ABC BEF ∠=∠=，且菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，

可得60GBC ∠=．

HDC GBC ∴∠=∠．

四边形BEFG 是菱形，

GF GB ∴=．

HD GB ∴=．

HDC GBC ∴△≌△．

CH CG ∴=，DCH BCG ∠=∠．

120DCH HCB BCG HCB ∴∠+∠=∠+∠=．

即120HCG ∠=． D C G P A B F H

CH CG =，PH PG =， PG PC ∴⊥，60GCP HCP ∠=∠=．

PG PC

∴= ······························································································· 6分 （3）PG PC =tan(90)α-．

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