《现代数学与中学数学》考试答案

一、(10分) 对下列各式，判断其对错，或加以证明，或举出反例 （1）f?(g?h)?f?g?f?h （2）(g?h)?f?g?f?h?f 证明：（1）不正确。 对?x?R f?(g?h)(x)?f(g(x)?h(x)) (f?g?f?h)(x)?f(g(x))?f(h(x))， 若f非线性函数，如f(x)?x2， g(x)?x?1,h(x)?2x则f(g(x)?h(x))?(x?1?2x)2?(3x?1)2 而f(g(x))?f(h(x))?(x?1)2?(2x)2?(3x?1)2 所以（1）不正确 （2）正确，证明如下：对?x?R ((g?h)?f)(x)?(g?h)(f(x)) ?g(f(x))?h(f(x))?(g?f?h?f)(x)二、（10分） 若函数f(x)在点x?a可导，计算 （1）limt?0f(a?2t)?f(a)f(a?2t)?f(a?t) （2）lim t?0t2t2?f?a?2t??f?a???lim? 解：(1)t?? 2t?2f'?a?

[f?a?2t??f?a?]?[f?a?t??f?a?]2tf?a?2t??f?a?1f?a?t??f?a??lim?limt??2t2t??t 1?f'(a)?f'(a)21?f'(a)2?2?原式?limt??三、（10分） 求一函数y?f(x)，其曲线过坐标原点且曲线上每一点切线斜率是该点横坐标的2倍。 解：因为曲线上每一点切线的斜率是该店横坐标的2倍， 所以f'(x)?2x　（１）且f?0??0， （1） 式两端积分得f(x)?x2?c，又f?0??0，?c?0 ?f(x)?x2 四、（10分）证明：若0?x1?x2?x3??，则sinx2?sinx1sinx3?sinx2 ?x2?x1x3?x2sinx3?sinx2sinx2?sinx1lim?cosx3 证明：∵lim?cosx2,x?xx1?x223x3?x2x2?x1又∵0?x1?x2?x3??，y=cosx,在区间（0，?）单调递减∴cosx2>cosx3 即limsinx3?sinx2sinx2?sinx1>lim， x1?x2x2?x3x2?x1x3?x2∴sinx2?sinx1sinx3?sinx2? x2?x1x3?x2x2y2z2五、（10分）求顶点在坐标原点的锥面2?2?2?0与平面z?c所围成的abc

锥体的体积。 解：所成圆锥地面为椭圆，其面积为s??ab, 1所以所围椎体的体积 v??abc 3六、（10分） 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.3,0.6。今各投2次。求甲比乙投中次数多的概率。 解：p?c12?0.3?0.7?0.4?0.4?0.3?0.3?0.4?0.4 ?0.3?0.3?c12?0.4?0.6?0.1248 七、（10分） 要研究某种物质致癌性质，用小白鼠做试验。假定把50只小白鼠随机地分成10组，每组5只，对每只小白鼠注射该物质，经过一段时间后，观察每组小白鼠患癌的个数，得到X1,X2,?,X10，则Xi~B(5,p),i?1,2,?,10，这里p就是这种物质致癌的概率。试导出p的最大似然估计值的计算公式。 解：X1,X2,?,X10为样本的一组观测值，从而似然函数 L(p)??p{Xi?xi}??Cp(1?p) ni?1xiNni?1ni?1ni?1xiNxiN?xi?(?C)pni?1ni?1xiN?i?1nxinN?(1?P) ?XII?1N从而 LnL(p)?Ln(?C)??xiLnp?(nN??xi)Ln(1?P)n?LnL(p)n11??xi??(nN??xi)??0i?1i?1?pp1?p令 x?=nN=N， 得p的最大似然估计值为：pi?1i?xnX?=N。 p的最大似然估计量为：p八、（10分） 甲同学在他的盒子中放了200个玻璃球（盒子中黑球、白球究竟各有多少他并未告诉其他任何人），甲同学当众宣布：他的这些球中黑球所占比例p=3%，乙同学从甲同学的盒子中任意取若干个球（比如：10个），观察并记录取到球的颜色。该实验的结果有多种可能。（1）假如乙同学发现他任取的10个球中2个黑球，问此时乙同学能否相信甲同学的

说法？（2）假如乙同学发现他任取的10个球没有黑球，问此时乙同学对甲同学的说法又应做何反应？ 答：（1）此时乙同学不能相信甲同学的说法，因为按照甲的说法，出现黑球应为小概率事件，而小概率事件竟然发生了，说明甲说的不可信。 （2）若没有发现黑球，此时乙同学也不可完全相信甲同学的说法，因为所取样本不完全合理。如果采用分组取样，结果更有说服力。 九、（10分） 用选主元素的Gauss消元法求解 ?x1?2x2?3x3?26,??2x1?3x2?x3?34,?3x?2x?x?39.23?1(1a)(1b)(1c) 请指明消元、回代过程。 解法：记 ?1A???2??323231126?34??39??2?1?42?103?5?83?5426??18???39???1r?01?(?2)?r2?????r1?(?3)?r3???0?1r2?(?4)?r3?0?????1?r3?3??0以下为回代过程 26???18（以上为消元过程）?11??

??120?1r3?(?)?r1?0?104?????5?r3?()?r24?004?????100?r2?2?r1?????0?10??004????x1???x2?x?3???????105??4???17????4? ??11?????4??71?4???17?4?11?????105?4???17?4?11???? 十、（10分） 使用二分法求解x2?2?0于[1,2]内的根，二分3次即可。 解：令f?x??x2?2 1?23?22 1?3?9?f????2?4?2?4x??f?1??1?2??1

f?2??4?2?2?3??3? ?f?1??f???0?x??1,??2??2?32?5又?x?24 7?5??f????16?4?1??5??3??f???f???0?4??2? ?53??x??,??42?53?42?11?x?28 7?11??f????64?8??11??3??f???f???0?8??2??113??x??,? 82??11?x2?2?0的根为8

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