浙江省杭州市萧山区2017届九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2016-2017学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题

1．如图，让转盘自由转动一次，则指针落在A区域的概率是（ ）

A． B． C． D． 2．己知△ABC中，∠C=Rt∠，若AC=A．

B．

C． D．

，BC=1，则sinA的值是（ ）

3．二次函数y=﹣3x2+6x变形为y=a（x+m）2+n形式，正确的是（ ） A．y=﹣3（x+1）2﹣3 B．y=﹣3（x﹣1）2﹣3 C．y=﹣3（x+1）2+3 ﹣3（x﹣1）2+3

4．任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上点数为1的概率为，有下列说法：①任意抛掷一枚均匀骰子12次，朝上点数为1的次数为2次；②任意抛掷一枚均匀骰子1200次，朝上点数为1的次数大约为200次，则你认为（ ） A．①②都对

B．①②都错

C．①对②错

D．①错②对

D．y=

5．己知△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，点P为边AB的中点，以点C为圆心，长度r为半径画圆，使得点A，P在⊙O内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是（ ） A．

B．

C．3＜r＜4 D．r＞3

6．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）

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A． B． C．

D．

7．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠B=64°，则∠C的度数为（ ）

A．28° B．32° C．44° D．52°

8．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，己知AC=a，∠A=α，∠B=β，则BD的长是（ ）

A． B． C．a?sinα?tanβ D．a?cosα?tanβ

9．己知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0），对任意实数t，其图象都经过点（2+t，m）和点（2﹣t，m），又图象经过点（﹣1，y1），（2，y2），（6，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）

A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1

10．如图，连结正五边形的各条对角线AD，AC，BE，BD，CE，给出下列结论：①∠AME=108°；②五边形PFQNM∽五边形ABCDE；③AN2=AM?AD，其中正确的是（ ）

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A．①②

二、填空题

B．①③ C．②③ D．①②③

11．若cosα=，则锐角α为 度．

=，则

= ．

12．如图，直线a∥b∥c，若

2

13．抛物线y=2（x﹣2）+12与y轴的交点关于其对称轴的对称点的坐标是 ．

14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为 度（写出一个即可）．

15．如图，一根长为a的竹竿AB斜靠在墙上，竹竿AB的倾斜角为α，当竹竿的顶端A下滑到点A'时，竹竿的另一端B向右滑到了点B'，此时倾斜角为β． （1）线段AA'的长为 ．

（2）当竹竿AB滑到A'B'位置时，AB的中点P滑到了P'，位置，则点P所经过的路线长为 （两小题均用含a，α，β的代数式表示）

16．已知二次函数y=（k2+1）x2﹣2（2k﹣1）x+1

（1）若二次函数图象经过点（﹣1，1），则k的值为 ．

第3页（共25页）

（2）若二次函数图象不经过第三象限，则k的取值范围为 ．

三、解答颗

17．有A，B，C三种款式的帽子，E，F二种款式的围巾，穿戴时小婷任意选一顶帽子和一条围巾．

（1）用合适的方法表示搭配的所有可能性结果．

（2）求小婷恰好选中她所喜欢的A款帽子和E款围巾的概率． 18．己知二次函数y=﹣

﹣2x+6．

（1）求函数图象的顶点坐标和对称轴．

（2）自变量x在什么范围内时，函数值y＞0？y随x的增大而减小？

19．一长方形木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AQ=m，己知木箱高PQ=h，斜面坡角α满足tanα=（α为锐角），求木箱顶端P离地面AB的距离PC．

20．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．

（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由 （2）若

=，求

的值．

21．在⊙O中，己知弦BC所对的圆周角∠BAC与圆心角∠BOC互补．

第4页（共25页）

（1）求∠BOC的度数．

（2）若⊙O的半径为4，求弦BC和劣弧BC组成的弓形面积．

22．如图为抛物线y1=x2﹣3，且抛物线y2是由抛物线y1向右平移2个单位得到的．

（1）写出抛物线y2的函数表达式，并在直角坐标系中画出抛物线y2．

（2）过点（0，a﹣3）（a为实数）作x轴的平行线，与抛物线y1，y2共有4个不同的交点，设这4个交点的横坐标分别是x1，x2，x3，x4． ①求a的取值范围；

②若x1＜x2＜x3＜x4，试求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值．

23．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=Rt∠，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，且∠APD=Rt∠，连结BD （1）求证：

=

；

（2）在点P运动过程中，试问∠PBD的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势． （3）己知AB=

，设CP=x，S△PBD=S．

①试求S关于x的函数表达式． ②当S=时，求△BPD的外接圆半径．

第5页（共25页）

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2016-2017学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1．如图，让转盘自由转动一次，则指针落在A区域的概率是（ ）

A． B． C． D． 【考点】几何概率．

【分析】根据概率的求法，用A区域的面积除以总面积即可解答．

【解答】解：由图得：B扇形的圆心角为120°，则A扇形的圆心角为240°， 故指针指向A区域的概率为故选：A．

2．己知△ABC中，∠C=Rt∠，若AC=A．

B．

C． D．

=．

，BC=1，则sinA的值是（ ）

【考点】锐角三角函数的定义．

【分析】在直角△ABC中首先利用勾股定理求得AB的长，然后利用正弦函数的定义求解．

【解答】解：在直角△ABC中，AB=则sinA=故选C．

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==2，

=．

3．二次函数y=﹣3x2+6x变形为y=a（x+m）2+n形式，正确的是（ ） A．y=﹣3（x+1）2﹣3 B．y=﹣3（x﹣1）2﹣3 C．y=﹣3（x+1）2+3 ﹣3（x﹣1）2+3

【考点】二次函数的三种形式． 【分析】根据配方法即可求出答案．

【解答】解：y=﹣3x2+6x=﹣3（x2﹣2x）=﹣3（x2﹣2x+1﹣1）=﹣3（x﹣1）2+3 故选（D）

4．任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上点数为1的概率为，有下列说法：①任意抛掷一枚均匀骰子12次，朝上点数为1的次数为2次；②任意抛掷一枚均匀骰子1200次，朝上点数为1的次数大约为200次，则你认为（ ） A．①②都对

B．①②都错

C．①对②错

D．①错②对

D．y=

【考点】概率的意义．

【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．

【解答】解：①任意抛掷一枚均匀骰子12次，朝上点数为1的次数可能为为2次，故①不符合题意，

②任意抛掷一枚均匀骰子1200次，朝上点数为1的次数大约为200次，故②符合题意； 故选：D．

5．己知△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，点P为边AB的中点，以点C为圆心，长度r为半径画圆，使得点A，P在⊙O内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是（ ） A．

B．

C．3＜r＜4 D．r＞3

【考点】点与圆的位置关系．

【分析】点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．

【解答】解：由AC=3，BC=4，以点C为圆心，长度r为半径画圆，使得点A，P

第8页（共25页）

在⊙O内，点B在⊙C外，得 3＜r＜4， 故选：C．

6．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）

A． B． C．

D．

【考点】相似三角形的判定．

【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．

【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确； D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误． 故选C．

7．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠B=64°，则∠C的度数为（ ）

第9页（共25页）

A．28° B．32° C．44° D．52° 【考点】圆周角定理．

【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=72°，然后利用三角形内角和得到∠C+∠BOC=∠A+∠B，然后把∠A=36°，∠B=64°代入计算可求得∠C的度数． 【解答】解：∵∠BOC=2∠A=2×36°=72°， ∵∠C+∠BOC=∠A+∠B， ∴∠C=36°+64°﹣72°=28°． 故选A．

8．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，己知AC=a，∠A=α，∠B=β，则BD的长是（ ）

A． B． C．a?sinα?tanβ D．a?cosα?tanβ

【考点】锐角三角函数的定义．

【分析】在直角△ACD中首先利用正弦定义求得CD的长，然后在直角△BCD中利用正切函数定义求得BD的长． 【解答】解：∵在直角△ACD中，sinA=∴CD=asinα．

∵直角△BCD中，tanB=∴BD=故选A．

第10页（共25页）

，即sinα=，

，即，

=．

9．己知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0），对任意实数t，其图象都经过点（2+t，m）和点（2﹣t，m），又图象经过点（﹣1，y1），（2，y2），（6，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）

A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】由图象上的两点坐标求得抛物线对称轴，由开口方向知离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大，据此可得．

【解答】解：∵图象都经过点（2+t，m）和点（2﹣t，m）， ∴抛物线的对称轴为x=

=2，

又∵a＞0，即抛物线的开口向上，

∴抛物线上离对称轴水平距离越大的点，对应函数值越大， 则y3＞y1＞y2， 故选：B．

10．如图，连结正五边形的各条对角线AD，AC，BE，BD，CE，给出下列结论：①∠AME=108°；②五边形PFQNM∽五边形ABCDE；③AN2=AM?AD，其中正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【考点】相似多边形的性质．

【分析】根据正五边形的性质得到∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，根据三角形的内角和即可得到结论；

求证各个角的度数，再求得各边的长度，即可得出结论．

由于∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°，得到∠AEN=∠ANE，根据等腰三角形的判定定理得到AE=AN，同理DE=DM，根据相似三角形的性质得到

，等量代换得到AN2=AM?AD；

第11页（共25页）

【解答】解：∵∠BAE=∠AED=108°， ∵AB=AE=DE，

∴∠ABE=∠AEB=∠EAD=36°，

∴∠AME=180°﹣∠EAM﹣∠AEM=108°，故①正确； ∵∠ABE=∠CBD=36°， ∴∠DBE=36°，

同理∠KMN=∠MNL=∠NLH=∠LHK=∠HKM， △AMK≌△BMN≌△CNL≌△DHL≌△EHK， ∴MN=NL=LH=HK=MK， ∴五边形MNLHK是正五边形，

∴五边形PFQNM∽五边形ABCDE，②正确． ∵∠AEN=108°﹣36°=72°，∠ANE=36°+36°=72°， ∴∠AEN=∠ANE， ∴AE=AN， 同理DE=DM， ∴AE=DM，

∵∠EAD=∠AEM=∠ADE=36°， ∴△AEM∽△ADE， ∴

，

∴AE2=AM?AD；

∴AN2=AM?AD；故③正确； 故选D．

二、填空题 11．若cosα=

，则锐角α为 30 度．

第12页（共25页）

【考点】特殊角的三角函数值．

【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案． 【解答】解：∵cosα=∴α=30°， 故答案为：30．

12．如图，直线a∥b∥c，若

=，则

= ．

，

【考点】平行线分线段成比例．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得到【解答】解：∵a∥b∥c， ∴∴

=

=，

=

=，于是得到结论．

=，

故答案为：．

2

13．抛物线y=2（x﹣2）+12与y轴的交点关于其对称轴的对称点的坐标是 （4，

20） ．

【考点】二次函数的性质．

【分析】首先确定其对称轴，然后求得其与y轴的交点，从而确定其对称点的坐标即可．

【解答】解：抛物线y=2（x﹣2）2+12的对称轴为x=2， 令x=0得：y=2×4+12=20， ∴与y轴的交点为（0，20），

∴关于x=2的对称点的坐标为（4，20）， 故答案为：（4，20）．

第13页（共25页）

14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为 80 度（写出一个即可）．

【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．

【分析】连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB的度数，根据圆周角定理求出∠DOB的度数，得到∠DCB＜∠BPD＜∠DOB． 【解答】解：连接OB、OD，

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°， ∴∠DCB=180°﹣130°=50°，

由圆周角定理得，∠DOB=2∠DCB=100°，

∴∠DCB≤∠BPD≤∠DOB，即50°≤∠BPD≤100°， ∴∠BPD可能为80°， 故答案为：80．

15．如图，一根长为a的竹竿AB斜靠在墙上，竹竿AB的倾斜角为α，当竹竿的顶端A下滑到点A'时，竹竿的另一端B向右滑到了点B'，此时倾斜角为β． （1）线段AA'的长为 a（sinα﹣sinβ） ．

（2）当竹竿AB滑到A'B'位置时，AB的中点P滑到了P'，位置，则点P所经过的路线长为

（两小题均用含a，α，β的代数式表示）

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【考点】轨迹；勾股定理的应用．

【分析】（1）分别在在Rt△ABO中和在Rt△A′OB′中，求出OA、OA′即可解决问题．

（2）点P运动轨迹是弧，求出圆心角、半径利用弧长公式计算即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABO中，∵AB=a，∠ABO=α， ∴OA=AB?sinα=a?sinα，

在Rt△A′OB′中，同理可得OA′=a?sinβ， ∴AA′=OA﹣OA′=a（sinα﹣sinβ）． 故答案为a（sinα﹣sinβ）．

（2）∵PA=PB，∠AOB=90°， ∴OP=PB=PA，

∴∠POB=α，同理可得∠P′OB=β， ∴∠POP′=α﹣β，

∴则点P所经过的路线长=

=

．

16．已知二次函数y=（k2+1）x2﹣2（2k﹣1）x+1

（1）若二次函数图象经过点（﹣1，1），则k的值为 ﹣2﹣

或﹣2+

．

（2）若二次函数图象不经过第三象限，则k的取值范围为 k＞ ． 【考点】二次函数的性质．

【分析】（1）由于k2+1≠0，将点（﹣1，1）代入二次函数解析式，解这解关于k的一元二次方程，即可求出k的值；

（2）由y=（k2+1）x2﹣2（2k﹣1）x+1的图象不经过第三象限，a＞0，得到抛物线是对称轴在y轴的右侧， 列不等式即可得到结论．

第15页（共25页）

1）1=【解答】解：（1）由于k2+1≠0，将点（﹣1，代入二次函数解析式得：（k2+1）+2（2k﹣1）+1， 解得：k1=﹣2﹣故答案为：﹣2﹣

，k2=﹣2+或﹣2+

， ；

（2）∵y=（k2+1）x2﹣2（2k﹣1）x+1的图象不经过第三象限， 而二次项系数a=（k2+1）＞0，c=1＞0，

∴抛物线开口方向向上，抛物线与y轴的正半轴相交， ∴抛物线是对称轴在y轴的右侧， ∴﹣2（2k﹣1）＜0， ∴k＞，

故答案为：k＞．

三、解答颗

17．有A，B，C三种款式的帽子，E，F二种款式的围巾，穿戴时小婷任意选一顶帽子和一条围巾．

（1）用合适的方法表示搭配的所有可能性结果．

（2）求小婷恰好选中她所喜欢的A款帽子和E款围巾的概率． 【考点】列表法与树状图法．

【分析】（1）根据题意，使用列举法，可得小明任意选取一件衣服和一条裤子的情况数目，进而按概率的计算公式计算可得答案．

（2）由（1）即可求出小婷恰好选中她所喜欢的A款帽子和E款围巾的概率． 【解答】解：（1）根据题意，小婷任意选取一顶帽子和一条围巾， 有A、E，A、F，B、E，B、F，C、E，C、F，6种情况，

（2）小婷恰好选中她所喜欢的A款帽子和E款围巾的概率=．

18．己知二次函数y=﹣

﹣2x+6．

（1）求函数图象的顶点坐标和对称轴．

（2）自变量x在什么范围内时，函数值y＞0？y随x的增大而减小？

第16页（共25页）

【考点】二次函数的性质．

【分析】（1）利用配方法或公式法即可解决问题． （2）利用图象以及二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）∵y=﹣﹣（x+2）2+8，

∴顶点坐标为（﹣2，8），对称轴为x=﹣2．

﹣2x+6=﹣（x2+4x）+6=﹣ [（x+2）2﹣4]+6=

（2）令y=0得到﹣﹣2x+6=0，解得x=﹣6或2，

∴观察图象可知，﹣6＜x＜2时，y＞0， 当x＞﹣2时，y随x的增大而减小．

19．一长方形木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示位置时，AQ=m，己知木箱高PQ=h，斜面坡角α满足tanα=（α为锐角），求木箱顶端P离地面AB的距离PC．

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【分析】根据正切的定义求出DQ，根据勾股定理求出PD，根据相似三角形的性质居计算即可．

【解答】解：由题意得，∠DPQ=α， ∴tan∠DPQ=，即∴DQ=h， ∴PD=

=h，AQ=m﹣h，

=，

∵△ACD∽△PQD，

第17页（共25页）

∴=，即=，

解得，CD=m﹣h，

∴PC=CD+PD=m+h．

20．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．

（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由 （2）若

=，求

的值．

【考点】相似三角形的判定．

【分析】（1）根据两组对应角相等可判断△ABC∽△AED，△ADG∽△ACF，△AEG∽△ABF．

（2）根据相似三角形的对应高相等可以进行计算． 【解答】解：（1）∵∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC， ∴△ABC∽△AED．

∵∠AED=∠ABC，∠EAG=∠BAF， ∴△AEG∽△ABF．

∵∠EDG=∠ACF，∠DAG=∠CAF， ∴△ADG∽△ACF． （2）∵

=，

第18页（共25页）

∴=，

∵△ADG∽△ACF， ∴

21．在⊙O中，己知弦BC所对的圆周角∠BAC与圆心角∠BOC互补． （1）求∠BOC的度数．

（2）若⊙O的半径为4，求弦BC和劣弧BC组成的弓形面积．

=

=．

【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算． 【分析】（1）根据圆周角定理即可得出结论；

（2）过O作OD⊥BC于D，根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：（1）如图，∵∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°， ∴∠BOC=120°；

（2）过O作OD⊥BC于D， ∵∠BOC=120°， ∴∠BOD=60°， ∵BO=4， ∴OD=2，BD=2∴BC=4

，

扇形

，

∴弦BC和劣弧BC组成的弓形面积=S2=

﹣4

．

BOC﹣S△BOC=﹣×4×

第19页（共25页）

22．如图为抛物线y1=x2﹣3，且抛物线y2是由抛物线y1向右平移2个单位得到的．

（1）写出抛物线y2的函数表达式，并在直角坐标系中画出抛物线y2．

（2）过点（0，a﹣3）（a为实数）作x轴的平行线，与抛物线y1，y2共有4个不同的交点，设这4个交点的横坐标分别是x1，x2，x3，x4． ①求a的取值范围；

②若x1＜x2＜x3＜x4，试求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值．

【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）根据抛物线平移的规律即可得到结论；

（2）根据函数解析式图象可知，若过点（0，a﹣3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点时，则a﹣3＞﹣3且a≠1，再分别求出y1、y2分别等于a﹣3时x的值，分0＜a＜1和a＞1时x1、x2、x3、x4的值，从而代入x4﹣x3+x2﹣x1可知最值情况，

【解答】解：（1）∵抛物线y2是由抛物线y1向右平移2个单位得到的， ∴y2═（x﹣2）2﹣3， 如图1所示；

（2）①∵y1=x2﹣3，y2=（x﹣2）2﹣3，

第20页（共25页）

结合图象，由题意，知：a﹣3＞﹣2， ∴a＞1，

∴a的取值范围为：a＞1；

②令y1=a﹣3，则x2﹣3=a﹣3 解得x=±

，

，

令y2=a﹣3，则（x﹣2）2﹣3=a﹣3，解得x=2±因为x1＜x2＜x3＜x4，显然x1=﹣

，x4=2+

，

∵a≠1，则a的取值范围是a＞0且a≠1， 当0＜a＜1时，∴x4﹣x3+x2﹣x1=4当a＞1时，∴x3=

＜2﹣＜4，

，

，∴x2=

，x3=2﹣

，

＞2﹣

，

，x2=2﹣

∴x4﹣x3+x2﹣x1=4，

综上所述，x4﹣x3+x2﹣x1的最大值为4．

23．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=Rt∠，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，且∠APD=Rt∠，连结BD （1）求证：

=

；

（2）在点P运动过程中，试问∠PBD的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势． （3）己知AB=

，设CP=x，S△PBD=S．

①试求S关于x的函数表达式． ②当S=时，求△BPD的外接圆半径．

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【考点】圆的综合题．

【分析】（1）设AD与PB交于点K．由△AKB∽△PKD，推出△AKP∽△BKD，推出∠ADB=∠APK，∠PAK=∠DBK=45°，推出∠ABD=∠∠DBK=90°，推出∠ABD=∠ACP，由∠ADB=∠APC，推出△ABD∽△ACP，即可解决问题．

（2）结论：∠PBD的度数是定值，∠PBD=45°．由（1）可知△AKP∽△BKD，即可推出PAK=∠DBK=45°． （3）①在Rt△ABC中，由AB==

PA=，推出BC=AC=1，在Rt△ACP中，

=

，推出

=

，可得BD=

x，

，由△ABD∽△ACP，推出

OP．根据S=S△ABD+S△APD﹣S△ABP计算即可．②取AD的中点O，连接OB、由∠ABD=∠APD=90°，推出OB=OA=OP=OD，推出点O是△PBD的外接圆的圆心，求出线段AD即可解决问题．

【解答】（1）证明：如图，设AD与PB交于点K． ∵CA=BC，∠ACB=90°， ∴∠ABC=45°，

∵PA=PD，∠APD=90°，

∴∠PDK=∠PAD=∠ABK=45°，∵∠AKB=∠DKP， ∴△AKB∽△PKD， ∴∴

==

，

，∵∠AKP=∠BKD，

∴△AKP∽△BKD，

∴∠ADB=∠APK，∠PAK=∠DBK=45°， ∴∠ABD=∠∠DBK=90°，

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∴∠ABD=∠ACP，∵∠ADB=∠APC， ∴△ABD∽△ACP， ∴

=；

（2）解：结论：∠PBD的度数是定值，∠PBD=45°． 理由：由（1）可知△AKP∽△BKD， ∴PAK=∠DBK=45°，

∴在点P运动过程中，∠PBD的度数是定值，∠PBD=45°

（3）解：①在Rt△ABC中，∵AB=∴BC=AC=1， 在Rt△ACP中，PA=∵△ABD∽△ACP， ∴∴

==

， ， x，

?=

，

，

∴BD=

∴S=S△ABD+S△APD﹣S△ABP=?

x﹣??

﹣（1+x）?1=x2+x．

②取AD的中点O，连接OB、OP． ∵∠ABD=∠APD=90°， ∴OB=OA=OP=OD，

∴点O是△PBD的外接圆的圆心， ∵S=， ∴x2+x=，

解得x=或﹣（舍弃）， ∴PC=，

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由（2）可知BD=∴BD=

，

x，

在Rt△ABD中，AD=∴OD=AD=

，

==，

∴△PBD的外接圆的半径为．

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2017年4月18日

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