微分中值定理证明中辅助函数的构造

微分中值定理证明中辅助函数的构造

第29卷 第2期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 29 No.2 2009年 3 月 Journal of Science of Teachers′College and University Mar. 2009 文章编号：1007-9831（2009）02-0010-04

微分中值定理证明中辅助函数的构造

宋振云，陈少元，涂琼霞

（湖北职业技术学院 信息技术学院，湖北 孝感 432000）

摘要：由复数x+yi与直角坐标平面上的点(x, y)(x, y∈R)的一一对应关系，将复平面与直角坐标平面看成是一致的，通过复数乘法运算构造出一系列拉格朗日中值定理证明中满足罗尔中值定理条件的辅助函数，并明确指出了柯西中值定理证明中辅助函数的构造方法．

关键词：微分中值定理；复数乘法；辅助函数

中图分类号：O172.1 文献标识码：A

在微积分学里，关于拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明，除教科书上给出的方法外，不少文献也分别介绍了从不同角度进行分析研究，通过构造辅助函数，应用罗尔中值定理进行证明的方法．鉴于拉格朗日中值定理和柯西中值定理与罗尔中值定理的特殊关联关系，作者经过更详细的分析研究，通过化繁为简，从一般到特殊，找到了一种运用复数乘法运算构造符合罗尔中值定理条件的辅助函数的新的构造方法，应用这种方法可以构造出证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理所需要的各种不同形式的辅助函数，并且思路清晰，方法灵活．

基于问题的需要，在介绍新的方法之前，需要明确一点：由于复数x+yi与直角坐标平面上的点(x, y)(x, y∈R)一一对应，所以，可以把复平面与直角坐标平面看成是一致的．

1 用复数乘法运算构造辅助函数证明拉格朗日中值定理

π 证明1 如图1所示，设曲线弦AB的倾斜角为θ 0<θ<π, θ≠ ，2

f(b) f(a)．取曲线y=f(x)上任意一点M(x, f(x))（x∈ 则tanθ=b a

[a, b]），对复数x+if(x)作复数乘法运算：(x+if(x))[cos( θ)+isin( θ)]=

(xcosθ+f(x)sinθ)+i(f(x)cosθ xsinθ)，作辅助函数 (x)=f(x)cosθ

f(b) f(a)xsinθ，注意到tanθ=，则 (a)=f(a)cosθ asinθ= b a

f(b)cosθ bsinθ= (b)． 由拉格朗日中值定理的条件可知， (x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可

，使 ′(ξ)=0，即f′(ξ)cosθ sinθ=0，从而导，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点ξ（a<ξ<b）

f(b) f(a)f′(ξ)=tanθ=． 证毕． b a

显然，这种用复数乘法运算构造辅助函数的方法十分有效，通过从几何上对罗尔中值定理和拉格朗日中值定理作一个简单的比较，可以明确这种方法的实际含义．复数乘法运算收稿日期：2008-12-09

基金项目：湖北省高等学校省级教学基金资助项目（20060422）

作者简介：宋振云（1958-），男，湖北孝感人，副教授，从事数学教育研究．E-mail：hbsy12358@

微分中值定理证明中辅助函数的构造

第2期 宋振云，等：微分中值定理证明中辅助函数的构造 11 (x+if(x))[cos( θ)+isin( θ)]就是将拉格朗日中值定理中的曲线y=f(x)沿顺时针方向旋转了θ角，其结果就是使曲线旋转后曲线弦AB平行于x轴，从而使拉格朗日中值定理中曲线的一般情形变成了罗尔中值定理中曲线的特殊情形，从思维上讲，这就是化繁为简，化一般为特殊的思想方法．

注 这里的辅助函数 (x)=f(x)cosθ xsinθ就是文献[1]坐标轴旋转法构造的辅助函数．

π f(b) f(a) ．取曲线 证明2 如图1所示，设曲线弦AB的倾斜角为θ 0<θ<π, θ≠ ，则tanθ=b a2

y=f(x)上任意一点M(x, f(x))（x∈[a, b]），对复数x+if(x)作复数乘法运算：(x+if(x))(1 itanθ)= (x+f(x)tanθ)+i(f(x) xtanθ)．

f(b) f(a)，即f(a) atanθ=f(b) btanθ，则b a

1(a)= 1(b)，由拉格朗日中值定理的条件知， 1(x)在[a, b]上满足罗尔中值定理的条件，因此至少存在

f(b) f(a)′(ξ)=0，即f′(ξ) tanθ=0，所以f′(ξ)=tanθ=一点ξ（a<ξ<b），使 1． 证毕． b a

应该说明的是，证明1和证明2都是通过对复数x+if(x)作简单的复数乘法运算就完成了曲线y=f(x)作辅助函数 1(x)=f(x) xtanθ．注意到tanθ=沿顺时针方向的旋转，而且得到了证明拉格朗日中值定理所需要的辅助函数 (x)=f(x)cosθ xsinθ和 1(x)=f(x) xtanθ，其复数乘法运算中的乘数cosθ isinθ和1 itanθ都是辐角为 θ的复数．因此，可以考虑辐角为 θ的其它复数作乘法，从而得到所需要的辅助函数．

2 拉格朗日中值定理证明中辅助函数的多样性

应用上述辅助函数的构造方法，同样可以构造出证明拉格朗日中值定理所需要的并且符合要求的各种各样的辅助函数．由于众所熟知的原因，只给出证明拉格朗日中值定理所需辅助函数的构造方法，而略去其详细证明．

分析1 取曲线y=f(x)上任意一点M(x, f(x))（x∈[a, b]），对x+if(x)作复数乘法运算

f(b) f(a) f(b) f(a)f(b) f(a) (x+if(x)) 1 if(x) +i f(x) x = x+b ab ab a

bf(a) af(b)f(b) f(a)作辅助函数 2(x)=f(x) x，则 2(a)== 2(b)，由拉格朗日定理的条件知，b ab a

2(x)在[a, b]上满足罗尔中值定理的条件．

注 这里的辅助函数 2(x)=f(x)

分析2 令f(b) f(a)x就是文献[2]中原函数法构造的辅助函数． b af(b) f(a)=k，取曲线y=f(x)上任意一点M(x, f(x))（x∈[a, b]）， 对复数x+if(x)作b a

复数乘法运算：(x+if(x))(1 ik)=(x+kf(x))+i(f(x) kx)．

f(b) f(a)=k，则 3(a)=f(a) ka=f(b) kb= 3(b)，由拉格 作辅助函数 3(x)=f(x) kx，注意到b a

朗日定理的条件知， 3(x)在[a, b]上满足罗尔中值定理的条件．

注 这里的辅助函数 3(x)=f(x) kx就是文献[3]中常数k值法构造

的辅助函数．

，对复分析3 取曲线y=f(x)上任意一点M(x, f(x))（x∈[a, b]）

数x+if(x)作复数乘法运算：(x+if(x))[(b a) i(f(b) f(a))]=

[(b a)x+(f(b) f(a))f(x)]+i[(b a)f(x) (f(b) f(a))x]．

作辅助函数 4(x)=(b a)f(x) (f(b) f(a))x，则 4(a)=bf(a)

af(b)= 4(b)，显然， 4(x)在[a, b]上满足罗尔中值定理的条件.

分析4 如图2所示，先作向量运算=

=(x a, f(x) f(a)),

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12 高 师 理 科 学 刊 第29卷 对复数(x a)+i(f(x) f(a))作复数乘法运算

[(x a)+i(f(x) f(a))][(b a) i(f(b) f(a))]=[(b a)(x a)+(f(b) f(a))(f(x) f(a))]+

i[(b a)(f(x) f(a)) (f(b) f(a))(x a)]

作辅助函数 5(x)=(b a)(f(x) f(a)) (f(b) f(a))(x a)，显然， 5(a)= 5(b)=0，由拉格朗日定理的条件知， 5(x)在[a, b]上满足罗尔中值定理的条件．

注 辅助函数 5(x)=(b a)(f(x) f(a)) (f(b) f(a))(x a)就是文献[4]中的面积法构造的辅助函数，同时也是文献[5]中行列式法构造的行列式形式辅助函数的展开式的结果．

分析5 如同分析4，对复数(x a)+i(f(x) f(a))作复数乘法运算

[(x a)+i(f(x) f(a))] 1 i f(b) f(a) f(b) f(a) xa()(f(x)f(a))= + + b aba

f(b) f(a) i f(x) f(a) (x a) b a

f(b) f(a)显然， 6(x)在[a, b]上满足罗尔中值定理的条件． (x a)．b a

f(b) f(a)注 这里的辅助函数 6(x)=f(x) f(a) (x a)就是文献[6]中曲线函数y=f(x)与其弦b a

f(b) f(a)AB的函数y=f(a) (x a)（a≤x≤b）的差构造的辅助函数． b a

同样地，对复数(x a)+i(f(x) f(a))用辐角为 θ的复数cosθ isinθ，1 itanθ，1 ik（k为曲线弦

f(b) f(a)AB的斜率），1 i为乘数作复数乘法运算也可得到所需满足条件的辅助函数． b a作辅助函数 6(x)=f(x) f(a)

另外，由图3所示，如果先作向量运算= =(x b, f(x) f(b))，再对复数(x b)+i(f(x) f(b))用复数cosθ isinθ，1 itanθ，1 ik（k为曲线

f(b) f(a)弦AB的斜率），1 i，(b a)+i(f(b) f(a))为乘数作复数b a

乘法运算，也可得到一系列符合条件的辅助函数．

f(a)+f(b) i f(x) 用辐角为 θ的复数cosθ isinθ，1 itanθ，1 ik2

（k为曲线弦AB的斜率）为乘数作复数乘法运算，同样可得到一系列所需要的符合条件的辅助函数． a+bf(a)+f(b) 如果取曲线弦AB的中点P , ，先作向量运算 2 2 f(a)+f(b) a+ba+b 再对复数 x = = x , f(x) ， + 222 3 柯西中值定理证明中辅助函数的构造

对于柯西中值定理，只要对复数用复数cosθ isinθ，1 itanθ（tanθ=f(b) f(a)f(b) f(a)），，1 ig(b) g(a)g(b) g(a)1 ik（k=f(b) f(a)），(g(b) g(a))+i(f(b) f(a))为乘数作复数乘法运算均可构造出所需满足条件的g(b) g(a)

辅助函数，同时，如果先作类似拉格朗日中值定理证明中的向量运算，再作相应的复数乘法运算，一样可得到一系列所需符合条件的辅助函数，由于处理的方法完全相同，这里就不再赘述了．

参考文献：

[1] 刘振航．关于拉格朗日中值定理的证明[J]．天津商学院学报，2002（5）：35-36．

[2] 张艳丽，周香孔．拉格朗日微分中值定理几种不同的证法[J]．衡水师专学报，2004（2）：1-3．

[3] 张家秀．关于构造辅助函数的几种方法[J]．高等理科教育，2003（3）

：126-128．

微分中值定理证明中辅助函数的构造

第2期 宋振云，等：微分中值定理证明中辅助函数的构造 13

[4] 孟宪吉，王瑾．拉格朗日中值定理的新证明[J]．沈阳师范大学学报：自然科学版，2003（4）：252-254．

[5] 谭杰锋．行列式函数构造与应用的一点注记[J]．合肥学院学报，2007（2）：17-19．

[6] 同济大学应用数学系．高等数学（上册）[M]．5版．北京：高等教育出版社，2003：126-132．

The construction of additive functions to testify differential mean value theorem

SONG Zhen-yun，CHEN Shao-yuan，TU Qiong-xia

（School of Information Technology，Hubei Polytechnic Institute，Xiaogan 432000，China）

Abstract：According to the one-to-one correspondence between the complex numberx+yi and the point (x, y)(x, y∈R)on the plane，can take them as identical．Constructed a series of additive functions to meet Rolle theorem conditions with the multiply method of complex numbers while testifying Lagrange mean value theorem，also put forward a method of constructing additive functions to testify Cauchy mean value theorem．

Key words：differential mean value theorem；functions of complex variables；additive functions

（上接第9页）

参考文献：

[1] 彭晓珍，严钦容．关于交错级数的一个新的审敛准则[J]．大学数学，2004，20（3）：120-123．

[2] 杨万必．关于交错级数的审敛准则的改进和推广[J]．大学数学，2006，22（2）：138-141.

[3] 苏翃，邱利琼，王大坤，等．一类交错级数的收敛定理[J]．大学数学，2006，22（5）：143-146．

[4] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）[M]．3版．北京：高等教育出版社，2006：13-17.

[5] 周玉霞．关于正项级数敛散性判定的一类方法[J]．大学数学，2006，22（1）：109-110．

An new criterion for convergence or divergence of alternating series

QIAN Wei-yi

（Department of Mathematics，Bohai University，Jinzhou 121000，China）

Abstract：Alternating series is one of important contents in mathematical analysis，now，there are not many criterions about convergence or divergence of alternating series. Established a new criterion to decide convergence or divergence of alternating series. Based on the convergence criterion，can decide not only convergence or divergence but also absolute convergent or conditional convergent of alternating series．Selected some examples to test the feasibility of the proposed criterion.

Key words：alternating series；criterion；convergence；divergence

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lns1.html