隐函数定理及其在几何上的应用

隐函数定理及其在几何上的应用

【摘要】 隐函数(组)是函数关系的另一种表现形式。讨论隐函数(组)的存在性、连续性与可微性，是深刻了解这类函数本身的需要。同时在求以隐函数(组)的形式为方程出现的曲线和曲面的切线或切平面时，都要用到隐函数(组)的微分法。 【关键词】隐函数存在惟一性定理、隐函数可微性定理 、隐函数组定理、隐函数定理在几何上的应用 1 定理及证明

隐函数存在惟一性定理

设方程 F?x,y??0 中的函数F?x,y?满足以下四个条件： (i) 在以 (ii)

为内点的某一区域D ; (初始条件 );

;

上连续 ;

(iii) 在D内存在连续的偏导数(iv)

.

则在点P0的某邻域U?P0??D内 , 方程F?x,y?＝0唯一地确定一个定义 在某区间x??x0??,x0???内的隐函数y?f?x?，使得 ⑴ 当f?x0??y0 ，x??x0??,x0??? 时， 有?x,f?x???U?P0?且F?x,f?x???0 ；

⑵ 函数f?x?在区间x??x0??,x0???内连续。 证 首先证明隐函数的存在与惟一性． 证明过程归结起来有以下四个步骤

(a) “一点正, 一片正 ” 由条件 (iv), 不妨设Fy?x0,y0??0 因为Fy?x,y?连续，所以根据保号性???0 使得Fy?x,y??0，?x,y??S

其中S??x0??,x0?????y0??,y0????D (b) “正、负上下分 ” 因Fy?x,y??0，?x,y??S，

故?x??x0??,x0???，把F?x,y?看做y的函数， 它在?y0??,y0???上严格递增，且连续（据条件 (i)） 特别对于函数F?x0,y?，由条件

F?x0,y0????0 ，F?x0,y0????0

++++++++++++S++++y 0?+++ +++++++++++++++++++++y0 ?? ?? x ??x xOx000 (a) 一点正,一片正 ??y0y yy0??y0y0??＋＋＋_ ?_ 0 _ _ ?+ ?Ox0??x0x0??x可知

(b) 正、负上下分

(c) “同号两边伸”

因为F?x,y0???，F?x,y0???关于x连续，

yy0??y0＋＋＋＋ ??－ － － xx0－ x0??x0??故由（b）的结论，根据保号性??，?0?????，使得

y0??O?F?x,y0???＜0，F?x,y0???＞0，x??x0??,x0???

(c) 同号两边伸 (d) “利用介值性”

???x0??,x0???，因F?x?,y?关于y?xyy0??连续，

y0y0??＋?＋＋＋ U(P)0?且严格递增，故由（c）的结论，依据介值定理，

???y0??,y0???，满足F?x?,y???0 存在惟一 的yy?f(x)?－ － x0xOx0??－ －x 0?? (d) 利用介值性

?的任意性，这就证得存在惟一的隐函数： 由xy?f?x?，其中?x?I??x0??,x0???,y?J??y0??,y0???. 若记U?P0??I?J，则定理结论[1]

得证。

下面再来证明上述隐函数的连续性:

即?x??x0??,x0???，欲证上述f?x?在x连续。 如右图所示，???0，取?足够小，使得

y0???y???y???y0??yy0??y??yy??y0??O. ＋＋P0＋＋. .. －－－－ x??xx??

x，其中y?f?x?.

由F?x,y?对y严格增，而F?x,y??0，推知F?x,y????0，F?x,y????0.

类似于前面（c），???0，使得?x??,x?????x0??,x0???， 且当x??x??,x???时，有F?x,y????0，F?x,y????0.

类似于前面（d）,由于隐函数惟一，故有y???f?x??y??，x??x??,x???，

因此f?x?在x连续。由x的任意性，便得证f?x?在?x0??,x0???上处处连续。

隐函数可微性定理

设函数

满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D内

在区间

内可导 ,

存在且连续 . 则隐函数

且f??x???Fx?x,y?Fy?x,y? .

证 设?x?I??x0??,x0???,y?J??y0??,y0???.，且x??x?I，则y??y?f?x??x??J.

由条件易知F可微，并有F?x,y??0，F?x??x,y??y??0.

使用微分中值定理，???0???1?，使得

0?F?x??x,y??y??F?x,y??Fx?x???x,y???y??x?Fy?x???x,y???y??y，

??x?y??Fx?x???x,y???y?Fy?x???x,y???y? .

因f,Fx,Fy都是连续函数，故?x?0时?y?0，并有

Fx?x???x,y???y?Fy?x???x,y???y?Fx?x,y?Fy?x,y?f??x??lim?x?y?x?0??lim?x?0??，?x,y??I?J.

显然f??x?也是连续函数。 隐函数组定理

F(x,y,u,v)?0G(x,y,u,v)?0 设方程组 ?，中的函数F 与 G 满足下列条件：

①在以点P0?x0,y0,u0,v0?为内点的某区域V?R4上连续；

②F?P0??G?P0??0,(初始条件)； ③在 V 内存在连续的一阶偏导数；

??F,G???u,v?P0 ④JP0??0.

则有如下结论成立：

a. 存在邻域U?P0??U?Q0??U?W0??V，其中Q0??x0,y0?,W0??u0,v0?，

使得

??x,y??U?Q0?,?!?u,v??U?W0?

即有 ?

u?u?x,y?v?v?x,y?，?x,y??U?Q0?,?u,v??U?W0?；且满足u0?u?x0,y0?，

F?x,y,u?x,y?,v?x,y???0,G?x,y,u?x,y?,v?x,y???0,v0?v?x0,y0?以及??x,y??U?Q0?,. ?u,v??U?W0?b. u?x,y?,v?x,y?在U?Q0?上连续.

c. u?x,y?,v?x,y?在U?Q0?上存在一阶连续偏导数，且有

1??F,G??v1??F,G?,??J??x,v??xJ??u,x??u

?x?u??1??F,G??v1??F,G???,???yJ??y,v??yJ??u,y? .

2 隐函数定理在几何上的应用 应用一：平面曲线的切线与法线

设平面曲线方程为

. 有.

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