第九章 力矩分配法习题解答

中国建筑工业出版社 张来仪 景瑞 刘铮 《结构力学》上册 课后习题答案详解

1、清华5-6 试用力矩分配法计算图示连续梁，并画其弯矩图和剪力图。

清华题

C

M(kNV图

解：（1）计算分配系数： BA BC

sBAsBA sBC

sBCsBA sBC

3 2i3 2i 4 i

4 i3 2i 4 i

0.6

0.4

（2）计算固端弯矩：固端弯矩仅由非结点荷载产生，结点外力偶不引起固端弯矩，结点外力偶逆时针为正直接进行分配。

MM

F

ABFBA

0 3Pl16

3 60 616

67.5kN m

（3）分配与传递，计算列如表格。

（4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。 （5）根据弯矩图作剪力图如图所示。

中国建筑工业出版社 张来仪 景瑞 刘铮 《结构力学》上册 课后习题答案详解

VAB VAB VBA VBA

MM

AB

Ml Ml

BA

30

0 15666

27.5kN 32.5kN 8.75kN

ABBA

30

0 15

VBC VCB

M

BC

MCBl

35 17.5

2、利用力矩分配法计算连续梁，并画其弯矩图和剪力图。

题9-1b

原结构

·简化结构

解：（1）计算分配系数：令iBA

EI4

i iBC,SBA 4i,SBC 3i

BA

sBAsBA sBC

4i4i 3i

0.429

BC

sBCsBA sBC

3i4i 3i

0.571

（2）计算固端弯矩：CD杆段剪力和弯矩是静定的，利用截面法将外伸段从C处切开，让剪力直接通过支承链杆传给地基，而弯矩暴露成为BC段的外力偶矩，将在远端引起B、C固端弯矩。 M

F

AB

Pl8ql8

2

20 48

10kN m,MBA=10kN m

2

F

MBC

F

m2

15 48

10 20kN m,MCB 20kN m

F

（3）分配与传递，计算列如表格。

（4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。 （5）根据弯矩图作剪力图如图所示。

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VAB VAB VBA VBA VBC VBC VCB VCB

000

MMMM

AB

Ml Ml

BA

202

7.14 15.71

4

4

7.86kN 12.14kN

ABBA

2022

7.14 15.71 15.71 20

4

4

BC

MCBl MCBl

15 4

28.93kN 31.07kN

BC

15 42

15.71 20

3、9-2a利用力矩分配法计算连续梁，并画其弯矩图。

A

解：（1）计算分配系数： 令EI 4B结点：SBA 4

0.75EI6sBAsBA sBC

sBCsBA sBC

1.5EI8sCBsCB sCD

sCDsCB sCD

EI222 332 3

2,SBC 4 0.4 0.6

1.5EI8

3EI4

3

题9-2a

BA BC

C结点：SCB 4

3EI433 223 2

3，SCD 3 0.6 0.4

EI6 EI2 2

·m)(kN

M图 CB

CD

（2）计算固端弯矩：固端弯矩仅由非结点荷载产生。

MM

F

AB

Pablql

22

2

45 2 4

6

22

2

40kN m,,,

M

FAB

Pbal

2

2

45 4 2

6

2

2

20kN m

FBC

15 812

123Pl16

10 80kN m 45kN m

MCB 80kN mM

FDC

F

MCD

F

3 40 616

0

（3）分配与传递，计算列如表格。

（4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。

4、9-3c利用力矩分配法计算刚架，并画其弯矩图。

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·m

题(

(kN·m)

(d)

7.5

解：（1）计算分配系数： SBA 3 令EI 2

则，SBA 3,SBC 2,SBE 2

2EI4

1.5EI 3,SBC 3

2EI6

EI 2,SBE 4

1.5EI6

EI 2

BA BC BC

sBA

sBA sBC SBE

sBC

sBA sBC SBE

sBE

sBA sBC SBE

33 3 2

23 3 2

33 3 2

0.375 0.25 0.375

（2）计算固端弯矩：刚结点处力偶不引起固端弯矩，结点外力偶逆时针为正直接进行分配。CD杆段剪力和弯矩是静定的，利用截面法将外伸段从C处切开，让剪力直接通过支承链杆传给地基，而弯矩暴露成为BC段的外力偶矩，将在远端引起B、C固端弯矩。

MM

F

ABFAB

0，M

FBA

ql8

2

5 48

2

10kN mMM

FBCFEB

M

3Pl16

FBE

m2

3 40 616

102

40kN m,

10kN m 0kN m

（3）分配与传递，计算如图所示。

（4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。

9-3d利用力矩分配法计算刚架，并画其弯矩图。

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题构

(a)

(b)

(c)

-1

(d

)

解：（1）计算分配系数：

SCB 3iCB 3 SCF 4iCF 4

4EI44EI4

3EI,SCG 4iCG 4 4EI,SCD iCD

4EI42.5EI5 EI

0.3 2EI,

CB CG CF CD

SCB

sCB sCG SCF SCD

SCG

sCB sCG SCF SCD

SCF

sCB sCG SCF SCD

SCD

sCB sCG SCF SCD

3EI

3EI 2EI 4EI EI

2EI

3EI 2EI 4EI EI

4EI

3EI 2EI 4EI EI

EI

3EI 2EI 4EI EI

0.2 0.4 0.1

（2）计算固端弯矩：AB杆段剪力和弯矩是静定的，利用截面法将外伸段从B处切开，让剪力直接通过BE杆传给地基，而弯矩暴露成为BC段的外力偶矩，将在远端C引起固端弯矩。

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M

FBC

20kN m M

FDCF

FCB

m22

ql8

2

202

10 48

2

10kN m

MCD M

F

F

Pl2

2.5 4

5kN m

MCG MGC 0

（3）分配与传递，计算如图所示。

（4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。

9-3e利用力矩分配法计算刚架，并画其弯矩图。

m

(a)

(b)

(c)

30.1321.13

(d)

-0.75-18.75

解：（1）计算分配系数： B刚结点：

SBA 3

EI4.5

23

EI,SBC 4 13

EI6 23

EI,SBE 4

EI6 23EI

BA BC BE

C刚结点： SCB 4

EI6 23

EI,SCF 4

EI6 23EI

CB CF 0.5

（2）计算固端弯矩：CD杆段剪力和弯矩是静定的，利用截面法将外伸段从B处切开，让剪力直接通过

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CF杆传给地基，而弯矩暴露成为作用于刚结点B的外力偶矩，将在远端C不引起固端弯矩。 2

M

F2

BC

ql

12

112

24 6 72kN m

M

Fql

2

BC

12

112

24 62

72kN m

无荷载杆无固端弯矩。

（3）分配与传递，计算如图所示。

（4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。

9-3h利用力矩分配法计算刚架，并画其弯矩图。

(a)

(c)

2.320.1013.34

解：（1）计算分配系数： B刚结点：

SEIBA 4

EI4

EI,SBC 4 4 EI,

EI

BA BC

2EI

0.5

C刚结点：

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SCD 3

EI4

3EI4

,SCF 4 EI4

EI,SCB 4

EI4

EI

EI

CF CB

3EI 0.364

4

EI EI

3EI

CD

3EI 0.272

4

EI EI

（2）计算固端弯矩：

M

Fql

2

2

BA

12

112 30 42

40kN mM

FAB

ql

2

12

112

30 4 40kN m

MF

C 3PlD

16

316

80 4 60kN m

M

F

MF

F

BC

CB MCF 0

无荷载杆无固端弯矩。

（3）分配与传递，计算如图所示。

（4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。5、9-4b利用对称性，采用力矩分配法计算刚架，并画其弯矩图。

q=5kN/m

5kN/m

(a)

(d)

-1.46-0.038.51

6、9-4d利用对称性，采用力矩分配法计算刚架，并画其弯矩图。

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(b)

2

2

2

(e)

-

ql2-24

7、9-9c利用无剪力分配法计算刚架，并画其弯矩图。

b)

题9-9a

(a)

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A

19.72

(d)

(g)

(e)

(

-0.04-19.72

解：（1）由于刚架是对称的，因此可将荷载分解为正对称和反对称两部分，如上图（b ）、（c）所示。而正对称结点荷载作用下刚架处于无弯矩状态，原图的弯矩图只考虑反对称荷载作用。考虑刚架和荷载的对称性，可以取半刚架如(d)所示。由于(d)图半刚架立柱的剪力是静定的，每一跨都可以化为单跨超静定梁，因此选取如图(e)所示无剪力分配法力学计算模型。

SAG3iAG3 4

0.92 AG

S S3i i3 4 1 AGACAGAC

（2）计算分配系数： A结点：

Si1ACAC 0.08AC

SAG SAC3iAG iAC3 4 1

SCAiCA11

0.07 CA

SCA SCH SCEiCA 3iCH iCE1 3 4 114

SCH3iCH3 412

0.86 C结点： CH

SCA SCH SCEiCA 3iCH iCE1 3 4 114

SCEiCE11 0.07 CE

SCA SCH SCEiCA 3iCH iCE1 3 4 114

（2）计算固端弯矩：

M

F

AC

MCA

FEC

F

P上 l2212

2 62

6kN m

MCE M

FBC

F

P上+下 l

（2 4） 6 18kN m

2

M

MCB

F

60 4 120kN m

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（3）弯矩的分配与传递

计算过程如图（f）所示。结点的分配次序为C→A→C→A （4）绘制弯矩图如（f）所示。 8、利用分层法计算多层刚架。

q=10kN/m

题9-10

解： （1）分层：以梁为界选取如图(b)、(c)所示分层法计算模型。线刚度：上层各柱打折—9折。

（2）第二层（顶层）： ①求分配系数：

SGD 4iGD

G结点： S

GH 4iGH

SGDiGD2.7

0.403 GDS SiGD iGH2.7 4 GDGH

Si4GHGH 0.597GH

SGD SGHiGD iGH2.7 4

SHGiHG4 0.315 HG

SHG SHE SHFiHG iHE iHF4 2.7 6

SHEiHE2.7 HE 0.213

SHG SHE SHFiHG iHE iHF

SHFiHF6

0.472 HF

SHG SHE SHFiHG iHE iHF4 2.7 6

SHG 4iHG

S 4iHE

H结点： HE

S 4i

HF HF

SIH 4iIH

I结点：

SIF 4iIF

iIHS6

IH S S i i 6 2.7 0.69 IHIFIHIF

Si2.7IFIF 0.31IF

SIH SIFiIH iIF6 2.7

②明确传递系数

传递系数：两端固定时，上层中上下传1/３，横传1/2。 ③求固端弯矩。

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2

M

FGH

qlGH12 112 10 62 30kN m, MF

HG 30kN m

MF

ql

2HI

1

42

13.3kN m, MF

HI 1212

10IH 13.3kN m

④列表计算。

顶层计算

结点DG

HIF

E杆端DG

GD

GH

HG

HE

HI

IHIFFI

EH

分配系数0.4030.5970.3150.2130.4720.690.31传递系数

1/3

1/21/21/3

1/21/21/3

固端弯矩

-30

30

-13.3

13.3

分配-2.63-5.26

-3.56-7.88-3.94

与传递

13.15

19.489.74-3.23-6.46

-2.90

-1.03-2.05

-1.39-3.07-1.54

0.42

0.61

0.30

0.531.06

0.48-0.13-0.26

-0.18-0.39-0.19

0.05

0.08

0.040.070.13

0.06-0.03

-0.02-0.05

最后弯矩

4.54

13.6232.4827.322.36

-2.36

-0.79

-1.72

（3）第二层（顶层）： ①求分配系数：

S DADA

S S S iDA 3

0.309DA SDEDGiDA iDE iDG3 4 2.7

DA 4iDA

SDEiDE4D结点：

SDE 4iDE

DE S

S S 0.413

DA SDEDGiDA iDE iDG3 4 2.7DG

4i

DG S

DG

DGSS iDG 2.7 0.278DA SDE DGiDA iDE iDG3 4 2.7E结点：

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SED SEB SEF S EH

4iED 4iEB 4iEF 4iEH

ED EB EF

EH

SED

SED SEB SEF SEH

SEB

SED SEB SEF SEH

SEF

SED SEB SEF SEH

SEH

SED SEB SEF SEH

iED

iED iEB iEF iEH

iEB

iED iEB iEF iEH

iEF

iED iEB iEF iEH

iEH

iED iEB iEF iEH

44 3 6 2.7

34 3 6 2.7

64 3 6 2.7

2.74 3 6 2.7

0.255 0.191 0.382

0.172

SFE 4iFE

S 4iFC

F结点： FC

S 4i FIFI

SFEiFE6

0.513 FE

SFE SFC SFIiFE iFC iFI6 3 2.7

SFCiFC3 FC 0.256

SFE SFC SFIiFE iFC iFI6 3 2.7

SFIiFI2.7 0.231 FI

SFE SFC SFIiFE iFC iFI6 3 2.7

②明确传递系数

传递系数：两端固定时，上层柱上下传1/３，下层柱下传1/2、横传1/2。 ③求固端弯矩。 M

F

DE

qlDE12ql

2EF

2

112112

30 6 90kN m, MHG 90kN m

2F

30 4 40kN m, MIH 40kN m

2

F

MEF

F

12

④列表计算。

底层计算

结点杆端分配系数传递系数

固端弯矩

AAD

GGD

DG0.2781/3

DDA

DE

ED

EEH

EB

EF0.3821/2-40

-9.55

-19.1

FFE0.5131/240

C

FI0.2311/3

IIF

BBE

HHE

FC0.2561/2

CF

0.3090.4130.2551/2

1/2-90

1/290

0.1720.1911/3

1/2

分配与传递

-6.38-12.75-8.6

26.800.43

29.78

39.8019.90-1.54-3.08

0.48

0.64

0.32

-9.55

-7.81-15.62

-6.49-7.80

-2.08-2.31-4.62-2.310.60

1.19

0.53

0.59

-0.35-0.180.04

0.09

0.04

0.05

-0.12-0.23

0.04

0.04

0.04

0.02-0.02

最后弯矩15.02

9.03

27.27

-0.16-0.18

-0.01-0.01-0.02

-7.16

-3.58-1.97-6.62

30.03-57.5694.16-12.05-71.2613.62-5.92

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（3）除底层立柱外，其它层立柱需要计算两次。叠加两次的弯矩值。

MGD 13.62 9.03 22.65kN mMHE 5.15 6.62 11.77kN mMIF 2.36 1.97 4.33kN m

MDG 4.5 27.27 31.81kN mMEH 1.72 10.85 12.57kN mMFI 0.79 5.92 6.71kN m

（4）画最后弯矩图。

32.48

M(kN·m)

9、白皮书习题9-11（a）,采用反弯矩法画弯矩图。 解：（1）第二层各柱高和线刚度相同，

VAD VBE VCF 60

3

20(kN)

第一层各柱高、线刚度完全相同，

VDG VFI VEH

60 120

3

60(kN)

A

题9-11a

(a)

(c)

(b)

（2）本刚架只有两层，少于3层，均假设柱的反弯点在柱的中点。反弯点高度为柱高的一半2.5m 。

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（3）由于，同一层梁的线刚度相等，又都视为两端固定的梁，所以分配系数都为0.5。 E点，柱端弯矩为M

EB

M

EH

50 150 200(kN m) 不平衡力矩

M

200

12

100(kN m)

梁端所分配的弯矩：MB点：柱端弯矩为M

EDEF

BE

50(kN m) 不平衡力矩

M

50

1

梁端所分配的弯矩：MBABC

25(kN m)

4）画M图 2

（

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